Even veel even getallen als getallen

[Anoniem: 958]

Aangezien sommigen al gaan flippen van het wiskundige feit dat 0,999... = 1
Vraag ik me af hoe goed jullie dit trekken:

De verzameling van alle even natuurlijke getallen heeft even veel elementen als de verzameling van natuurlijke getallen.

Er zijn dus even veel even getallen als natuurlijke getallen! (En dus niet 2 keer zo weinig.)

Het bewijs zal ik nog niet geven, denk er eerst zelf maar eens over na.

Wiskunde is leuker als je denkt!

Sandalf

[ronaz]

Euhhh, oneindig veel is evenveel als oneindig veel???

2x oneindig is toch net zo oneindig als oneindig???

[Anoniem: 12902]

Euh, de verzameling van even getallen is net zo groot, als de verzameling van alle rationele getallen(gehele getallen, alle brueken en decimale breuken).(8>

[Anoniem: 17242]

Als we nu toch wiskundig bezig zijn:
Zijn hier ook de irriëele getallen in verwerkt?

Zoals de wortel uit een negatief getal.

[Lord Daemon]

Hm, het lijkt me vrij gemakkelijk om te bewijzen dat er even veel even als oneven getallen zijn. (Ik noem de verzameling even getallen E)

Stel dat x een element is uit N. Dan is 2x een element uit E. Voor ieder element uit N heb je dus een element uit E, en andersom. Er zijn dus evenveel elementen in N als in E.

Echter: Stel dat 2x een element is in E. Dan zijn x en x+1 correspnoderende elementen uit N. Voor ieder element uit E zijn er zo twee corresponderende elementen uit N. Dus N heeft twee maal zoveel elementen als E.

Mooi is dat, een van de twee is fout.

Lord Daemon

[Dr_Frickin_Evil]

Tja er zijn oneindig reele getallen, maar ook oneindig natuurlijke getallen. En aangezien 2x oneindig nog steeds oneindig is...
Hoewel dit volgens mij niet het geval is wanneer nul niet tot de reele getallen wordt gerekend, ik meen ooit van mn docent analyse aan de TUe gehoord te hebben dat dit geval namelijk door sommigen betwist wordt, maar ik kan het mis hebben.

[Anoniem: 8799]

Op vrijdag 09 februari 2001 16:14 schreef Dr_Frickin_Evil het volgende:
Tja er zijn oneindig reele getallen, maar ook oneindig natuurlijke getallen. En aangezien 2x oneindig nog steeds oneindig is...
Hoewel dit volgens mij niet het geval is wanneer nul niet tot de reele getallen wordt gerekend, ik meen ooit van mn docent analyse aan de TUe gehoord te hebben dat dit geval namelijk door sommigen betwist wordt, maar ik kan het mis hebben.

0 is wel een reeelgetal, en er is inderdaad discussie (geweest) of het een natuurlijk getal is....

[Anoniem: 8799]

Op vrijdag 09 februari 2001 08:14 schreef ronaz het volgende:

2x oneindig is toch net zo oneindig als oneindig???

neuh... blijkbaar niet

[Anoniem: 6927]

Op vrijdag 09 februari 2001 01:22 schreef Sandalf het volgende:
Aangezien sommigen al gaan flippen van het wiskundige feit dat 0,999... = 1
Vraag ik me af hoe goed jullie dit trekken:
Wiskunde is leuker als je denkt!

Sandalf

FLIERPSK*!

maar 0,999999999 is geen een
er is nog steeds een epsilon omgeving rond een die niet eens in de buurt komt van 0,999999999999





(*= raaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah!)

[Anoniem: 13428]

Ik denk dat je evenveel en de cardinaliteit door elkaar haalt maar er is geloof ik wel een bijectie te vinden tussen deze twee verzamelingen, (verder ben ik wiskundigsyntactisch niet zo correct).
Je kunt stellen dat als je N hebt met de natuurlijkegetallen en E (ofzo) met de even natuurlijke getallen dat er dan een bijectie is.

Namelijk 2n (of hoe je dat dan zeg) als je elk getal in N namelijk met twee vermenigvuldigd krijg je 1 getal dan in E zit, en je krijgt nooit bij twee verschillende waarden van N hetzelfde getal, en je krijgt zo alle getallen in E.

En elk getal in E is even dus deelbaar door twee en zo werkt het dus de andere kant op.

Ik kan dit wiskundig niet zo netjes formuleren Maar zo lijkt het me ongeveer te zitten.

Tussen R en N is volgens mij geen bijectie te vinden.

[Anoniem: 21878]

Op vrijdag 09 februari 2001 01:22 schreef Sandalf het volgende:
Aangezien sommigen al gaan flippen van het wiskundige feit dat 0,999... = 1
Vraag ik me af hoe goed jullie dit trekken:

Wiskunde is leuker als je denkt!

Sandalf

Bespeur ik hier iets dat ze in de "volksmond" arrogantie noemen?

[Anoniem: 958]

Geen arogantie, gewoon nieuwsgierigheid naar hoe snel jullie iets aannemen dat waar is, maar waarvan je op het eerste gezicht zou zeggen dat het onzin is.

L.D. heeft met de functie x->2x meteen de juiste bijectie gevonden. Als tussen 2 verzamelingen een bijectie bestaat, dan noemen we de verzamelingen even groot.

2 keer zoveel heeft bij oneindigheden geen enkele betekenis, vanwege het feit dat oneindig geen getal is en je dit dus niet met 2 kunt vermenigvuldigen.

Je kunt dus bij oneindigheden, niet meer spreken over '2 keer zo veel' maar nog wel over 'even veel' (er is een bijectie).

Je kunt het zelfs hebben over 'meer oneindig' en 'minder oneindig'. (Om precies te zijn |A|<|B| als er een injectie van A naar B bestaat).

N heeft bijvoorbeeld 'aftelbaar oneinig' veel elementen en dat is fundamenteel minder dan het aantal elementen uit R. De injectie wordt gegeven door de identiteit: f(x)=x, maar een bijectie bestaat niet.

[Anoniem: 15367]

Lord Daemon:

Mooi is dat, een van de twee is fout.

Ik studeer geen wiskunde, maar ik weet wel een beetje van sets af. Volgens mij zijn beide bewijzen van Lord Daemon juist. Alleen weet ik niet of die sets met reëele getallen en even reëele getallen gewone sets zijn, maar als ze dat wel zijn is de set met even getallen toch een subset van de set met alle getallen. De set van alle getallen is echter geen subset van alle even getallen:

E c N

N bevat dus wel alle elementen van E (de even getallen zitten wel in de set met alle gtallen), maar E bevat niet alle elementen uit N (de set met even getallen bevat niet de oneven getallen).

Hmmm, ik bedenk net dat dit misschien niet geldt als beide sets oneindig veel elementen hebben.
Sandalf, kun je ook uitleggen waarom dit voor eindige sets anders kan zijn dan voor oneindige sets? Of klopt voor oneindige sets de discrete wiskunde helemaal niet?

[TlighT]

Op vrijdag 09 februari 2001 20:04 schreef hybridz het volgende:
Lord Daemon:
Hmmm, ik bedenk net dat dit misschien niet geldt als beide sets oneindig veel elementen hebben.
Sandalf, kun je ook uitleggen waarom dit voor eindige sets anders kan zijn dan voor oneindige sets? Of klopt voor oneindige sets de discrete wiskunde helemaal niet?

Ik studeer ook geen wiskunde, maar laat ik er even een gooi naar doen. Je kunt het begrip oneindigheid gebruiken om de grootte van oneindige verzamelingen aan te duiden, zoals de verzameling natuurlijke getallen. Je kunt niet zeggen uit hoeveel elementen zo'n verzameling bestaat (behalve oneindig veel natuurlijk) want dan zou je oneindigheid uitdrukken als een getal en dat kan niet (zie andere topic over oneindigheid). Je kunt echter wel zeggen of twee oneindige verzamelingen even groot zijn. Dit kun je doen zonder dat je weet uit hoeveel elementen een verzameling bestaat: namelijk twee verzamelingen A en B zijn even groot als je bij elk element uit verzameling A een (ander) element uit verzameling B kunt leggen, en daarna geen elementen meer over houdt (anders gezegd, er is een een-op-een relatie). Dit kan bijvoorbeeld met de verzameling van alle natuurlijke getallen en de verzameling van alle even getallen:
1 = 2
2 = 4
3 = 6
4 = 8
...
n = 2n
De wiskundige term voor de grootte van een verzameling is cardinaliteit. De twee verzamelingen hierboven hebben dus dezelfde cardinaliteit. Op dezelfde manier is aan te tonen dat de verzameling van alle reeële getallen (op een of andere manier) groter is dan de verzameling van alle natuurlijke getallen, dwz er bestaat geen een-op-een relatie tussen de elementen uit die verzamelingen. Dit valt ook te bewijzen (Cantor heeft dat gedaan), maar dat laat ik liever aan Sandalf over . Niet alle oneindige verzamelingen hebben dus dezelfde cardinaliteit.
Aanvulling: De oneindige verzamelingen met dezelfde cardinaliteit als de verzameling natuurlijke getallen worden aftelbaar oneindig genoemd. Verzamelingen die groter zijn (zoals de verzameling reeële getallen) worden continu oneindig genoemd.

[TlighT]

Op vrijdag 09 februari 2001 20:36 schreef TlighT het volgende:
Dit valt ook te bewijzen (Cantor heeft dat gedaan), maar dat laat ik liever aan Sandalf over .

Hehe, ik heb het dus maar even opgezocht (wilde het zelf ook graag weten) en het bleek toch niet zo heel moeilijk te zijn (hoop ik). Dit bewijs wordt Cantor's diagonalization argument genoemd. Het is een bewijs uit het ongerijmde. Stel dat er wel een een-op-een relatie bestaat tussen alle natuurlijke getallen en alle reële getallen. Bijvoorbeeld:
1 : 1.5435435...
2 : 4.2344243...
3 : 0.3244354...
4 : 9.2344323...
5 : 5.9984324...
6 : 6.0000000...
7 : 5.3243232...
8 : 2.3424332...
9 : 5.6735455...
etc.
nu kun je een reëel getal construeren waarbij je de diagonaal volgt (in het voorbeeld vet gedrukt). Het 1e cijfer is het 1e cijfer van het 1e getal, het 2e cijfer is het 2e cijfer van het 2e getal, het 100e cijfer is het 100e cijfer van het 100e getal, enz.
In dit geval is dat getal: 1.2244032...
Dit getal kan nog best in onze lijst staan, bijvoorbeeld op de 1000e plaats ofzo. Maar wat gebeurt er nu als je elk cijfer in ons geconstrueerde getal laat afwijken van het originele cijfer, bijvoorbeeld:
1.2244032... wordt
2.3355143...
Dit nieuwe getal kan niet hetzelfde zijn als het 1e getal in onze lijst (want het 1e cijfer klopt niet). Het kan ook niet hetzelfde zijn als het 2e getal in onze lijst (want het 2e cijfer klopt niet), het kan ook niet hetzelfde zijn als het 100e getal in onze lijst (want de 100e cijfer klopt niet), etc.
Het kan dus nergens voorkomen in onze lijst, het is echt een nieuw getal. Dus er kan nooit een een-op-een relatie bestaan tussen N en R, want welke lijst je ook neemt er valt altijd een getal te construeren dat niet in die lijst voorkomt! QED.

[Anoniem: 9942]

het woord "evenveel" verliest zijn betekenis als het gaat om oneindige verzamelingen...

[Anoniem: 10819]

je kan toch wel stellen dat er even veel even als oneven getallen in de verzameling van natuurlijke getallen(die oneindig is uiteraard) zijn???

[Anoniem: 7690]

Uhm 2*oneindig is niet evenveel als oneindig. Hier maak je ook gebruik van bij limieten.
bv lim(n->00)2n/n=2.

[Het]

Ja... dat er evenveel oneven getallen als even getallen zijn kan ik heel goed begrijpen.... Maar het gaatr hier dan vooral om het feit dat er evenveel even als reele getallen zijn.... Op een of andere manier klinkt dit mij niet onlogisch in de oren, maar bewijs kan ik er niet voor leveren....

[Anoniem: 17789]

*ploerk*

[Anoniem: 9942]

Yan grange: er zjn NIET evenveel reele als even getallen. Probeer ze maar eens 1 op 1 af te beelden, lukt je niet. De verzameling reele getallen is van een andere orde oneindigheid dan die van de even getallen (die van dezelfde orde is als de natuurlijke getallen)

[Anoniem: 13700]

De cardinaliteit van oneindige verzamelingen wordt aangeduid met de aleph waarde.

Cantor bewees dat de getalverzamelingen N, Z en Q een 1 op 1 relatie hebben; en dus van de zelfde cardinaltiteit zijn. Cantor noemde deze verzamelingen "aftelbaar oneindig", wij zeggen dat deze verzamelingen cardinaliteit aleph0 hebben.

Cantor bewees met zijn diagonalen dat er geen 1 op 1 relatie bestaat tussen R en N. Dus moet card(R) > card(N), dus card(R) > aleph0.

De cardinaliteit van het reeele interval (0,1) is gelijk aan de card(R), want er bestaat een 1 op 1 relatie tussen deze verzamelingen (arctan bv.). Dus card(0,1) = card(R).

We kunnen het interval (0,1) afbeelden als binaire getallen met alleen nullen en enen. Dit is dus weer een 1 op 1 relatie met de machtsverzameling (powerset) van de natuurlijke getallen P(N) (ook binair uitgeschreven). Dus card(0,1) = card(P(N)).

We kunnen alle combinaties van nullen en enen in het interval(0,1) uitschrijven als het Cartesische product:
{0,1} * {0,1} * {0,1} * ... = {0,1}^aleph0
De verzamelingenleer zegt dat {0,1} = 2, dus kunnen we schrijven: 2^aleph0

We hebben dus nu bewezen dat:
aleph0 < card(R) = card(0,1) = card(P(N)) = 2^aleph0

Omdat 2^aleph0 de volgende grootte van oneindigheid is, noemen we hem aleph1, Dus 2^aleph0 = aleph1.

Hausdorff breidde dit uit tot de algemene continuum hypothese:
aleph[a+1] = 2^aleph[a].

Wat wil dit in normaal nederlands zeggen? De cardinaliteit van een oneindige verzameling wordt niet groter als we die verzameling vermenigvuldigen, delen, optellen of aftrekken. De enige manier om in een hogere orde van oneindigheid te komen is machtsverheffen.

<edit>klein foutje in m'n binaire interval</edit>

[Anoniem: 10819]

Okeej nog een vraagje over oneindigheid,
stel ik heb een kansexperiment dat ik oneindig vaak uitvoer, maar de kans dat ik krijg wat ik wil is 0, kan ik dan iets zeggen over de verwachtingswaarde of over de kans over het hele experiment gezien??

[sewer]

Op zaterdag 10 februari 2001 16:54 schreef Vosjuh(Nae'blis) het volgende:
Okeej nog een vraagje over oneindigheid,
stel ik heb een kansexperiment dat ik oneindig vaak uitvoer

In dat geval geldt de wet van de grote aantallen.

maar de kans dat ik krijg wat ik wil is 0, kan ik dan iets zeggen over de verwachtingswaarde

De verwachtingswaarde staat vast, namelijk de som van: alle mogelijke uitkomsten * de kans op de uitkomst. Bijv. bij het dobbelsteen experiment is de verwachte waarde 3.5, ook al is de kans op hetgene wat je wilt (bijv. 7 gooien) gelijk aan nul.

of over de kans over het hele experiment gezien??

Over de kansen van de individuele mogelijke uitkomsten kan je wel een uitspraak doen, maar wat bedoel je me 'de kans over het hele experiment'. Bedoel je de kans dat jouw gewilde toestand minstens één keer voorkomt. Bij oneindig vaak herhalen van het experiment is deze kans gelijk aan 0 als jouw toestand niet voor kan komen, en 1 als jouw toestand wel voor kan komen.

[GeeBee]

Volgens mij is één van de weinige sommen die je met oneindig kunt maken, dat oneindig × 0 = 0.

De verwachtingswaarde E = sommatie over i van xi × P(x_ = xi).
Oftewel: de uitkomst van een experiment × de kans op die uitkomt, en dat dan voor alle mogelijke uitkomsten bij elkaar.

De verwachtingswaarde van een dobbelsteenworp is dus:

E =
1 × 1/6 +
2 × 1/6 +
3 × 1/6 +
4 × 1/6 +
5 × 1/6 +
6 × 1/6 = 3,5.

De worp met de meeste kans bij 2 dobbelstenen is dan 2 × 3,5 = 7. Daarom denken mensen vaak dat als ze bijvoorbeeld een 3 hebben gegooid, dat ze daarna de meeste kans hebben op een 4, omdat ze dan samen weer 7 hebben gegooid.

Maar goed ik dwaal af : ook al voer je een experiment oneindig keer uit, als de kans op succes 0 is, is E ook 0:

E =
1 × 0 +
2 × 0 +
...
n × 0 = 0

[Anoniem: 12020]

Tjeez, van al die wiskundige notaties ed snap ik dus echt zo ongeveer niets, maar het is toch dat je elk getal met 2 kunt vermenigvuldigen en dat je daardoor een even getal krijgt en elk even getal kun je door 2 delen, waarna je een gewoon (even of oneven) getal krijgt?

(ik had even geen zin om voor getal elke keer natuurlijk te schrijven..)

[Anoniem: 958]

het woord "evenveel" verliest zijn betekenis als het gaat om oneindige verzamelingen...

Dit is niet waar, 'even veel' is gedefinieerd als 'er is een bijectie'.
2 x zoveel verliest zijn betekenis.

Maar goed ik dwaal af : ook al voer je een experiment oneindig keer uit, als de kans op succes 0 is, is E ook 0:

Dit klopt, maar dit heeft een andere oorzaak dan de bewering dat 'oneindig x 0 = 0'.
Oneindig is geen getal, dus niet met 0 te vermenigvuldigen (is niet gedefinieerd).

De verwachtingswaarde van het aantal keer dat je 7 gooit met een dobbelsteen als je 'oneindig vaak gooit', is de som van i=0 tot oneind. van i*0. Dit is de limiet van het aantal keren gooien -> oneind. van een eindige som die 0 oplevert. Dus de limiet is de limiet van een constant rijtje nullen, dus 0.

Wat wil dit in normaal nederlands zeggen? De cardinaliteit van een oneindige verzameling wordt niet groter als we die verzameling vermenigvuldigen, delen, optellen of aftrekken. De enige manier om in een hogere orde van oneindigheid te komen is machtsverheffen.

Dit klopt, alleen moet je dan wel weten wat optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen van verzamelingen betekenen:

optellen is de disjucte som nemen:
A + B := (A,0) U (B,1)
Vermenigvuldigen is het Carthesisch product nemen:
A x B := (A,B)
Machtsverheffen is functies maken:
A^B := {f | f : B -> A}

Dan gelden voor de cardinaalgetallen van A en B (zolang A en B oneindige verzamelingen zijn):

|A+B| = max {|A|,|B|}
|AxB| = max {|A|,|B|}
|A^A| = 2^|A| > |A|

Het is wel grappig dat je de continuum hypothese noemt. Dit is, logisch gezien, een heel vreemde stelling.

Je kunt niet zeggen op grond van de de gebruikelijke axioma's van verzamelingstheorie of CH waar of onwaar is. CH spreekt de axioma's niet tegen (Gödel, 1940), en zijn negatie doet dat ook niet (Cohen 1966). Je kunt dus geen tegenspraak afleiden uit CH, maar toch kun je hem niet bewijzen. Cohen kreeg voor deze ontdekking in 1966 de Fields Medal.

Ten slot nog even iets over deelverzamelingen:

Als geldt A c B dan geldt |A|<|B| of |A|=|B|
Maar er geldt niet dat als A c B, en B bevat extra elementen die niet in A zitten, dat dan geldt |A|<|B|. Er kan dan nog steeds gelden dat |A|=|B| (zoals in mijn voorbeeld).

Edit: A'tjes, B'tjes... Nu staan ze goed

[Anoniem: 13700]

<offtopic>
Sandalf>> Ik probeerde het dus in normaal nederlands CH heeft toch duidelijk met het topic te maken; en ik moet toegeven dat ik eigenlijk een beetje aan zat te sturen op de stelling van Gödel, als we toch mensen mathematisch aan het "laten flippen" zijn
</offtopic>

[Het]

Op zaterdag 10 februari 2001 13:44 schreef Captain Proton het volgende:
Yan grange: er zjn NIET evenveel reele als even getallen. Probeer ze maar eens 1 op 1 af te beelden, lukt je niet. De verzameling reele getallen is van een andere orde oneindigheid dan die van de even getallen (die van dezelfde orde is als de natuurlijke getallen)

1. Zeg maar Yan (ik ben een van die vaagos die gewoon hun gehele naam als Nick hebben )
2. ja, dat dacht ik ook in eerste instantie... Maar op een of andere manier heeft deze draad me aan het twijfelen gemaakt

[Janoz]

Op zaterdag 10 februari 2001 00:41 schreef wVm het volgende:
Uhm 2*oneindig is niet evenveel als oneindig. Hier maak je ook gebruik van bij limieten.
bv lim(n->00)2n/n=2.

Wat je hier doet is som uitrekenen, niet het bepalen van het aantal elementen in een verzameling.


Als we toch N en R met elkaar gaan vergelijken... De verzameling N is zelfs kleiner dan [0,1> (alle reele getallen vanaf 0 tot 1)

BEWIJS:
ook een Cantor's diagonalization argument. Voor uitleg zie boven (TlighT), maar dan neem je gewoon de diagonaal van alle cijfers achter de komma.

Vervolgens moet je niet 1 erbijop tellen, want dan zou je bv bij een diagonaal met allemaal 8-en het getal 0.99999... krijgen, en dat is natuurlijk 1 en 1<1 geldt niet. Dit bewijs heb ik een keer gehad bij een of ander college. Ik moest er ook gelijk weer aan denken toen ik het 0.999.. topic tegenkwam.

Wat we nu doen is gewoon van elk getal een 4 maken behalve als het getal een 4 was, dan maken we d'r gewoon 5 van. En aangezien dit nieuwe getal weer met elke andere verschilt, hebben we een getal wat nog niet in de lijst voorkwam. Geen bijectie dus

(Om te bewijzen dat [0,1> groter is dan N moeten we natuurlijk nog wel een injectie kunnen definieren. Da's op zich niet moeilijk.. Spiegel een getal gewoon om de komma (0 wordt 0,1 wordt 0.1, 123 word 0.321) en tada )

[Anoniem: 13700]

Janoz: Als we toch N en R met elkaar gaan vergelijken... De verzameling N is zelfs kleiner dan [0,1> (alle reele getallen vanaf 0 tot 1)

Da's dus niet zo gek, wat de cardinaliteit van [0,1> (of interval (0,1) zoals ik het noem) is gelijk aan die van R. In m'n post boven ga ik nog een stapje verder en bewijs dat de cardinaliteit van [0,1> (en dus van R) gelijk is aan die van de powerset van N.

[Anoniem: 3672]

Volgens mij had je de stelling: "Even veel even getallen als getallen", even iets duidelijker moeten omschrijven. Daar het nu lijkt alsof alle getallen "even" moeten zijn.

[Lord Daemon]

Machtsverheffen is functies maken:
A^B = {f | f : B -> A}

Bij een functie heb je toch een 1 op 1 correspondentie tussen de invoer en de uitvoer?

[Edit - Op Sandalfs verzoek A en B omgewisseld]

[Anoniem: 11648]

Sandalf: Wiskunde is leuker als je denkt!

Wiskunde is niet zo leuk als je niet denkt.

[-=Confuzer=-]

*auw*...

Hierdoor heb ik geen wiskunde gekozen, door al die crap eromheen

minder oneindig dan maar?
De een is altijd groter dan de andere maar beide zijn ze oneindig...

Wat kan ik hier eigenlijk mee? wat heeft oneindigheid nu voor waarde voor ons?
Ja, je kan het als verklaring opbrengen bij een som, dus een benadering of bv PI, maar een werkelijke waarde heeft het niet...

Rekenen ermee is al helemaal absurd en onnodig...

[Anoniem: 958]

L.D.:
Bij een functie heb je toch een 1 op 1 correspondentie tussen de invoer en de uitvoer?

Nee hoor, bijv. f(x)=x^2 is niet 1 op 1, want 2^2=(-2)^2. Dus bij 2 versch. invoeren krijg je dezelfde uitvoer, dus niet 1 op 1 (maar 2 op 1 of zoiets).

Het is wel zo dat elke injectieve functie 1 op 1 op zijn beeld is, ik weet niet of je dat bedoelt?

Nog ff op Confuser reageren. Dit soort wiskunde is niet helemaal nutteloos. Het kan handig zijn als je op zoek bent naar een bijectieve functie (isomorphisme of zo), om eerst eens te kijken of de verzamelingen wel dezelfde kardinaliteit hebben, anders is zoeken vrij zinloos .

Verder is het gewoon wiskunde, dus wetenschap, dus nuttig omdat het ons inzicht in de wiskunde (en in oneindig bijv.) verscherpt.

Oh ja en Arien: je snapt em .

[-=Confuzer=-]

Het kan handig zijn als je op zoek bent naar een bijectieve functie (isomorphisme of zo), om eerst eens te kijken of de verzamelingen wel dezelfde kardinaliteit hebben, anders is zoeken vrij zinloos .

En maakt het daar uit of iets minder of meer oneindig is????

[Anoniem: 958]

Oh ja, en L.D. zou je in je vorige quote de A en de B voor of na de = even om willen draaien, dan klopt 't weer.
Mijn fout...

[Anoniem: 958]

Ja, dat maakt uit. Als een verzameling 'meer' of 'minder' oneindig is (netter geformuleerd: een andere cardinaliteit heeft) dan een andere verzameling, bestaat er geen bijectie tussen de verzamelingen.

[Anoniem: 11648]

Sandalf: De verzameling van alle even natuurlijke getallen heeft even veel elementen als de verzameling van natuurlijke getallen.

Je moet bewijzen dat een er een 1-op-1 relatie is tussen elementen uit de twee verzamelingen.

Definieer E = { 2x | x ε N }
en f: E -> N met f(2x) = x

Injectie: f(2a) = f(2b) -> a = b -> 2a = 2b
Surjectie: voor alle x ε N is er een 2x ε E zo dat f(2x) = x.

f is bijectief en E en N hebben (dus) dezelfde cardinaliteit.

[-=Confuzer=-]

Ja, dat maakt uit. Als een verzameling 'meer' of 'minder' oneindig is (netter geformuleerd: een andere cardinaliteit heeft) dan een andere verzameling, bestaat er geen bijectie tussen de verzamelingen.

En dat kan niet met verzamelingen die niet oneindig zijn?

[Lord Daemon]

Sandalf, 1 op 1, 2 op 1, boeien. Ik zie niet in hoe je een hogere graad van oneindigheid bereikt met machtsverheffen.

[Anoniem: 12531]

Op dinsdag 13 februari 2001 23:09 schreef Lord Daemon het volgende:
Sandalf, 1 op 1, 2 op 1, boeien. Ik zie niet in hoe je een hogere graad van oneindigheid bereikt met machtsverheffen.

ik ook niet eigenlijk..

Een oneindige lijn bevat evenveel punten als als een vlak oneindige lengte en een breedte van 2 (of van oneindig) dat snap ik.

Maar een oneindigelijn lijn die op oneindig veel snijdingslijnen bevat meer punten?

leg eens uit, en bespaar met de wiskundige formules (voor de hobyisten mogen ze er wel bij, maar ik heb daar geen boodschap aan)

[Anoniem: 958]

'Met machtsverheffen een hogere graad van oneindig bereiken' betekent iets anders dan wat jullie denken waarschijnlijk.

Je kunt machtsverheffen met verzamelingen.
A tot de macht B betekent per definitie:
De verzameling van alle functies van B naar A.

De cardinaliteit van A en B kunnen in dat geval kleiner zijn dan de cardinaliteit van A^B.

Bijvoorbeeld:

N heeft aftelbaar oneindig veel elementen. De verzameling {0,1} heeft er 2.
De verzameling van alle functies van N naar {0,1} heeft meer dan aftelbaar oneindig veel elementen! Even veel als R om precies te zijn!

Nu is er een stelling die zegt dat 2^|A|>|A|.
(2^|A| is ook het aantal deelverzamelingen van A, of de cardinaliteit van de Powerset van A (dit is de verzameling van alle deelverzamelingen).

En met het optellen en vermenigvuldigen van cardinaalgetallen worden ze nooit groter dan het max van de 2 getallen die je vermenigvuldigt (aangenomen dat je cardinaalgetallen niet eindig zijn). Maar met machtsverheffen wel.

Hopelijk heeft deze post wat duidelijk gemaakt.

[Anoniem: 958]

En dat kan niet met verzamelingen die niet oneindig zijn?

Jawel hoor, tussen 2 eindige verzamelingen met een andere cardinaliteit (ander aantal elt.) bestaat ook geen bijectie

[Anoniem: 13700]

Sandalf>> misschien kun je de A in je powerset stukje veranderen in B of N of nog beter X? Zo lijkt het net of je de A en B uit je eerste stukje verwisselt.