Constante bewegingen bestaan niet?

[Verwijderd]

Het is vakantie en dan wil ik nog wel eens over dingen na gaan denken. Dit geval was de paradox van Zeno van Elea aan de beurt.

Het verhaal: een schildpad en een haas houden een hardloopwedstrijd. De schildpad krijgt een voorsprong van een aantal meters, waarna de beide dieren tegelijk beginnen met rennen. Natuurlijk heeft de haas een grotere snelheid, maar hij zal de schildpad nooit kunnen inhalen. Als de haas is aangekomen op de plek waar de schildpad begon, is de schildpad al weer iets verder (voor de duidelijkheid noem ik de nieuwe plaats van de schildpad ‘A’. Als de haas vervolgens op plaats ‘A’ komt, is de schildpad al verder gelopen. Dit kan je oneindig lang blijven herhalen.

In het verhaal worden twee dieren gebruikt, maar in theorie kan elk bestaand voorwerp gebruikt worden. We weten allemaal dat voorwerpen elkaar kunnen inhalen, omdat we dit al eens ervaren hebben. Het wordt pas lastig als je wilt beredeneren waarom de paradox van Zeno onjuist is. Alles wat in het verhaal wordt verteld, is immers juist.

Even wat informatie om mijn ‘conclusie’ te verduidelijken. De haas heeft een grotere snelheid. Snelheid betekent: de afgelegde afstand gedeeld door de benodigde tijd op een bepaalde tijd. De gemiddelde snelheid is de afgelegde weg gedeeld door de benodigde tijd over een bepaalde periode. Met de snelheid van een voorwerp bedoelen we de grootte van de beweging. Er zijn twee soorten bewegingen: constante bewegingen en trapsgewijze bewegingen. Bij constante beweging is de snelheid op elk moment even groot als de gemiddelde snelheid. Bij een trapsgewijze beweging is dat niet het geval (zie mijn tekening hieronder).



In het verhaal van Zeno wordt aangenomen dat de beweging constant is. Als de haas maar een klein stukje moet inhalen, doet hij daar ook maar heel kort over. In dat korte tijdsbestek beweegt de schildpad zich.
Als de haas de schildpad wil inhalen, moet de schildpad gedurende een korte tijd stil staan, terwijl de haas zich beweegt. De beweging is dus trapsgewijs.

Zoals gezegd, de haas en de schildpad kan je door elk voorwerp vervangen. Dit zou inhouden dat elk voorwerp zich trapsgewijs beweegt. Kan ik daaruit concluderen dat er geen constante bewegingen bestaan, of is mijn redenering totaal fout?

[Verwijderd]

Uhh? Ik snap de paradox niet.

Je zegt zelf: Dat snelheid*tijd = afgelegde weg (s = vt) is, of even algemener: De grote onder de snelheidsgrafiek is afgelegde weg, of nog algemener: De afgelegde weg is de snelheidsfuntie gedifferentieerd naar de tijd (plus een constante): dat word voor constante snelheid dus bovenstaande s = vt formule.

(Die constante: is bijvoorbeeld voor de haas 0, voor het konijn is die z, met z het aantal meters voorsprong).

Als ze beide een constante snelheid hebben:
Haas heeft snelheid v[sup]h[/s] en schildpad snelheid v^s

Dan geld: op punt v^ht + 0 = v^st + z
Word de schildpad ingehaald.

Als je die grafiekjes even maakt voor beiden: Zie je direct dat beiden continu een eigen snelheid hebben ten opzichte van het startpunt.

*ik zie de paradox niet :S*

[Verwijderd]

De fout in het verhaal is eigenlijk tamelijk eenvoudig.

Verwijderd schreef op zaterdag 28 juli 2007 @ 16:30:
Het verhaal: een schildpad en een haas houden een hardloopwedstrijd. De schildpad krijgt een voorsprong van een aantal meters, waarna de beide dieren tegelijk beginnen met rennen. Natuurlijk heeft de haas een grotere snelheid, maar hij zal de schildpad nooit kunnen inhalen. Als de haas is aangekomen op de plek waar de schildpad begon, is de schildpad al weer iets verder (voor de duidelijkheid noem ik de nieuwe plaats van de schildpad ‘A’. Als de haas vervolgens op plaats ‘A’ komt, is de schildpad al verder gelopen. Dit kan je oneindig lang blijven herhalen.

De laatste vet gedrukte zin is namelijk onjuist. Een juiste formulering zo luiden: "Dit kan je oneindig vaak herhalen." Dit oneindigtal herhaling vinden echter plaats in een eindige hoeveelheid tijd. Wat Zeno zich namelijk niet realiseerden is dat je een oneindig aantal eindige (niet nul) getallen bij elkaar op kan tellen en toch noch een eindig getal kan krijgen. Dit is hier echter wel het geval hoewel je de beschreven procedure oneindig vaak kan herhalen bestrijkt de beredenering maar een eindige periode in de tijd. Het is dus op basis van deze redenering niet logisch juist te concluderen dat de haas de schildpad nooit in haalt. Er is dus ook geen tegen spraak met de dagelijkse ervaring dat dit wel gebeurt.

[ValHallASW]

De paradox is dat de haas de schildpad nooit in zou halen. De TS probeert de 'paradox' volgens mij op te lossen door snelheden niet constant te maken. De truc zit 'm echter op een heel ander punt: de tijdsstappen worden steeds kleiner!

Stel even dat de snelheden zo zijn dat de haas de schildpad op t=1 inhaalt. De paradox neemt steeds tijdsstappen die de helft van de vorige zijn. Zo krijg je dus de oneindige reeks 0.5, 0.25, 0.125...; de limiet van deze reeks is 1 - dus als je de paradox tot in het oneindige doortrekt kom je op t=1 uit, waar de haas en de schildpad op hetzelfde punt zijn. In de paradox kruisen ze elkaar dus niet. Helaas voor de paradox is er ook een t=2 waarbij de haas al een stuk verder is

^^ ik kan het verhaal niet duidelijker opschrijven dan dit. Als het nog niet duidelijk is dan maak ik nog wel een grafiekje

[RemcoDelft]

Zodra filosofen zich met wetenschap bezighouden, krijg je dit soort onzin-redeneringen, die blijkbaar eeuwen meegaan...

[Sissors]

Zowiezo was geloof ik het probleem dat de grieken niet erg veel afwisten van rekenen met limieten naar oneindig en naar nul.

Dit is eeniedergeval inderdaad prima op te lossen met constante beweging.

[ Voor 23% gewijzigd door Sissors op 29-07-2007 09:06 ]

[Verwijderd]

Het is me nu duidelijk. De eindige hoeveelheid tijd had ik over het hoofd gezien. ValHallASW, je hoeft geen grafiekje te maken hoor. Ik snap het verhaal, al duurde het even voordat alles op zijn plaats viel.

[Verwijderd]

RemcoDelft schreef op zondag 29 juli 2007 @ 08:43:
Zodra filosofen zich met wetenschap bezighouden, krijg je dit soort onzin-redeneringen, die blijkbaar eeuwen meegaan...

eh juist... lekker kort door de bocht weer
een paar namen; sommige zullen wellicht bekend voorkomen?

[eamelink]

Verwijderd schreef op zaterdag 28 juli 2007 @ 17:15:
Uhh? Ik snap de paradox niet.

Stel, de haas heeft een achterstand van tien meter. In de tijd dat de haas die 10m aflegt, is de schildpad 1 meter verder. In de tijd dat de haas die meter aflegt is de schildpad 10cm verder. In de tijd dat de haas die 10cm aflegt, is de schildpad 1cm verder. In de tijd dat .... die haas die 10^-400m aflegt, is de schildpad 10^-401m verder. Etcetera; ergo, de haas zal de schildpad nooit inhalen, want elke keer als hij rent tot waar de schildpad eerst was, is de schildpad weer een klein stukje verder

En dat is paradoxaal, want iedereen snapt dat die haas de schildpad zo voorbij is

[Maasluip]

eamelink schreef op maandag 30 juli 2007 @ 01:41:
[...]

En dat is paradoxaal, want iedereen snapt dat die haas de schildpad zo voorbij is

Het is alleen paradoxaal voor de mensen zonder wetenschappelijke achtergrond. Iedereen die een beetje wiskunde heeft gedaan ziet dat je werkt met een limiet van de tijd richting 0 en dat je dan weinig kunt zeggen over inhalen. En dus is er geen paradox meer.
Je kunt hoogstens uitrekenen wanneer ze bij elkaar zijn, en dan is de limiet daar een erg omslachtige methode voor.

En Zeno was ook niet bepaald een wetenschapper. Hij was meer bedreven in het slap lullen, om het maar even poplulair uit te drukken. Pseudowetenschap noemt men dat.
Om een voorbeeld te geven: ik kan bewijzen dat 0 keer oneindig 15 is. De wet van Ohm zegt dat U = I * R, ik heb een spanningsbron van 15 volt aangesloten op een open verbinding. Ik meet de stroom, die is 0, ik meet de weerstand, die is oneindig. De spanning is 15, met U = I * R levert dat op: 15 = 0 keer oneindig. QED.
Dat is het niveau waar Zeno op discussieert, en dat kun je geen wetenschap noemen.

[mace]

Het is best simpel eigenlijk:

Er zijn een oneindig aantal momenten nodig voordat de schildpad ingehaald is.

Je gevoel zegt dat een oneindig aantal momenten ook een oneidige hoeveelheid tijd kost, maar dat is onzin. Een moment is oneinig klein, dus elke willekeurige tijdsspanne heeft een oneindig aantal momenten.

Dat is de oplossing.

[blobber]

Tenzij het een hele snelle schildpad is, dan haalt die haas hem helemaal niet in

[Chubbchubb]

je kijkt volgens mij ook naar de verkeerde parameter, namelijk de afstand tussen de haas en de schildpad. Wanneer je dat doet krijg je in de eerste iteratie een relatief grote tijdstap, in de tweede iteratie al een veel kleinere en in de x-de iteratie is je tijdstap bijna oneindig klein. Een verschil in snelheid maal een oneindig kleine ijdstap resulteert in 'nooit inhalen'. Behoorlijk grote onzin dus.
Neem als parameter een vast punt en je zult zien dat die schildpad geen kans heeft, wanneer je ze langer dan x meter laat lopen, that is.

[soulrider]

volgens http://nl.wikipedia.org/wiki/Zeno_van_Elea is het paradox dat hij eigenlijk beweerd dat de som van een oneindig aantal stappenook oneindig is, waar dit niet zo is.

Iedereen die wiskunde heeft gehad kent de limieten... (zie ook maasluip hierboven)

trouwens is dit ook theoretisch want als de haas sneller loopt dan de schilpad is ie hem zowiezo voorbij na verloop van tijd...

maar als ik tov jou 10 km voorsprong krijg en me beweeg tegen 10km/u
en jij vertrekt gelijk met mij aan 20 km/u in mijn richting dan zijn we na 1u op exact dezelfde plaats.
de seconde nadien ben jij al verder dan mij. (1s*20km/u > 1s*10km/u).
en zo wordt die paradox vrij simpel ontkracht.

Als je zou kijken wat er in dat eerste uur gebeurd zou die paradox juist lijken, maar als je verder kijkt merk je de denkfout.... De paradox kijkt namelijk niet voorbij het punt waar het verschil nul is.

Teken maar eens tijd en afstand van beiden uit op dezelfde grafiek. (afstand tov tijd)
de lijnen snijden elkaar op een punt.

De vermelde paradox blijft aan de t=0-zijde van die punt en gaat ernaartoe, maar nooit op of voorbij.
"uitzoomen" geeft terug het volledige beeld, en je merkt zo dat die paradox fout gaat.

(ja beetje een kick, maar ja )

[Bodevinaat]

Zeno wist uiteraard ook wel dat zijn stelling in de praktijk ogenblikkelijk onderuit ging. Het ging hem dan ook om de logica van de redenering. Blijkbaar kon je iets vanuit de logica anders benaderen dan de realiteit. Hij testte hiermee de kracht van de redenatie.

Zeno was een filosoof, geen beta-wetenschapper. Je moet het zien vanuit het perspectief van de tijd waarin hij leefde. Het heet niet voor niks een paradox.

Wiki:
Een paradox is een ogenschijnlijk tegenstrijdige situatie, die lijkt in te gaan tegen ons gevoel voor logica, onze verwachting of onze intuïtie. Ogenschijnlijk, omdat de vermeende tegenstrijdigheid veelal berust op een denkfout of een verkeerde redenering. Het is ook mogelijk dat de paradox een uitspraak is die verschillende semantische niveaus bevat.

[fommes]

Nu was ik eens op wiki aan het kijken naar die paradoxen en kwan terecht bij de drie deuren paradox:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Driedeurenprobleem


Nu kan het zijn dat ik een denkfout maak, maar is het niet zo dat als presentator 1 van de 3 deuren open doet met daarachter een geit je nog maar de keuze hebt uit 2 deuren en dus hieruit je kans op 50% uitkomt en niet 2/3 =66% ?

[Onbekend]

fommes schreef op vrijdag 10 augustus 2007 @ 17:26:
Nu was ik eens op wiki aan het kijken naar die paradoxen en kwan terecht bij de drie deuren paradox:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Driedeurenprobleem


Nu kan het zijn dat ik een denkfout maak, maar is het niet zo dat als presentator 1 van de 3 deuren open doet met daarachter een geit je nog maar de keuze hebt uit 2 deuren en dus hieruit je kans op 50% uitkomt en niet 2/3 =66% ?

Dit is een bekend probleem. Volgens mij is dit al eens eerder op GoT voorbij gekomen.
Het juiste antwoord is 66,7% en geen 50%.
Dat zit 'em in het feit dat de presentator extra informatie geeft nadat de kandidaat willekeurig heeft gekozen.

[soulrider]

aanvulling op mijn post hierboven
(@hierboven: (edit: wegens traag typen is dit dus op Bodevinaat bedoeld )
er is me bekend wat een paradox is, daarmee dat ik ook vermeld dat zolang men niet naar het praktische punt kijkt waarop beiden elkaar inhalen, deze redenering perfect opgaat en dus correct is - het is enkel een omslachtige manier van "limiet-omschrijving". )

soortgelijk gaat de TS in de denkfout dat de beweging in stappen gebeurd, en de schildpad heel even gaat moeten stil staan om ingehaald te kunnen worden door de haas.
Dit hoeft niet. Als de limiet behaald is, staan ze op exact hetzelfde punt.
en zijn hun snelheiden nog altijd gelijk aan hun beginwaarden, en nog altijd even continu.
(de afgelegde afstand in een steeds kleiner wordende tijdsduur wordt gelijkwaardig kleiner, met een continue-factor gelijk aan de snelheid van het object in kwestie)

je kan dat ook vanuit het andere opzicht beredeneren:
met dezelfde redenering teruggaan naar het punt waarop ze elkaar voorbijlopen.
Je zou tot de conclusie komen dat ze eigenlijk niet op dezelfde plaats zijn geweest.

Daaruit kan je dan gaan redeneren dat zij slechts heel korte tijd gelijktijdig op eenzelfde plaats zijn.
wederom in de "limiet" is deze tijdsduur gelijk aan 0.
(in de praktijk de tijd dat de haas nodig heeft om aan zijn snelheid over de wandelende schildpad te springen, omdat deze beiden ook een eigen lengte hebben, en niet kunnen gezien worden als een oneindig klein punt)

[Verwijderd]

Onbekend schreef op vrijdag 10 augustus 2007 @ 17:29:
[...]

Dit is een bekend probleem. Volgens mij is dit al eens eerder op GoT voorbij gekomen.
Het juiste antwoord is 66,7% en geen 50%.
Dat zit 'em in het feit dat de presentator extra informatie geeft nadat de kandidaat willekeurig heeft gekozen.

Dit onderwerop valt niet echt niet onder een vraag over paradoxen maar is wel interessant als het argument gemaakt wordt (om iemand om de tuin te leiden) dat de kand 50/50 moet zijn.

Het vraagstuk wordt formeel opgelost met wiskunde maar je kan haast iedereen overtuigen dat het antwoord 2/3*100% juist moet zijn:

Neem in plaats van 3 deuren even 1 miljoen deuren. Je keuze geeft dan een kans op de prijs van 1 op een miljoen.

Nu opend de spelmeester op twee na alle deuren met de geiten er in en vraagt dan of je je keuze misschien wilt veranderen. . .je kan op twee vingers uitrekenen dat je kans nu nagenoeg 100 % is als je je keuze veranderd. . .

Je originele kans is 1 op een miljoen. . . je veranderde kans door je keuze te veranderen is dus

1 - ( 1/miljoen) * 100% = haast zeker 100%

Altijd je keuze veranderen in dat spel!

[Verwijderd]

Eigenlijk is het eenvouder: je moet gewoon de paradox testen dmv het testen van het "doel" van de paradox: De paradox beweert, dat de haas (h) de schildpad (s) niet kan inhalen op de weg (=)

=====h=========================================
=============s=================================

"Inhalen" betekent bijvoorbeeld, dat de haas zich een bepaald aantal eenheden voor de schildpad bevindt:

=======================================h=======
================================s==============

Daaruit blijkt, dat de haas bij een bepaalde, positieve, afstand tussen h en s (h loopt voor), net zo snel aan hun doel zijn aangekomen. Het doel ligt voor de schildpad alleen achter die van de haas: de haas is voorbijgekomen.

Ja ik bewijs nu niet de interne onjuistheid van de paradox, omdat die niet bestaat. Helaas leven we in een wereld van externe invloeden en moet je om de juistheid van de paradox te testen, de interne juistheid EN de externe juistheid testen. In dit geval is de interne aanwezig; de externe niet.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 10 augustus 2007 @ 17:48:
[...]


Dit onderwerop valt niet echt niet onder een vraag over paradoxen maar is wel interessant als het argument gemaakt wordt (om iemand om de tuin te leiden) dat de kand 50/50 moet zijn.

Het vraagstuk wordt formeel opgelost met wiskunde maar je kan haast iedereen overtuigen dat het antwoord 2/3*100% juist moet zijn:

Neem in plaats van 3 deuren even 1 miljoen deuren. Je keuze geeft dan een kans op de prijs van 1 op een miljoen.

Nu opend de spelmeester op twee na alle deuren met de geiten er in en vraagt dan of je je keuze misschien wilt veranderen. . .je kan op twee vingers uitrekenen dat je kans nu nagenoeg 100 % is als je je keuze veranderd. . .

Je originele kans is 1 op een miljoen. . . je veranderde kans door je keuze te veranderen is dus

1 - ( 1/miljoen) * 100% = haast zeker 100%

Altijd je keuze veranderen in dat spel!

Ik snap niet waarom iedereen het altijd uit probeert te leggen door meer deuren te nemen, alsof het daardoor duidelijker wordt...

3 deuren, je kiest er een. de kans dat je wint is 1 op 3.
Nu vraagt de presentator of je wilt wisselen voor de twee andere deuren. Als je dat doet wordt je winkans 2 op 3.

Dat hij intussen al een verliezende deur geopend heeft maakt niets uit. Je weet tenslotte dat achter minstens 1 van de 2 overige deuren geen prijs zit. Je weet nu alleen achter welke deur er geen prijs zit.

[FirePuma142]

Een makkelijker voorbeeld is uit het raam springen, omdat de afstand tot de grond telkens met de helft afneemt, kun je oneindig cijfermatig een afstand tussen jezelf en de stoeptegels aan blijven geven. Praktisch gezien kletter je toch echt knalhard op de grond.

[Onbekend]

Verwijderd schreef op donderdag 16 augustus 2007 @ 09:22:
[...]

Ik snap niet waarom iedereen het altijd uit probeert te leggen door meer deuren te nemen, alsof het daardoor duidelijker wordt...

3 deuren, je kiest er een. de kans dat je wint is 1 op 3.
Nu vraagt de presentator of je wilt wisselen voor de twee andere deuren. Als je dat doet wordt je winkans 2 op 3.

Dat hij intussen al een verliezende deur geopend heeft maakt niets uit. Je weet tenslotte dat achter minstens 1 van de 2 overige deuren geen prijs zit. Je weet nu alleen achter welke deur er geen prijs zit.

Het verhaal dat je net beschrijft is niet duidelijk.
Mensen willen graag een duidelijk voorbeeld wat ze ook voor hun gedachten kunnen halen. Daarom wordt meestal een voorbeeldt geven die Vortex2 heeft gepost.

Dat hij intussen al een verliezende deur geopend heeft maakt niets uit.

Dat maakt zeker iets uit! Je hebt eerst "willekeurig" gekozen voor 1 van de 3 deuren.
Daarna geeft de presentator extra informatie weg door een lege deur te openen. Van deze informatie kan je juist heel handig gebruik maken.

[soulrider]

laat de discussie van de deuren even buiten het topic
(of open een nieuwe)

The killer geeft het mooiste voorbeeld.

[Verwijderd]

FirePuma142 schreef op donderdag 16 augustus 2007 @ 09:33:
Een makkelijker voorbeeld is uit het raam springen, omdat de afstand tot de grond telkens met de helft afneemt, kun je oneindig cijfermatig een afstand tussen jezelf en de stoeptegels aan blijven geven. Praktisch gezien kletter je toch echt knalhard op de grond.

Als je daarentegen heel hard aan iets anders denkt, heb je kans dat je de grond mist.

[Verwijderd]

FirePuma142 schreef op donderdag 16 augustus 2007 @ 09:33:
Een makkelijker voorbeeld is uit het raam springen, omdat de afstand tot de grond telkens met de helft afneemt, kun je oneindig cijfermatig een afstand tussen jezelf en de stoeptegels aan blijven geven. Praktisch gezien kletter je toch echt knalhard op de grond.

Aantonen dát 'ie onwaar is is niet zo moeilijk, aantonen wáárom vereist enig wiskundig inzicht, en dát is de paradox van Zeno.

[ Voor 3% gewijzigd door Verwijderd op 17-08-2007 11:08 ]

[FirePuma142]

Verwijderd schreef op vrijdag 17 augustus 2007 @ 11:07:
[...]

Aantonen dát 'ie onwaar is is niet zo moeilijk, aantonen wáárom vereist enig wiskundig inzicht, en dát is de paradox van Zeno.

Dát snap ik. Maar het raamvoorbeeld is simpelweg wat beeldender én eenvoudiger.

[Verwijderd]

FirePuma142 schreef op vrijdag 17 augustus 2007 @ 11:39:
[...]


Dát snap ik. Maar het raamvoorbeeld is simpelweg wat beeldender én eenvoudiger.

Dat het niet klopt wist Zeno ook wel. WAAROM het niet klopt, Dat is het paradoxale. (maar ook niet zo moeilijk wanneer je niet alleen naar de afstanden kijkt, maar ook naar de tijd.