De gulden snede

[ScrooLoose]

Zeer interessant leesvoer dit soort dingen.
Zou me niets verbazen als het nummer "1.618033989" ook in het verhaaltje past hier

[caipirinha]

ScrooLoose schreef op donderdag 29 maart 2007 @ 13:31:
Zeer interessant leesvoer dit soort dingen.
Zou me niets verbazen als het nummer "1.618033989" ook in het verhaaltje past hier

je bedoelt (1+√5)/2

[Verwijderd]

caipirinha schreef op vrijdag 30 maart 2007 @ 00:27:
[...]

je bedoelt (1+√5)/2

OK, maar het is eigenlijk 1,618033988749890 + een beetje en komt toevallig uit( √1 + √5)/√4
Waarin “verborgen” zit:

5-4=1
1+1=2
1+2=3
4 hebben we al
5 hebben we al
1+5=6

en ga zo maar door!

Vandaar dat er op Jupiter een 6-hoekige polygoon in de atmosfeer ontstaat. Het wordt veroorzaakt door The Golden Ratio

Verder:

GR= 1,6180339887498900

1/GR= 0,6180339887498950

en je weer andere berekeningen er mee maken die je in de natuur op veel plekken terugvind. (Zie noot hieronder).

Dit betekend echter niet dat alle natuurlijke fenomenen die je naar een bepaald getal kunt terugleiden ook iet met elkaar te maken hebben. Zeker niet!

Een mooi voorbeeld is een roterende as met een excentrische massa-afwijking. Op een bepaalde snelheid gaat de as trillen en ontstaat er een resonantie trilling in de machine. Dit noemt men de kritische snelheid van de as in de machine. Sommige mensen die op zich niet dom zijn (zoals een professor op de universiteit) noemen deze kritische snelheid de resonantie frequentievan de as. Het interessante is nu dat als je de roterende as, van zeg 1 kilo in lagers die op een betonblok van 1000 kg zijn gemonteerd, in het roterende referentieframe bekijkt dan trilt die as helemaal niet en is de as in statische buiging. . .dus de as buigt vanwege de massa-excentriciteit, maar er is volstrekt geen sprake van een trilling in de as of trilling van de as.

Als je een dergelijk systeem analyseert kom je tot de ontdekking dat de as vanuit zijn rotatie op geen enkele snelheid trilt maar dat de doorbuiging een functie is van de snelheid. . .niet iets onverwachts als je een beetje gevoel voor mechanica hebt.

Wat er eigenlijk aan de hand is dat de roterende as een kracht op de machine uitoefent in de vorm van een roterende vector en deze kracht zal de machine doen trillen. . .op misschien wel 1000 of meer resonantie frequenties. . .afhankelijk hoeveel onderdelen er in de machine zitten en hoe deze aan elkaar gekoppeld zijn. Elk onderdeel op zich en in verbinding met andere onderdelen heeft diverse resonantie frequenties. . .en dit kan een uiterst vervelend probleem zijn: Heb je 1 trillingsprobleem opgelost dan onraad er ergens anders weer een trillingsprobleem dat je eerst niet had en zo blijf je aan de gang als de machine niet goed ontworpen is of als de oplossingen zonder inzicht uitgevoerd worden.

Het punt van dit verhaal is dat de roterende as op zich totaal niets met de trillingen van de machine te maken heeft maar deze slechts veroorzaakt omdat de as vanuit zijn rotatie niet trilt.

Een belangrijke factor in machineontwerp is echter dat vanwege de flexibiliteit van machineonderdelen de trillingen (bewegingen in de machine) ontwikkelen die terugkoppelen naar de draaiende as die alles veroorzaakt en dat daardoor de as ook gaat trillen en deze trilling heeft diverse eigen bewegingsvormen met geassocieerde frequenties. Als er een onderdeel in de machine toevallig een resonantie frequentie heeft die gelijk is aan de resonantie frequentie als de draaiende as dan ontstaat er positieve terugkoppeling waardoor de as harder gaat trillen en daardoor het andere onderdeel harder laat trillen waardoor de as weer harder gaat trillen, enz.

Een prachtig voorbeeld van een dergelijke situatie is een eenvoudige centrifuge om natte kleding te drogen: slecht verdeelde kleding veroorzaakt een slingerende c.q. tuimelende beweging van de centrifuge as (trommel) omdat het in "zacht" opgehangen lagers roteert. Als de massa-afwijking te groot is wordt de resonantietrilling ook groot vanwege de terugkoppeling van de machine als geheel, via de zachte lagerophanging. In dit geval buigt de as niet maar veroorzaakt de lagerophanging ver uit te slaan. Als de draaisnelheid door het primaire resonantiepunt heen is kan de positieve terugkoppeling niet meer plaats vinden en draait de trommel met alleen kleine resonantie trillingen met hoge frequentie van kleine onderdelen in de machine. Voor een draaiende as die zelf ook vanuit een buigingsbeweging gaat trillen vanuit de positieve terugkoppeling zijn er nog complexere bewegingvormen mogelijk die hier minder belangrijk zijn maar toch de het complexe gedrag van machines bepaald.

Het interessante onderwerp over 3, 4, 5 en 6-hoekige wolken stromingen dat door TS is opgeworpen haakt op mijn verhaal in vanuit het feit dat er allerlei natuurlijke fenomenen zijn die niets met elkaar te maken hebben maar toch door identieke wiskundige formules beschreven kunnen worden, zoals bijvoorbeeld trillingen vanuit een elastisch opgehangen massa. Je moet dus een bepaald fenomeen niet perse koppen aan een ander fenomeen die door een identieke wiskunde wordt beschreven, tenzij je kan aantonen dat er een link bestaat.

In de zelfde zin is 3+ 5= 8 waar, maar 21-13=8 is ook waar, maar daar houdt de koppeling op en als je vanuit het getal 8 een verbintenis tussen de processen legt zonder het proces op zich te begrijpen dan ben je met magie bezig.

Op een vergelijkbare manier is er in een verhaal hierboven tussen het opstapelen van stalen bollen en een zeshoek geen enkel verband te leggen met een 6-hoekige "standing wave" in een vortex-vloeistofstroming in een buis of een vortex-gasstroming op een planeet en ook niet met een 6-hoekinge "standing wave" op een vierkante trillende plaat.

Laat speculaties over magische krachten en magische oorzaken voor wat ze zijn: invulling van gaten welke door onkunde ontstaan .

Probeer beter het proces dat je ziet te begrijpen en dan conclusies er over opmaken. Dat zet zoden aan de dijk.

De bron van de Golden Ratio heb ik anders geleerd: vanuit o.a. van de theoretische relatie tussen A4 en A3 papier:

(x+y)/x=( (x+y) + z)/(x+y)

en

z= y/x(x+y)

Als je dit voor de ratio y/x oplost krijg je y/x=GR

Of dit 100% gelijk is aan (1+√5)/2 heb ik niet gecontroleerd.

Voor zover ik het dacht te weten is een oplossing met wortels een irrationaal getal terwijl de GR een trancedentaal getal is in ket kader van e en pi. Ik moet daar nog even over denken.

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 30-03-2007 18:36 ]

[- J.W. -]

Verwijderd schreef op vrijdag 30 maart 2007 @ 18:17:Voor zover ik het dacht te weten is een oplossing met wortels een irrationaal getal algebraisch getal over Q terwijl de GR een trancedentaal getal is in ket kader van e en pi. Ik moet daar nog even over denken.

Nee, de GR bevat alleen maar een wortel. Preciezer: de GR is een nulpunt van een polynoom over Q, namelijk x^2-x-1. Dit itt tot e en pi, die zijn geen nulpunt van een polynoom over Q, daarom heten deze transcedent. Hier staat wat extra uitleg als je geinteresseerd bent.

[Dido]

Ik heb de GR ook geleerd vanuit rechthoeken, maar dan "de andere kant op": De zijden van een rechthoek verhouden zich volgens de gulden snede als geldt dat je van de rechthoek een vierkant af kunt snijden met zijden gelijk aan de lengte van de korte zijde van de rechthoek, zodat er een rechthoek met gelijke verhoudingen overblijft.

Oftewel, als y=korte en x=lange zijde:

x/y=y/(x-y)

of

y^2=x^2-xy

Stel de korte zijde = 1, dan geldt 1=x^2-1 of 1/x=x-1

Als ik me niet vergis is een spiraal door de corresponderende hoekpunten van de steeds kleiner wordende rechthoeken ook de gouden spiraal.

edit: ik moet sneller typen

[Bozozo]

De mooiste verschijning van de Gulden Snede (er zijn 1001 manier om hem te vinden) is in mijn ogen de limiet van de quotiënten in de (1,1) Fibonacci reeks. Het eerste stukje van de reeks:
1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144 - 233 - 377 - 610 - etc
377 / 610 = 0,61803...
Hoe je de limiet exact kunt uitrekenen ben ik vergeten (mijn somreeksen zijn niet meer wat ze geweest zijn ) maar er komt netjes uit dat phi = 2 / [1 + sqrt(5)]

@vortex2: de zeshoek die verschijnt bij het opstapelen van bollen heeft niet per see iets te maken met enorme draaikolken op Saturnus, maar ik wilde maar zeggen dat polygonen als natuurverschijnsel helemaal niet ongewoon zijn

[Verwijderd]

- J.W. - schreef op vrijdag 30 maart 2007 @ 19:14:
[...]

Nee, de GR bevat alleen maar een wortel. Preciezer: de GR is een nulpunt van een polynoom over Q, namelijk x^2-x-1. Dit itt tot e en pi, die zijn geen nulpunt van een polynoom over Q, daarom heten deze transcedent. Hier staat wat extra uitleg als je geinteresseerd bent.

Ik ben overal in geïnteresseerd en wil overal meer over weten.
Je hebt misschien gelijk. Het eenvoudige feit dat de y/x die ik noemde een ratio is maakt het een getal dat door getallen y/x weer te geven misschien rationeel, maar nu kom ik op een dilemma terecht. Een rationeel getal moet m.i. presenteerbaar zijn door hele getallen zoals 0,2 = 1/5 of 0,333. . . 1/3 enz. zodat elk rationeel getal door een ratio kan worden gepresenteerd:

x=y/z

met y en z getallen met een eindige reeks eindige cijfers.

Een wortel is geen rationeel getal en dus mag een wortel in een ratio ook geen rationeel getal opleveren. Toegegen is een wortel een getal dat uit een polinominaal kan voortkomen maar daar kunnen ook rationele getallen uitkomen.

Dus als phi= GR en (1+sqrt(5))/2 +GR is een juiste weergave dan is GR nog steeds een irrationeel getal, (dus een irrationele ratio) maar niet een trancedentaal getal omdat het niet uit een polinominaal te vissen is. Klopt dit zo? . . .een irrationale ratio. . .een leuk resultaat dat ontslaat uit een mengelmoes van taal en wiskunde.

@Bozozo

. . .de zeshoek die verschijnt bij het opstapelen van bollen heeft niet per see iets te maken met enorme draaikolken op Saturnus, maar ik wilde maar zeggen dat polygonen als natuurverschijnsel helemaal niet ongewoon zijn

Akkoord, we zitten dus op de zelfde boot maar spreken elk een andere taal . Erg duidelijk was je opmerking m.i. niet. Vanuit het feit dat we in de natuur overal "polygonen" kunnen zien maakt het onomstotelijk dat het zo is. . .omdat ze er zijn! Het model met bollen is dus overbodig. Een zonnebloem laat "zeshoeken" zowel als spiralen zien. De "zeshoeken" ontstaan in deze uit het feit dat de zaadcellen vanuit een ronde kern (of kiem) ontstaan die als ze gaan uitgroeien zich in de beschikbare ruimte gaan expanderen. . . het worden dus geen vierkanten of rechthoeken of een combinatie er van (die hebben dezelfde oppervlaktedichtheid als zeshoeken). Het creëren van polygonen in zonnebloemen heeft volgens mij een geheel ander oorzaak dan het stapelen van bollen: n.l. het samenpersen van aanvankelijk cilindrische staafjes. . . (tenzij iemand kan aantonen dat de kiemen waaruit de “zaadhuisjes” ontstaan vanuit het eerste moment zeshoekig wordt opgesteld vanuit een eventuele “ronde” vorm moleculen die zich als kiemen gaan opstellen en niet dat de zeshoekige structuur die louter vanuit het samenpersen van ronde staafjes ontstaat).
In de natuur zijn "polygonen" trouwens nooit theoretische polygonen omdat in de natuur een constructie geen "scherpe hoek" kan hebben zoals theoretische polygonen dat hebben. De natuur biedt dus "polygonen" aan die afgeronde "punten" hebben dan wel afgeronde punten zowel als gekromde zijden hebben ( ref. "squared circle").

Interessant in dit onderwerp is het vormen van zeshoekige honinggraten. . .het ontstaat vanuit een bouwproces en niet vanuit het samenpersen van cirkelvormige cilinders. Prachtig zou het zijn om te ontdekken hoe een werkerbij dit “weet. De Koningin “weet” kennelijk alleen maar hoe ze eieren maakt”.

PS: Deze link is bij toeval leuk vanuit mijn bedoeling een "squared cicle" te laten zien:

http://www.squaredcirclegraphics.com/main.htm

en komen terug op de irrationale Golden Ratio

PS 2: Ik ben gaan zoeken naar voorbeelden van "vierkante cirkels" maar op Google kom ik vooralsnog alleen maar verhalen tegen die de term gebruiken voor "iets" dat onmogerlijk is.
Zelf heb ik met formules en Excel grafieken prachtige "vierkante cirkels" getekend. . .door variatie van parameters onstaat in de limiet enerzijds een normale cirkel en anderzijs een normale vierkant. Er tussenin zitten vierkante cirkels. Ik zal eens zoeken of ik de fomules nog kan opbouwen.

[ Voor 7% gewijzigd door Verwijderd op 31-03-2007 00:29 . Reden: Link over een "vierkante cirkel" toegevoegd :-) ]

[- J.W. -]

warning: OFF-TOPIC wel interessant natuurlijk

Verwijderd schreef op vrijdag 30 maart 2007 @ 23:50:
[...]
Je hebt misschien gelijk.

Ik lepelde gewoon wat definities op, dus dat klopt

Het eenvoudige feit dat de y/x die ik noemde een ratio is maakt het een getal dat door getallen y/x weer te geven misschien rationeel, maar nu kom ik op een dilemma terecht. Een rationeel getal moet m.i. presenteerbaar zijn door hele getallen zoals 0,2 = 1/5 of 0,333. . . 1/3 enz. zodat elk rationeel getal door een ratio kan worden gepresenteerd:

x=y/z

met y en z getallen met een eindige reeks eindige cijfers. [knip]

Je beantwoordt je vraag zelf eigenlijk al, we hebben het over x en niet over y en z. Dus de vraag is dus of x een breuk is. Zolang y en z niet rationaal zijn weet je helemaal niks hierover (pi / pi = 1 = 1/1 bijvoorbeeld).
---------------------------------

Ok ik, zal het proberen iets duidelijker te maken:

Rationale getallen
* we hebben de rationale getallen, dat zijn dus getallen van de vorm m/n, met m en n gehele getallen.
Denk aan: 1/2, 2/3, 5/7,...
Laat je dus niet van de wijs brengen pi / pi =1 is dus ook een rationaal getal.

* we hebben irrationale getallen, dat zijn dus alle getallen die niet aan het vorige voldoen. Denk aan de wortels, e, pi en ook onze GR=(1+wortel(5))/2 voldoet hier aan.
De som (of produkt) van 2 irrationale getallen hoeft NIET irrationaal te zijn, neem bijvoorbeeld 1+wortel(2) en 1-wortel(2), de som is 2 en die is weer rationaal.
Denk aan: sqrt(2),1+sqrt(2), pi, e, GR, 5^(1/3),...

De vraag is dus nu: wat is het verschil nou tussen bijv. pi en een wortel?

Algebraische getallen
* we voeren de algebraische getallen in, dat zijn alle getallen die nulpunt zijn van een polynoom met rationale coefficienten.
Alle breuken voldoen hieraan: als a een breuk is neem het rationale (!) polynoom x-a.
Maar ook bijvoorbeeld wortel(2): neem dan het rationale polynoom x^2-2.
Het is een stelling dat zegt dat als je twee algebraische getallen hebt, de som wederom een algebraisch getal is, alsmede het produkt. En ook zit hier onze GR bij (deze voldoet immers aan het polynoom x^2-x-1, of je merkt dus op dat sqrt(5) algebraisch is en dus ook (1+wortel(5))/2 volgens die stellingen)
Denk aan: sqrt(2),1+sqrt(2), 2/9+sqrt(7)/5, 5^(1/3),...

* we hebben de niet-algebraische getallen, ook wel transcedente getallen genoemd, dat zijn de getallen die niet aan het vorige voldoen, oftewel alle getallen die geen nulpunt zijn van een polynoom met rationale coefficienten.
Hier voldoen e en pi aan (dit vergt een niet-triviaal bewijs).
Voor deze verzameling geldt NIET dat de som (of produkt) van 2 weer hier aan voldoet. Triviale voorbeeld: 1+pi en 1-pi zijn beide niet-algebraisch, maar de som is 2, die natuurlijk algebraisch is.
Denk aan: e,pi, 7e-9,...

Samenvattend:
1/2:
rationaal: ja
algebraisch: ja

wortel(2)
rationaal: nee
algebraisch: ja

pi
rationaal: nee
algebraisch: nee (oftewel transcedent)

[ Voor 4% gewijzigd door - J.W. - op 31-03-2007 01:28 ]

[Verwijderd]

- J.W. - schreef op zaterdag 31 maart 2007 @ 01:12:
warning: OFF-TOPIC wel interessant natuurlijk

[...]

Ik lepelde gewoon wat definities op, dus dat klopt

The offtopic discussies die ontstaan zijn vaak veel interessanter dan de topic waaruit ze ontstaan

Oftopic dus:

[...]

Je beantwoordt je vraag zelf eigenlijk al, we hebben het over x en niet over y en z. Dus de vraag is dus of x een breuk is. Zolang y en z niet rationaal zijn weet je helemaal niks hierover (pi / pi = 1 = 1/1 bijvoorbeeld).

Als ik mijn vraag zelf al beantwoord had is een volledige uitleg eigenlijk overbodig, lijkt me. Uiteraard is impliciet duidelijk dat y en z als elke soort "veelvouden" van elkaar als ratio's ook rationeel zijn, zoals pi/3*pi en e/2,3e. Dat had ik niet er bij gezegd maar dat is een trivale toevoeging. Hieronder vallen uiteraard ook, zoals je illustreerde, de ratio's in de vorm sommen van gemengde getallen en zo lang de noemer en de deler tot gelijke soort opsommen is de ratio y/z rationaal. Ook dat is duidelijk.

Het komt er op neer dat de GR irrationaal is en dat ik het grappig vind dat de GR een irrationale ratio genoemd wordt

Dat getallen zoals een pi naast irrationaal ook transcendent zijn is duidelijk.
De vervolgvraag (die ik na enige studie wel zal kunnen beantwoorden) is of er ratio's van unieke transcendente getallen y en z bestaan die niet trancedentaal zijn . . .zo op mijn gevoel af kan dat niet omdat het verschil tussen transcendente getallen van een hogere graad is dan het verschil tussen wortels (bijvoorbeeld de wortel uit een kwadraat van een rationaal getal is per definitie ook een rationaal getal), maar ik voel aan mijn water dat dergelijke uitzonderingen met transcendente getallen onmogelijk zijn. Indien het wel mogelijk is wil ik het direct weten.

[- J.W. -]

off-topic again

Verwijderd schreef op zaterdag 31 maart 2007 @ 03:25:
Het komt er op neer dat de GR irrationaal is en dat ik het grappig vind dat de GR een irrationale ratio genoemd wordt

Ik heb nog nooit van een "irrationale ratio" gehoord op de manier die jij bedoelt.
Daar is een reden voor: Het is een slecht gedefinieerd begrip, simpelweg omdat de getallen die de breuk maken niet uniek vastliggen.

Dat getallen zoals een pi naast irrationaal ook transcendent zijn is duidelijk.

Volgens mij zit je hier te bluffen, dit is VERRE van triviaal.

PM me maar het bewijs anders, als je dit in een paar regels kunt ben je echt wereldschokkend bezig.

Heck, het bewijs dat pi geen breuk is al niet triviaal, e is wat makkelijker, maar dat verzin je ook echt niet even zomaar.

De vervolgvraag (die ik na enige studie wel zal kunnen beantwoorden) is of er ratio's van unieke transcendente getallen y en z bestaan die niet trancedentaal zijn . . .

Je vraag is niet goed gedefinieerd zo op deze manier en is dus niet te beantwoorden.
Wat zijn bijv. "unieke transcedentale getallen" ??
Dus eerst een ondubbelzinnige wiskundige definitie daarvan, dan pas kun je zo'n vraag stellen, nu is het ongedefinieerd en is dus niet te beantwoorden.
Aan definities waar ik zo aan zou denken zijn zulke dingen trivialiter onwaar.

Om toch nog een drive te geven: Zover ik weet is het onbekend of (pi/e) rationaal is (laat staan algebrisch), zelfde met e+pi, enz.

Het vermoeden is geloof ik dat pi en e transcedent zijn over elkaars uitbreidingslichaam over Q, de definitie hiervan laat ik maar even, je hebt nu al genoeg om over na te denken voor de komende paar weken denk ik.

Mocht je hier echt mee verder willen gaan misschien even een eigen topic openen, dit vervuilt wel erg zo. Daar wil ik dan best serieus naar kijken mits alles goed gedefinieerd wordt en iedere niet triviale uitspraak een bewijs krijgt. Leuke aan de wiskunde is dat er niet zoiets als een mening is: iets is waar of niet waar, dat wil ik er dus inhouden

[Verwijderd]

- J.W. - schreef op zaterdag 31 maart 2007 @ 11:08:
off-topic again

[Irrationale Ratio]

Ik heb nog nooit van een "irrationale ratio" gehoord op de manier die jij bedoelt.
Daar is een reden voor: Het is een slecht gedefinieerd begrip, simpelweg omdat de getallen die de breuk maken niet uniek vastliggen.[

Nu wordt het duidelijk dat je niet alles wat hieraan vooraf ging nauwkeurig gelezen hebt. Ik heb dit punt hierboven reeds eerder afgedaan als een resultaat van gebruik van taal. We raken op deze manier verstrikt in een "circulaire" discussies. . .behoeft geen uitleg. Het verbaasd me trouwens dat je me niet gecorrigeerd hebt dat ik misschien "irrationele" ratio bedoelde. . .Word 2000 weet het verschil ook niet. . . behoeft ook geen uitleg want Van Dalen zal het misschien weten

[pi en e zijn transcendent. . .dat is duidelijk]

Volgens mij zit je hier te bluffen, dit is VERRE van triviaal.

Volgens mijn zit je nu muggen te ziften waar er geen muggen zijn. Ik zei [b]duidelijk[.b]. Pi en e staan al ongeveer 100 jaar (zo niet veel langer) bekend als transcendent en dus is het gebruikelijk dat in een discussie waarin transcendente getallen voorkomen dit als duidelijk te kenmerken. Datgene wat bekend is mag ook duidelijk genoemd worden.

Je vraag is niet goed gedefinieerd zo op deze manier en is dus niet te beantwoorden.
Wat zijn bijv. "unieke transcedentale getallen" ??

Volgend mij probeer je je nu voor te doen als professor die in een Phd proefschrift muggen zit te ziften omdat er even niets anders te doen is. Als je stelt dat pi en e (welke als voorbeeld gebruikt werden) beide uniek zijn dan weet je ook wat ik bedoel. Ik heb 40 jaar geleden al geleerd dat ze uniek zijn. Wil je nu stellen dat je niet weet of pi en e uniek zijn en zo ja, waarom zijn de niet uniek?

Om toch nog een drive te geven: Zover ik weet is het onbekend of pi/e rationaal is (laat staan algebrisch), zelfde met e+pi, enz.

Is het niet gemakkelijk om te zeggen dat je het niet weet?

Je hebt gelijk dat dit op een eigen plek thuis hoort.

Over en uit dan maar.
Ik ga een antwoord op WisFaq zoeken, of misschien op een nieuwe thread hier.

[- J.W. -]

@Vortex2: geen idee waar al die aantijgingen, woordverdraaiingen en opzettelijk foutieve interperetaties van je op slaan..

Ik probeer duidelijk aan te geven waar de problemen m.i. zitten. Ik beweer nergens dat ik een guru/prof ben, maar zonder definities kun je NIETS bewijzen en daar schort het nu gewoon aan, dat is geen muggenziften, dat is HET PROBLEEM IN DEZE.
Verder ga ik niet ieders spelfouten corrigeren (het verbaast, nu blij?), dat interesseert me nl. niks, ik maak ze dus zelf ook zat.
Als je zegt "dat het duidelijk is dat blablabla" dan wordt daar normaal gesproken NIET mee bedoeld dat dat al bekend is, maar dat dat een logisch/triviaal gevolg van iets is.
Beetje m'n woorden verdraaien of ik weet of e en pi uniek zijn is enorm laag óf je snapt er écht geen r**t van, wat ik eigenlijk meer vermoed.
Over e+pi enzo, paar jaar geleden was het nog zeker onopgelost. En nee ik weet de oplossing niet nee: ik durf tenminste toe te geven als ik iets niet weet/goed snap, zou je ook es moeten doen, zou je sieren.

Van al die aantijgingen word ik knap chagrijnig, is het zo moeilijk gewoon met argumenten te werken of het tenminste even op je in te laten werken of zeggen dat je er nog even naar kijkt?? Nee je hebt je mondje al open en begint het maar op de man te spelen. Dit doe je ook in je magnetische-levitatie-fantasien topic/monoloog (waarin ik overigens niet gereageerd heb) en daar heb je zo'n beetje iedereen die er iets vanaf weet weggejaagd (klik), chapeau.

Ow, FYI, ik heb m'n best gedaan een post te schrijven om je een stukje op weg te helpen, nl. om gewoon eens de vraag netjes op te schrijven, dat je het dan niet precies snapt, of dat ik jou misschien verkeerd snap, prima, schrijf er dan een normale post over, herforumuleer jezelf nog es ofzo, weet ik veel. Maar goed, da's het hele probleem dus, je kunt de vraag niet eens stellen, omdat je zelf nog niet eens weet wat je nou echt wilt onderzoeken, alleen zit je nog in de ontkenningsfase en speel je het uit pure wanhoop maar op de man.

Nou over en uit dan maar.

[ Voor 3% gewijzigd door - J.W. - op 31-03-2007 16:25 ]

[Verwijderd]

- J.W. - schreef op zaterdag 31 maart 2007 @ 15:55:
@Vortex2:

Nou over en uit dan maar.

Mooi zo.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zaterdag 31 maart 2007 @ 14:13:
[pi en e zijn transcendent. . .dat is duidelijk]


[...]
Volgens mijn zit je nu muggen te ziften waar er geen muggen zijn. Ik zei [b]duidelijk[.b]. Pi en e staan al ongeveer 100 jaar (zo niet veel langer) bekend als transcendent en dus is het gebruikelijk dat in een discussie waarin transcendente getallen voorkomen dit als duidelijk te kenmerken. Datgene wat bekend is mag ook duidelijk genoemd worden.

Bekend? ja. Duidelijk? Nee.

Volgend mij probeer je je nu voor te doen als professor die in een Phd proefschrift muggen zit te ziften omdat er even niets anders te doen is. Als je stelt dat pi en e (welke als voorbeeld gebruikt werden) beide uniek zijn dan weet je ook wat ik bedoel. Ik heb 40 jaar geleden al geleerd dat ze uniek zijn. Wil je nu stellen dat je niet weet of pi en e uniek zijn en zo ja, waarom zijn de niet uniek?

Sorry wat bedoel je met "uniek". In zekere zin zijn alle getallen uniek. (Namelijk dat er maar een van is) 1 is uniek, 2 is uniek wortel 2 is uniek, etc. Maar dat lijkt me niet wat je bedoelt. Uiteraard pi en e zijn zeer bijzondere getallen die aan bijzondere voorwaarden voldoen, maar ook dat maakt ze niet perse uniek. Aangezien je het over "unieke transedente getallen", zal je wel een zekere definitie voor ogen hebben voor uniciteit als transdent getal, maar wat je daar precies mee bedoelt is onduidelijk. Bedoel je dat ze linear onafhankelijk zijn over de rationele getallen? Of misschien iets dat sterker dan dat is.
Overigens lijkt het mij sterk dat als je zoiets bedoelt dat jij 40 jaar geleden geleerd hebt e en pi "uniek" zijn volgens die definitie.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 00:09:

Sorry wat bedoel je met "uniek". In zekere zin zijn alle getallen uniek. (Namelijk dat er maar een van is) 1 is uniek, 2 is uniek wortel 2 is uniek, etc. Maar dat lijkt me niet wat je bedoelt. Uiteraard pi en e zijn zeer bijzondere getallen die aan bijzondere voorwaarden voldoen, maar ook dat maakt ze niet perse uniek.

. Ik zie enige wazigheid hier: Enerzijds noem je 1 en 2 uniek (uiteraard ga ik daar mee akoord) maar dan zeg je dat e en pi niet perse uniek zijn. Uiteraard hebben 1 en 2 o.a. gemeen dat ze integers zijn en in die zin zijn de radio’s 2/2 of 1/2 rationale getallen net zo als 1 en 2 dat zijn. Het ging mij om de vraag of je met ratio's van trancedentale getallen zoals e/pi of pi/e de conclusie kon trekken dat het dan altijd een trancedentaal getal zou zijn. Om te vermijden dat iemand een triviaal voorbeeld zou geven zoals

√3*pi/pi = √3

en zou antwoorden dat het een irrationaal getal kon zijn noemde ik de getallen “uniek”. In deze zin zijn noemer en de deler uniek omdat ze beide de het getal pi bevatten. De getallen e en pi hebben geen factor gemeen. Wat ze gemeen hebben is dat ze trancedentaal zijn. In deze zin zijn ze wel uniek maar ik bedoel dat ze niet een factor hebben waardoor bij voorbaat de ratio niet trancedentaal zou zijn. De vraag was eenvoudigweg of pi/e automatisch trancedentaal is ja of nee? Zijn er andere ratio's

R= tr1/tr2

die irrationale getallen zijn en dus niet trancedentaal?

Als voorbeeld denk ik aan getallen zoals tr1= 1,101000100001 . . .met op bepaalde plaatsen een 1 en de rest nullen (zodat het niet repeterend is en dat bij een formele test aantoonbaar trancedentaal is). Zo ook voor tr2.


Als voorbeeld denk ik aan getallen zoals tr1= 1,101000100001 . . .met op bepaalde plaatsen een 1 en de rest nullen (zodat het niet repeterend is en dat bij een formele test aantoonbaar trancedentaal is). Zo ook voor tr2.

[ Voor 6% gewijzigd door Verwijderd op 03-04-2007 05:47 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 05:45:
[...]
. Ik zie enige wazigheid hier: Enerzijds noem je 1 en 2 uniek (uiteraard ga ik daar mee akoord) maar dan zeg je dat e en pi niet perse uniek zijn. Uiteraard hebben 1 en 2 o.a. gemeen dat ze integers zijn en in die zin zijn de radio’s 2/2 of 1/2 rationale getallen net zo als 1 en 2 dat zijn.

Mijn punt was dat e of pi niet unieker zijn dan 1 of 2, waaruit ik concludeerde dat dat niet de soort uniciteit was waar je op doelde.

Het ging mij om de vraag of je met ratio's van trancedentale getallen zoals e/pi of pi/e de conclusie kon trekken dat het dan altijd een trancedentaal getal zou zijn. Om te vermijden dat iemand een triviaal voorbeeld zou geven zoals

√3*pi/pi = √3

en zou antwoorden dat het een irrationaal getal kon zijn noemde ik de getallen “uniek”.

Dus als ik je goed begrijp zijn twee transedente getallen uniek (misschien is niet equivalent een betere term) als hun verhouding geen algebraisch getal is?

Ja, dan beantwoord je je vraag in je vraag stelling want dan is het per definitie zo dat de verhouding van twee "unieke" transedente getallen transcedent. Alleen weet je dan nog steeds niet of de verhouding pi/e transcedent is, omdat je niet zeker weet of deze twee niet "equivalent" zijn.

Anders gezegt de situaties die jij als triviaal zou willen bestempelen zijn precies de situaties waarvan je je afvroeg of ze bestonden. Dat wil zeggen als:
R= tr1/tr2

een algebraisch getal is, misschien zelfs rationeel, dan is natuurlijk ook

tr1 = tr2 * R

De situatie die jij als triviaal bestempelde. (Met in jouw voorbeeld tr2 = pi en R is wortel 3).

In deze zin zijn noemer en de deler uniek omdat ze beide de het getal pi bevatten. De getallen e en pi hebben geen factor gemeen.

Dit is een onzinnige uitspraak. De reeele getallen vormen een lichaam. Dat betekend dat je geen uniek factorisatie hebt. (technisch gezien wel maar dan in een zeer triviale zin) Het heeft dus ook geen zin om het te hebben over gemeen schappelijke factoren van een lichaam.

Wat ze gemeen hebben is dat ze trancedentaal zijn. In deze zin zijn ze wel uniek maar ik bedoel dat ze niet een factor hebben waardoor bij voorbaat de ratio niet trancedentaal zou zijn. De vraag was eenvoudigweg of pi/e automatisch trancedentaal is ja of nee?

Nee, dus. Of in ieder geval niet automatisch. Of het specifieke geval van pi/e transcedent is weet ik niet. (En ik weet ook niet of dit uberhaupt bekend is)

Zijn er andere ratio's

R= tr1/tr2

die irrationale getallen zijn en dus niet trancedentaal?

Transcedente getallen zijn per definitie irrationaal.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 08:07:
[...]
[...]

Op het voorafgaande akkoord.

Dus als ik je goed begrijp zijn twee transedente getallen uniek (misschien is niet equivalent een betere term) als hun verhouding geen algebraisch getal is?

Nee, zo bedoelde ik het niet.
Niet-equivalent is zoals ik het zie het zelfde als niet-gelijk. Waar ik dus op doelde is of er transcendente getallen bestaan (of beter gezegd: gemaakt kunnen worden) waarvan de ratio geen trancedentaal getal is. In de vorige discussies probeerde ik te verduidelijken dat ik mijn vraag was of de ratio R

R=tr1/tr2

per definitie wel of niet trancedentaal zou zijn. Hiermee bedoel ik dat je niet bij voorbaat iets in tr1 en tr2 inbouwt waardoor tr1/tr2 per definitie al niet-transcendentaal is. Hier laat ik dus de deur open dat met twee nieuwe TR's die je zou je zou bedenken c.q. ontdekken de vraag moet stellen of

R_nieuw=TR1_nieuw/TR2_nieuw

of R_nieuw te definiëren is als een irrationaal getal zonder dat het transcendentaal is.

Volgens eerdere antwoorden en je antwoorden hieronder maak ik er uit op dat hier geen antwoord op bestaat en dat elk voorbeeld dat niet eerder is onderzocht de ratio R_nieuw aan testen onderworpen moet worden of het wel of niet trancedentaal is. Ik concludeer dit uit de stelling dat het bij voorbaat al niet bekend is of pi/e transcendentaal is. Ik had gedacht dat dit laatste al wel bepaald zou zijn. . .bewijst alleen maar dat ik er weinig van weet.

Anders gezegd, de situaties die jij als triviaal zou willen bestempelen zijn precies de situaties waarvan je je afvroeg of ze bestonden. Dat wil zeggen als:
R= tr1/tr2

een algebraisch getal is, misschien zelfs rationeel, dan is natuurlijk ook

tr1 = tr2 * R

De situatie die jij als triviaal bestempelde. (Met in jouw voorbeeld tr2 = pi en R is wortel 3).

Ik probeerde daarmee juist duidelijk te maken dat ik dergelijke ingebouwde ratio's uit wilde sluiten. Het kom dus neer op het volgende, zoals ik hierboven er uit opmaakte:

Of het specifieke geval van pi/e transcedent is weet ik niet. (En ik weet ook niet of dit uberhaupt bekend is).

Transcedente getallen zijn per definitie irrationaal.

OK, maar dit laaste was, dacht ik, niet mijn vraag.
Het is me nu wel duidelijk dat om mijn vraag te beantwoorden heel wat kennis vereist is waar zelfs de "grote jongens" in de wiskunde gemiddeld niet over beschikken.

Bedankt voor je toelichtingen.

[- J.W. -]

Hehe, het blijft een beetje op hetzelfde punt vastzitten. Maar ik hoop dat je met de volgende vraag het probleem dat Trias en ik hebben met de vraagstelling ziet.

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 18:12:
[...]
Hiermee bedoel ik dat je niet bij voorbaat iets in tr1 en tr2 inbouwt waardoor tr1/tr2 per definitie al niet-transcendentaal is.

Wat bedoel je exact met inbouwen?

Dus: In tr1 en tr2 zit "iets ingebouwd" als [...vul hier je definitie in...]

(niet met een voorbeeldje, maar in termen van tr1 en tr2)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 18:12:
[...]

per definitie wel of niet trancedentaal zou zijn. Hiermee bedoel ik dat je niet bij voorbaat iets in tr1 en tr2 inbouwt waardoor tr1/tr2 per definitie al niet-transcendentaal is. Hier laat ik dus de deur open dat met twee nieuwe TR's die je zou je zou bedenken c.q. ontdekken de vraag moet stellen of

R_nieuw=TR1_nieuw/TR2_nieuw

of R_nieuw te definiëren is als een irrationaal getal zonder dat het transcendentaal is.

Hoewel je vraagstelling bijzonder slecht gedefineerd is. Zal ik toch een voorbeeld geven:
Laat
tr1 = pi
tr2 = SQRT(SUM(1/n²,{n,1,oneindig}))

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat: (hint: fourier reeksen)
tr1/tr2 = SQRT(6)

(Uit dit antwoord volgt meteen dat tr2 inderdaad transcedent is, aangezien het product van een algebraisch en transcedent getal altijd transcedent is.)

Je zou dit voorbeeld flauw kunnen noemen, omdat ik vooraf wist dat tr2 = pi/sqrt(6). Maar had zo kunnen zijn dat je het getal tr2 had gevonden en onfhanklijk had aangetoond dat het transcedent was, zonder vooraf deze kennis te hebben.

[Rey Nemaattori]

huh? Topic afgesplitst?

Beetje rare topic start nu

[ Voor 41% gewijzigd door Rey Nemaattori op 03-04-2007 21:36 ]

[- J.W. -]

Rey Nemaattori schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 21:36:
huh? Topic afgesplitst?

Beetje rare topic start nu

Ja, gaat ook niet echt over de gulden snede meer

[ Voor 181% gewijzigd door - J.W. - op 03-04-2007 21:51 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 21:35:
[...]

Hoewel je vraagstelling bijzonder slecht gedefineerd is. Zal ik toch een voorbeeld geven:
Laat
tr1 = pi
tr2 = SQRT(SUM(1/n²,{n,1,oneindig}))

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat: (hint: fourier reeksen)
tr1/tr2 = SQRT(6)

(Uit dit antwoord volgt meteen dat tr2 inderdaad transcedent is, aangezien het product van een algebraisch en transcedent getal altijd transcedent is.)

Je zou dit voorbeeld flauw kunnen noemen, omdat ik vooraf wist dat tr2 = pi/sqrt(6). Maar had zo kunnen zijn dat je het getal tr2 had gevonden en onfhanklijk had aangetoond dat het transcedent was, zonder vooraf deze kennis te hebben.

'

Ja, flauw is het zeker omdat je precies doet wat ik al uitsloot en dergelijke voorbeelden al besproken zijn. Flauwer kan niet.

Het Louiville Getal is transcendentaal en dus 2*(LG) ook. . . .tenminste Louiville zei dat het transcendentaal is. . .en dat zeg je niet van je eigen getal als het een leugen is

Nu eens serious slimmerikje

Is LG/pi transcendentaal of niet?

[Verwijderd]

Rey Nemaattori schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 21:36:
huh? Topic afgesplitst?

Beetje rare topic start nu

Raar? Het is juist bijzonder leuk hier: het gaat over "professoren" die een "student" betichten van onduidelijkheid als ie vragen stelt maar zelf het antwoord op de vraag niet weten.

Leuker kan niet.

Misschien gaat Opi het weer afsplitsen omdat het inderdaad niet over de Gulden Snede gaat (ging het allang niet meer over). Maar goed, het maakt niet uit. Als we maar lol hebben.

Ik heb eens op de avondschool . . .eeuwen geleden. . . een leraar getroffen die zei: "Je moet niet denken maar gewoon instructies opvolgen" . . .gelachen dat we hebben. Gelukkig zijn niet alle leraren zo. Ik heb er ook een wiskunde leraar getroffen die handenwrijvend met een brede grijs op zijn lippen voor de klas ging staan en de les over dydx nou eigenlijk betekende begon met:

"Het is niet te geloven. . .ik mag eindelijk eens les geven aan mensen die iets willen weten. . . niet alleen dat maakt me blij maar dat ze daar om 10 uur in de avond aan willen beginnen gaat me te ver. Ik wist niet dat dergelijke mensen bestonden. Ik zou dit zelfs gratis willen doen maar dan mag niet en dus wordt het dubbel leuk voor me".

Wel, om een lang verhaal in te korten, ik heb zeer veel van die vent geleerd om differentiaal en integraal calculus leuk te gaan vinden.

[ Voor 6% gewijzigd door Verwijderd op 03-04-2007 23:04 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 22:33:
[...]
'

Ja, flauw is het zeker omdat je precies doet wat ik al uitsloot en dergelijke voorbeelden al besproken zijn. Flauwer kan niet.

Minder flauw kan ook niet dombo. De enige reden dat dit voorbeeld flauw is, omdat we het antwoord weten. Het de wortel van de som die ik noemde is een geheel onafhankelijk verkegen van het getal pi. A priori, is er geen enkele reden om aan te nemen dat er enig verband is met het getal pi en dus om aan te nemen dat de delen door pi iets bijzonders oplevert. Echter door toepassing van wat niet triviale (maar tegenwoordig doodgewone) wiskundige technieken kunnen we aantonen dat de verhouding van deze twee getallen precies wortel 6, opzich in klein wiskundig wonder. (Toegegeven het voorbeeld wordt iets flauwer omdat ik het antwoord gebruik om aan te tonen dat de gekozen getallen transcedent waren, maar in wezen doet dat er niet toe, aangezien ik me voor kan stellen dat het mogelijk is om aan te tonen dat de wortel van de RiemannZeta functie van 2 transcedent is. Als je het minder flauw wilt zeta(4) is transcedent dus ook de vierde machts wortel van zeta(4) en zeta(4)^(1/4)/pi = 90^(-1/4), en dus algebraisch. )

Als je dit voorbeeld als flauw aanmerkt is elk voorbeeld van twee transcedent getallen waarvoor de verhouding algebraisch is flauw, aangezien dit automatisch betekend dat het ene getal een algebraisch veelvoudt van de ander is. Ergo de voorbeelden worden niet minder flauw dan dit.

Het Liouiville Getal is transcendentaal en dus 2*(LG) ook. . . .tenminste Louiville zei dat het transcendentaal is. . .en dat zeg je niet van je eigen getal als het een leugen is

Nu eens serious slimmerikje

Is LG/pi transcendentaal of niet?

Dat is onbekend.

Overigens is de kans groot dat de verhouding van twee willekeurig gekozen transcedente getallen, zlef transcedent is, aangezien het aantal algebraische getallen aftelbaar is en (dus) het aantal transcedente getallen overaftelbaar. Dit feit is echter niet zo zinvolo aangezien de meeste bekende transcedente getallen alles behalve willekeurig zijn en vaak een zeer diepe betekennis in de wiskunde hebben, waardoor het een stuk waarschijnlijker wordt dat er verbanden bestaan.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 22:55:
[...]

Raar? Het is juist bijzonder leuk hier: het gaat over "professoren" die een "student" betichten van onduidelijkheid als ie vragen stelt maar zelf het antwoord op de vraag niet weten.

Sorry, maar op je vraag is een duidelijk antwoord gegeven.

Is de verhouding van twee transcedente getallen altijd transced? Nee, dus.

Daarna ben jij gaan rascallen over unieke transcedente getallen, waarna je er op gewezen bent dat je daar geen zinnige definitie voor gegeven hebt. (en in twijfel is getrokken of er een zinnige definitie voor bestaat.) Daardoor is het niet mogelijk de door jou gestelde vraag: is de verhouding van twee unieke transcedente getallen transedent? Te beantwoorden. Behalve in de enige zinnige invulling die tot nu toe gegeven is aan jouw holle begrip van uniciteit, in welk geval het antwoord triviaal werd en op ja uitkwam.

Dat er verder geen antwoord gegeven kan worden op de vraag of de verhouding van een aantal specifieke transcedent getallen, lijkt jouw een groot genoegen te doen. Dit is echter een gevolg van de grote non-trivialiteit van het probleem. Als voorbeeld vermeldt ik dat pas in 1999 is aangetoond dat exp(pi*wortel(2)) transcedent is.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 03 april 2007 @ 23:39:

[flauwe voorbeelden]

(Toegegeven het voorbeeld wordt iets flauwer omdat ik het antwoord gebruik om aan te tonen dat de gekozen getallen transcedent waren, maar in wezen doet dat er niet toe, aangezien ik me voor kan stellen dat het mogelijk is om aan te tonen dat de wortel van de RiemannZeta functie van 2 transcedent is. Als je het minder flauw wilt zeta(4) is transcedent dus ook de vierde machts wortel van zeta(4) en zeta(4)^(1/4)/pi = 90^(-1/4), en dus algebraisch. )

Ja, flauw, omdat je specifiek getallen kiest waar pi²/6 of pi⁴ /90 bij voorbaat al in zit vanuit de Riemann Zeta expansie en als je dat 1000 keer doet draagt het niets bij aan de discussie. Er zijn allerlei formules zoals o.a. de Leibnitsz expansie om pi te berekenen met pi/4= 1-1/3+1/5-1/7. . . Deze vormen waren dus specifiek al besproken. Elk voorbeeld dat je dan ophoest is een herhaling. Het doet er dus wel toe dat je flauwe voorbeelden laat zien.

Overigens is de kans groot dat de verhouding van twee willekeurig gekozen transcedente getallen, zlef transcedent is, aangezien het aantal algebraische getallen aftelbaar is en (dus) het aantal transcedente getallen overaftelbaar. Dit feit is echter niet zo zinvolo aangezien de meeste bekende transcedente getallen alles behalve willekeurig zijn en vaak een zeer diepe betekennis in de wiskunde hebben, waardoor het een stuk waarschijnlijker wordt dat er verbanden bestaan.

OK, Cantor kennelijk zei dat het overgrote deel van de natuurlijke getallen (die we kunnen maken) transcendentaal waren. . .ik neem aan dat je dit met overaftelbaar bedoeld. Louiville beweerde dat hij een methode had bedacht om een oneindig aantal transcendentale getallen te maken . . .uiteraard kon hij dat niet omdat hij dan oneindig lang zou moeten leven.

In deze beschouwing kunnen we dus alleen speculeren, zoals je aangaf, dat als er nieuwe transcendentale getallen gebouwd worden, waar pi, e en andere ouwe bekenden niet bij voorbaat al in zitten, dat je hooguit vanuit een analyse per geval kunt opmaken of er al dan niet een algebraïsch getal als een multiplier in verborgen zit. En voor zover dat niet zo is zijn ratio's van transcendentale getallen dus transcendentaal. Vandaar dus dat je stelt (vanuit de overaftelbaarheid) dat de ratio's van willekeurige transcendentale getallen grotendeels ook transcendentaal zullen zijn.

Weer iets geleerd.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 04 april 2007 @ 06:11:
[...]


Ja, flauw, omdat je specifiek getallen kiest waar pi²/6 of pi⁴ /90 bij voorbaat al in zit vanuit de Riemann Zeta expansie en als je dat 1000 keer doet draagt het niets bij aan de discussie. Er zijn allerlei formules zoals o.a. de Leibnitsz expansie om pi te berekenen met pi/4= 1-1/3+1/5-1/7. . . Deze vormen waren dus specifiek al besproken. Elk voorbeeld dat je dan ophoest is een herhaling. Het doet er dus wel toe dat je flauwe voorbeelden laat zien.

Zoals gezegd, voorbeelden worden niet minder flauw dan dit. Bijvoorbaat is er geen reden om aan te nemen dat waarden van de RiemannZeta functie its met pi van doen hebben. Het is slecht door onze uitgebreide kennis van reeksen dat we aan kunnen tonen dat sommige waarden van de RiemannZeta functie eenvoudig uit te drukken zijn in termen van pi.

Een willekeurig ander voorbeeld zal net zo flauw zijn: Beschouw het hypothetische geval dat ik met een ander trancsedent getal kom, wat ik gevonden heb ergens in heel diep onderzoek naar topologische quantum velden. Vervolgens toon ik voor je aan dat de ratio van dit getal met pi algebraisch is, dan kan jij net zo goed antwoorden: Ja, dat is flauw want het was uit te drukken in pi.

Of te wel als je dit flauw noemt is elk voorbeeld van een verhouding van twee transcedente getallen waarvan de verhouding algebraisch flauw. Als je dat niet kan inzien heb je toch wel een beetje een beperking.

OK, Cantor kennelijk zei dat het overgrote deel van de natuurlijke getallen (die we kunnen maken) transcendentaal waren. . .ik neem aan dat je dit met overaftelbaar bedoeld. Louiville beweerde dat hij een methode had bedacht om een oneindig aantal transcendentale getallen te maken . . .uiteraard kon hij dat niet omdat hij dan oneindig lang zou moeten leven.

Een verzameling heet overaftelbaar als hij injectief naar de natuurlijke getallen is aftebeelden. (Overigens de natuurlijke getallen zijn de positive gehele getallen, eventuele tenzamen met 0) Het bewijs van Cantor laat zien dat de verzameling van Reeele getallen overaftelbaar is. Omdat de verzameling algebraische getallen aftelbaar is, is de verzameling transcedente getallen (haar complement in de reeele getallen) automatisch overaftelbaar. Dit betekent dus dat (in zekere zin) er veel meer transcedente dan niet transcedente getallen bestaan.

In deze beschouwing kunnen we dus alleen speculeren, zoals je aangaf, dat als er nieuwe transcendentale getallen gebouwd worden, waar pi, e en andere ouwe bekenden niet bij voorbaat al in zitten, dat je hooguit vanuit een analyse per geval kunt opmaken of er al dan niet een algebraïsch getal als een multiplier in verborgen zit.

Ik snap niet, dat je nog steeds niet begrepen hebt dat dergelijk uitspraken zoals ik hier heb gehighlight vollegdig bettekennis loos zijn. Probeer nou eens een keer te defineren wat het betekend dat er een algebraisch getal als multiplier in een getal verborgen zit.

En voor zover dat niet zo is zijn ratio's van transcendentale getallen dus transcendentaal. Vandaar dus dat je stelt (vanuit de overaftelbaarheid) dat de ratio's van willekeurige transcendentale getallen grotendeels ook transcendentaal zullen zijn.

Weer iets geleerd.

Mijn argument was veel simpeler: Voor een vast transcedent getal kunnen er maar aftelbaar veel transcedente getallen zijn waarvoor de breuk algebraisch is. (omdat er maar aftelbaar veel algebraische getallen zijn.) Als je dus een willekeurig ander transcedent getal neemt, is de kans groot dat deze hier niet toe behoort en de verhouding met het getal dat je had transcedent is.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 04 april 2007 @ 06:59:
[...]


Ik snap niet, dat je nog steeds niet begrepen hebt dat dergelijk uitspraken zoals ik hier heb gehighlight vollegdig bettekennis loos zijn. Probeer nou eens een keer te defineren wat het betekend dat er een algebraisch getal als multiplier in een getal verborgen zit.

Ik heb nog steeds het gevoel dat je een arrogante professor bent of een arrogante wiskundige. Je blijft herhalingen opsommen. Als je iets niet snapt dan ben je misschien niet slim genoeg?

Van mij mag dit onderwerp op slot.

[- J.W. -]

@Vortex2: Ik denk dat we inderdaad de discussie maar moeten sluiten, anders blijven we maar op hetzelfde punt hangen.

Nog even voor de duidelijkheid: het is écht geen muggenzifterij of flauw bedoeld.
Het ligt misschien wel redelijk subtiel, maar het is wél de essentie.

Als je er nog es naar wilt kijken moet je dat zeker doen, de informatie staat ruimschoots in dit draadje nu.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 04 april 2007 @ 18:49:
[...]


Ik heb nog steeds het gevoel dat je een arrogante professor bent of een arrogante wiskundige. Je blijft herhalingen opsommen. Als je iets niet snapt dan ben je misschien niet slim genoeg?

Van mij mag dit onderwerp op slot.

Als jij in staat zou zijn op de essentie van het argument, ipv dingen op basis van gebrekkige logica als flauw af te doen, dan zou ik mijn argumenten niet in net andere vormen hoeven herhalen.

En ja, ik kan soms best arrogant zijn en ik ben zelfs wiskundige, maar dat is nog geen reden om niet inhoudelijk in te gaan op argumenten. (of te zeggen dat je ze niet begrijpt)

Overigens lijkt mij het niet begrijpen van jou onbegrip eerder gerelateerd aan een gebrek aan kennis van de psycholigie van minderwaardigheidscomplexen in oudere mannen, dan aan een gebrekkige intelegentie.

[caipirinha]

Verwijderd schreef op vrijdag 30 maart 2007 @ 18:17:
[...]
OK, maar het is eigenlijk 1,618033988749890 + een beetje en komt toevallig uit( √1 + √5)/√4
Waarin “verborgen” zit:

5-4=1
1+1=2
1+2=3
4 hebben we al
5 hebben we al
1+5=6

en ga zo maar door!

Vandaar dat er op Jupiter een 6-hoekige polygoon in de atmosfeer ontstaat. Het wordt veroorzaakt door The Golden Ratio

Verder:

GR= 1,6180339887498900

1/GR= 0,6180339887498950

GR en 1/GR zijn gewoon de oplossing van de vierkantsvergelijking x^2-x-1=0 is niks toevalligs aan

oplossingen (1+√5)/2 = 1,61803399 en (1-√5)/2=0,61803399

Doet er verder niet zo toe, een leuk boek is "the golden ratio" van mario livio ISBN 0-7679-0816-3
Geen zweefboek gewoon hystorische en rekenkundige feiten.

[Verwijderd]

caipirinha schreef op maandag 09 april 2007 @ 15:49:
[...]

GR en 1/GR zijn gewoon de oplossing van de vierkantsvergelijking x^2-x-1=0 is niks toevalligs aan

oplossingen (1+√5)/2 = 1,61803399 en (1-√5)/2=0,61803399

Doet er verder niet zo toe, een leuk boek is "the golden ratio" van mario livio ISBN 0-7679-0816-3
Geen zweefboek gewoon hystorische en rekenkundige feiten.

Gelijk heb je nog niet hoor. Ik ga even vóór dinsdag hierop reageren:

(1-5^0,5) /2 ~= -0,61803399 en dit is toevallig fout als je stelt dat dit ~1/GR is. Jouw antwoord is dus ongeveer

-1/GR.

De GR als een oplossing van de vraag hoe de het tot stand komt is bekend en duidelijk. Ik neem dus aan dat je het wordt "toevallig" in de discussie wilt gaan betrekken? OK hier komt mijn gedachte er over:
Of iets wel of niet toevallig is kan je eindeloos over praten. Als een kind [b]een rechthoek XxY en een vierkant XxX aan elkaar plakt zodat toevallig (X+Y)/Y = Y/X dan kan je stellen dat de uitkomst Y/X= ongeveer 1,61803399 is en dat het als oplossing van y2-y-1=0 een toevalligheid is omdat de relatie Y/X toevallig tot stand kwam. Je kan ook stellen dat GR=1,61803399 toevallig ook een oplossing is van y2-y-1=0 omdat er meerdere wiskundige manieren zijn om dit getal op te hoesten. Dus om te zeggen: ". . .is niks toevalligs aan" kan bevestigd dan wel ontkracht worden. . .al naar gelang op welke manier het woord "toevallig" er in betrokken is.

Als een wiskundige daar vanuit een wiskundige interpretatie over wilt gaan praten met een niet-wiskundige kom ie in een eindeloze vicieuze cirkel terecht als ie een beetje dwars wilt gaan liggen en van de niet-wiskundige eist dat hij het begrip "toevallig" met een niet-misteverstane wiskundige grondigheid gaat definiëren.

In deze zin kan je waarschijnlijk hard maken dat in de wiskunde "toeval" niet bestaat. Het zou misschien een goed idee zijn als een wiskundige een woord tegenkomt in een discussie die over wiskunde gaat en er niet in thuis hoort er direct (vanuit het vraagstuk) een andere toepasselijke wiskundige definitie er voor suggereert dat beter het vraagstuk/opmerking aansnijdt.

[- J.W. -]

Geen idee waar de discussie nu heen gaat, maar in ieder geval, als je een polynoom van de vorm x^2 + b*x + c hebt en deze heeft nulpunten p en q, dan geldt dat p*q = c.

Oftewel:

p = c / q

In het geval van de GR, c = -1.

----
Ook geldt dat p+q = - b

In het geval van de GR hebben we dus dat: GR - 1 / GR = 1
(of deel gewoon meteen de vergelijking door x^2-x-1=0 door x)

Zulk soort relaties heb je dus altijd.

Hoe doe je die mathcode?

[ Voor 18% gewijzigd door - J.W. - op 10-04-2007 01:31 ]

[caipirinha]

De oplossing van de vergelijking en het numerieke antwoord is niet toevallig maar slechts een exacte oplossing van het GR vraagstuk.
Het optreden van het vraagstuk an sich zou je inderdaad toeval kunnen noemen ware het niet dat GR verhoudingen in de natuur teveel voorkomen om toevallig te zijn.
Verder heb ik er niet echt veel aan toe te voegen.

[- J.W. -]

Misschien leuk om zoveel mogelijk dingen op te noemen waar de GR een rol in speelt?

- De verhoudingen hebben we al gehad.
(dus als (x+y)/x = x/y met x/y >0, dan x/y = GR)


Ik zal de volgende doen, de Fibionacci reeks:

a_{0} = 0
a_{1} = 1

En dan:
a_{n+1} = a_{n} + a_{n-1}

Volgens de standaard oplossings methode, 'probeer':
a_{n} = a^n

Invullen en wegdelen geeft: a^2-a-1 = 0

We weten de nulpunten al, namelijk a = GR = (1 + sqrt(5))/2 en a = (1 - sqrt(5))/2

De algemene oplossing is dus:
a_{n} = C * [(1 + sqrt(5))/2]^n + D * [(1 - sqrt(5))/2]^n

De C en D volgen uit a_{0} = 0 en a_{1} =1

We vinden C = -D = 1/ sqrt(5)

Oftewel:
a_{n}= ([(1 + sqrt(5))/2]^n - [(1 - sqrt(5))/2]^n)/sqrt(5)

De verhouding a_{n+1}/a_{n} gaat naar GR voor n naar oneindig, zolang C niet 0 is (bij ons C = 1/sqrt(5)):

a_{n+1}/a_{n} = (C * [(1 + sqrt(5))/2]^n + D * [(1 - sqrt(5))/2]^n) / (C * [(1 + sqrt(5))/2]^(n-1) + D * [(1 - sqrt(5))/2]^(n-1))

Merk nu op dat |(1 - sqrt(5))/2| < 1, dus (1 - sqrt(5))/2)^n gaat naar 0 voor n naar oneindig.

We houden dus over: C * [(1 + sqrt(5))/2]^n / C * [(1 + sqrt(5))/2]^(n-1) = (1 + sqrt(5))/2 = GR.

Oftewel: de limiet voor n naar oneindig van a_{n+1}/a_{n} gaat naar de GR toe. Oftewel, voor grote n wordt het getal ongeveer GR keer zo groot.

Handig als je konijnenfokker bent


néééééééxt!

(dit hoeft geen wiskunde te zijn, mag ook gewoon uit de natuur ofzo komen, lijkt me wel leuk om te weten. Iets met schelpen en draaien ofzo is geloof ik ook iets)

[ Voor 8% gewijzigd door - J.W. - op 10-04-2007 01:10 ]

[Verwijderd]

Over het bestaan van toeval valt natuurlijk sowieso te twisten en zeker als je het hebt over logische structuren. (Je krijgt dan namelijk altijd het conflict dat iets logisch en toevallig tegelijk is, twee karakteriseringen die niet echt samen lijken te gaan.)

Anderzijds is het zelfs in de wiskunde best gebruikelijk om te zeggen dat iets "toevallig waar is". Al geeft men liever de voorkeur aan de uitspraak met dezelfde gevoelsmatige inhoud, dat je "een bepaalde uitspraak a priori niet waar hoeft te zijn."

Maar hoe je het ook zegt ik zou de eigenschap:

GR-1 = 1/GR

Nooit als toevallig omschrijven aangezien dit toch meestal als de definerende eigenschap van de gulden snede wordt gezien. (Het is in ieder geval de algebraische vertalling van de gebruikelijke geometrische definitie.)

Veel minder verwacht is het feit dat de gulden snede te voor schijnt komt als de limiet van de verhoudingen van de fibbonacci rij. Op grond van de definitie is dit niet een twee drie te verwachten. En jou zou dit best als toevallig kunnen omschrijven.

[Verwijderd]

Dit fascineert me ook wel, mischien helpt de volgende link wel bij dit topic:

http://www.mcs.surrey.ac.....Knott/Fibonacci/fib.html

---

De bovenstaande site biedt informatie over zowel de Gulden Snede als de Rij van Fibonacci, welke niet ver van elkaar liggen, er wordt ook aangetoont waar men de Gulden Snede en de Rij van Fibonacci kan terugvinden in de natuur en in de cultuur.

Zie het zelf maar, de moeite waard om te lezen...

[ Voor 52% gewijzigd door Verwijderd op 16-04-2007 20:36 ]