fractals

[Verwijderd]

Ik bladerde vandaag eens even door mijn wiskunde boek heen toen ik het fenomeen fractalen tegen kwam, kan iemand me even uitleggen wat dit inhoud????
Al een heleboel lui wisten er van alles van vanuit de informatica, dus nu wil ik het ook graag even weten.

Alvast bedankt!:)

[Verwijderd]

DJAvalance

"A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided in parts, each of which is a reduced-size copy of the whole. Fractals are generally self-similar and independent of scale."

Dit komt van de volgende site:

http://users.pandora.be/achille.de.graeve/fractale25.html

(deze site is niet al te best, geloof ik, qua onderhoud)

zie ook: http://www.calweb.com/~bjohnson/fract.html

Een fractaal is dus een bepaalde, symmetrische vorm en als je op deze vorm inzoomd zie je steeds de beginvorm terug. (Ik maak het er niet makkelijker op, )

de groetjes

Greenbit

[Verwijderd]

Fractals zijn toch het gevolg van oneindige wiskundige formules?

* Don't blame me, math and me?? Not really!

[Verwijderd]

Ik weet al wel dat fractalen het gevolg zijn van oneindigheid, maar kan iemand mij een voorbeeld geven van een formule die hier toe leidt?

Hoe kan het nu dat iets zich tot in het oneindige herhaalt?

Ik zou graag een beetje uitleg hierover hebben.

[Verwijderd]

Ik weet t ook niet helemaal precies, maar fractals zijn iig grafieken van functies met een vreemde dimensie.

We zijn gewend om grafieken te tekenen met een dimensie van 2 of 3, maar wiskundig gezien kun je ook best een grafiek tekenen met een dimensie van bijv. 1,68.

Je krijgt dan figuren die zichzelf steeds herhalen, tot in het oneindige.

De functie die voor het tekenen wordt gebruikt is volges mij iets van g(x)=f(x)*i , waarbij i een imaginair getal is...

Maar hoe het precies zit weet ik ook niet helemaal

[Verwijderd]

dit is nou hetzelfde als reizen met de lichtsnelheid (of sneller)

een fractaal (de naam zegt het al een fractie van ? wat oneindig "kan" duren.

net zoals reizen in de tijd kan je jezelf niet tegenkomen maar creeer je gewoon een andere dimensie en die worden oneindig ("dus fractaal") aangemaakt.

een simpelere verklaring kan ik niet geven !

[Verwijderd]

Het begrip fractal komt van de term "fractal dimension" van B.B. Mandelbrot.

Een fractal is dus een object met een "gebroken dimensie". Een "kronkellijn" heeft bv. een dimensie tussen 1 en 2, een "kreukelvlak" heeft een dimensie tussen 2 en 3.

Een fractal is dus een principe een lijn die een deel van een vlak vult (omdat hij niet recht is), of een vlak dat een deel van een ruimte vult, enz.

De meeste fractals ontstaan door iteratieve functies, dwz. dat de uitkomst van de voorgaande berekening de input van de volgende berekening wordt, dus: x' = f(x), x'' = f(x'), enz.

De bekendste fractals zijn wel de Julia- en Mandelbrot fractals. Deze werken inderdaad met imaginaire getallen; de formule van deze fractals is als volgt: z' = z^2 + c.

Maar er zijn al veel eenvoudigere functies die fractale eigenschappen hebben, neem bv. het model van geremde groei van Verhulst:
x' = a x (1 - x)
Hierbij is x het aantal dieren in een bepaalde generatie, een getal tussen 0 en 1. x' is het aantal dieren in de volgende generatie; en a is de groeifactor van het model (ook wel maltusiaanse factor genoemd).

Wat is er nu zo vreemd aan dit model? De waarde van de malthusiaanse factor.

Wanneer 0 < a <= 1, gaat x onheroepelijk naar 0 bij voldoende generaties.

Wanneer 1 < a <= 2, streeft het model naar een limietwaarde 1 - 1/a, waardoor x of steeds grotere, of steeds kleinere waardes zal opleveren.

Wanneer 2 < a <= 3, streeft het model nog steeds naar limiet 1 - 1/a, maar nu oscillerend. Dwz. dat x waardes krijgt die afwisselend groter en kleiner zijn dan die limiet.

Wanneer 3 < a <= 4, wordt het interessant (en ingewikkeld). Het model wordt oftewel periodiek, dwz. dat bepaalde waardes van x zich herhalen (en dus om het limietpunt cirkelen), oftewel volledig chaotisch (er is geen verband meer tussen de opeenvolgende waarden van x en de limiet waar te nemen).

(Overigens a > 4 mag niet, want dan kan x > 1 worden.)

De chaostheorie bestudeert zulke chaotische modellen; en het blijkt dat er wetmatigheden in die schijnbare chaos zitten. Zo blijken bv. de overgangen van chaotisch naar periodisch gedrag altijd de zelfde schaal (verhouding van de toenames van factor a) te hebben.

Deze schaalfactor, het getal van Feigenbaum (4,6692016...), blijkt zelfs een universele constante te zijn, dwz. dat ongeacht welk model (wiskundige functie) je gebruikt, de overgangen van chaotisch naar periodiek gedrag (de zg. bifurcatiepunten) blijken altijd op de zelfde afstanden in de eindeloze rij parameterwaardes te liggen.

(Ik stop nu maar, echt rekenen aan fractals lijkt me een beetje ver gaan.)

[Verwijderd]

je kan een fractal zo zien:
0Oo.

als je dan op de laatste 3 inzoomt krijg je:
0Oo.

dus eigenlijk zit de figuur (een rondje in dit geval) oneindig vaak aan zichzelf geplakt

[Verwijderd]

Die gelijkvormigheid bij vergroting is inderdaad een eigenschap van fractals. Waar ik op zinspeelde met die constante van Feigenbaum, is dat alle fractals op de zelfde manier gelijkvormig zijn.

De manier waarop fractals "zich herhalen", voldoet dus aan bepaalde wetmatigheden, die voor iedere fractal het zelfde zijn, ongeacht hoe die fractal er uit ziet.

[Verwijderd]

Bedankt, ik heb nu toch enig idee van wat een fractal inhoud, maar ik moet nu kappen, want ik moet nog huiswerk maken.:(

[Bigs]

Anders moet je fractint eens downloaden, zitten veel verschillende fractals in, wel leuk om eens mee te spelen .

[Verwijderd]

De mandelbrot fractal is heel simpel zelf te maken mbv een computer.

hij gaat uit van een iteratieve formule:

y=x^2+c
x=y

enzovoorts

hierbij beginnen x en y op 0, en c is een complex getal.
nu definieren we de functie M (mandelbrot)

als de waarde van x en van y naar oneindig gaat bij een oneindig aantal iteraties, dan M(c)=1
anders M(c)=0

Vervolgens zetten we op de x-as de reele component uit en op de y-as de imaginaire, en we kleuren alle puntjes in met de waarde die M(c) voor het desbetreffence complexe getal c oplevert. Dat is de mandelbrotfractal...

De kleurtjes zijn btw puur kunstmatig: ze ontstaan als je ook rekening gaat houden met het aantal iteraties voordat een getal "oneindig" is. Zo kan je je computer vertellen dat elk getal waarvan de reele component boven de 10 komt, oneindig hoog is, en dan kijken hoeveel iteraties je nodig hebt om dat te bereiken

[edit]
heb hier nog stukje code in basic dat de mandelbrot-fractal op het scherm zet... Ja, ik weet ook wel dat basic zwaar fout is en het programma is ook al erg oud, heb het alleen een beetje aangepast zodat het meer een uitdaging voor mijn computer is
maar het werkt wel dus...

code:

defsng a-z

screen 12 : cls

window(XC - 1.25, YC - 1)-(XC + 1.25, YC +1)

for xx = XC-1.25 to XC+1.25 step 0.0038
    for yy = YC-1 to YC+1 step 0.004

            x = xx
                y = yy

                for k = 1 to 50

                    z = x
                        x = x^2 - y^2 + xx
                        y = 2 * y * z + yy

                    if x^2+y^2 > 16 then goto infinity:
            next k

                k = 0

                infinity:

            pset (xx,yy), k

                next yy

next xx
end

[Verwijderd]

Op zondag 11 februari 2001 22:32 schreef Captain Proton het volgende:
hij gaat uit van een iteratieve formule:

y=x^2+c
x=y

Imaginair is de functie: z' = z^2 + c
Als je die functie uitschrijft in reel en imaginair krijg je:
x' = x^2 - y^2 + a
y' = 2 x y + b

(Je doet het wel goed in je code )

[Verwijderd]

mietje:

ik ben geen wiskundige, alleen een student die een beetje complexe rekenkunde gehad heeft... de wiskundige notatie hier zal vast niet correct zijn, maar ik neem toch aan dat iedereen het wel snapt