Lie Groups: E8

[GG85]

-Wiskundeknobbels kraken honderdtwintig jaar oud probleem-

Achttien wetenschappers zijn erin geslaagd een wiskundeprobleem op te lossen dat zo complex is dat een uitgeschreven versie ervan het eiland Manhattan kan bedekken. De oplossing omvat zestig keer meer data dan het Human Genome Project.

Het probleem werd honderdtwintig jaar geleden geformuleerd door Sophus Lie, een Noorse wiskundige. In de loop van de negentiende eeuw deed hij onderzoek naar geometrische vormen en daarbij vond hij de 'Lie Groups' uit. Een van deze groepen, E8 genaamd, werd in 1887 ontdekt en wordt met zijn 248 dimensies beschouwd als de meest complexe van allemaal. Wetenschappers waren er tot voor kort zelfs van overtuigd dat het probleem niet opgelost kon worden. Hoewel de wetenschappers de afgelopen vier jaar van de straat gehouden werden door Sophus Lie, heeft de berekening vooralsnog geen praktisch nut. De onderzoekers hopen echter dat de opgedane kennis hen kan helpen om andere theoretische problemen op te lossen.

Een Lie-groep of 'continue transformatiegroep' is een wiskundige verzameling waarop een groepsbewerking gedefinieerd is en waarmee continue symmetrieën gemodelleerd kunnen worden. Een voorbeeld van zo'n continue symmetrie is een rotatiesymmetrie: een vorm die ongewijzigd blijft bij omwenteling. Een spiegeling daarentegen is een niet-continue symmetrie.

Naar aanleiding hiervan: kan iemand mij uitleggen wat dit precies inhoud en wat een Lei groep precies is? Misschien dat ik di moren wel even uitdraai en aan m'n wiskunde docent laat zien.

[edie]

Staat in het artikel:

Een Lie-groep of 'continue transformatiegroep' is een wiskundige verzameling waarop een groepsbewerking gedefinieerd is en waarmee continue symmetrieën gemodelleerd kunnen worden.

Verder weet ik het ook niet

[ Voor 7% gewijzigd door edie op 21-03-2007 21:13 ]

[Verwijderd]

http://nl.wikipedia.org/wiki/Lie-groep
http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

Daar kan je wiskundeleraar vast wel wat mee.

De inleiding het Wikipedia-artikel komt overigens verdacht sterk overeen met de laatste alinea van het artikel in de topicstart. Laatst werd Wikipedia bij RTL Z zelfs als bron genoemd.

[ Voor 19% gewijzigd door Verwijderd op 21-03-2007 21:39 ]

[Confusion]

GG85 schreef op woensdag 21 maart 2007 @ 19:58:
Naar aanleiding hiervan: kan iemand mij uitleggen wat dit precies inhoud en wat een Lei groep precies is? Misschien dat ik di moren wel even uitdraai en aan m'n wiskunde docent laat zien.

Precies: nee. Bij benadering: misschien.

Een 'groep' is de naam die de wiskunde geeft aan een verzameling wiskundige transformaties. Een voorbeeld van zo'n transformatie is de operatie 'spiegelen in de x-as'. Als je een punt in het (x,y) vlak spiegelt in de x-as, dan komt het op (x,-y) terecht. Spiegel je het nog een keer, dan komt het weer op (x,y) terecht. Wiskundig kan je dit bijvoorbeeld de operatie S noemen. Laten we nu daarnaast de operatie I, de eenheidsoperatie die het origineel onveranderd laat, definieren.

Wat je nu ziet is dat SS = I: twee keer de operatie S op een punt uitvoeren is gelijk aan de operatie I uitvoeren op dat punt. De operaties S en I zijn samen een voorbeeld van een wiskundige groep. Over dit soort 'groepen' kan je nu wiskunde bedrijven, waardoor je eigenschappen van groepen en combinaties van groepen kan achterhalen, zonder dat je de operaties die die groepen beschrijven kent.

Om een groep te vormen moeten de elementen aan een aantal voorwaarden voldoen, die ik hier niet ga uitspellen. Om een Lie groep te zijn, moeten de elementen aan nog meer voorwaarden voldoen. Over Lie groepen en combinaties van Lie groepen zijn allerlei feiten bekend door abstract wiskundig werk, die op het eerste gezicht niet interessant lijken. Tot je je bijvoorbeeld realiseert dat je met een Lie groep de rotaties van een molecuul in de ruimte kunt beschrijven. Als je wat handige truuks met Lie groepen kent, kan het best zijn dat je de mogelijke rotaties van een samenspel van 10 moleculen dan opeens veel makkelijker kunt uitrekenen dan op enige andere manier mogelijk is, terwijl het grootste deel van het werk gebeurt zonder dat je zelfs maar rekening houdt met het feit dat je het over rotaties hebt.

Dit voorbeeld is overigens (denk ik) niet helemaal juist, maar het illustreert het punt. Wat Lie groepen in ieder geval doen, zijn quantummechanische eigenschappen en symmetrieen van fundamentele deeltjes beschrijven. En daarmee vormen ze een krachtig middel om theorieen op te stellen en berekeningen te doen betreffende die deeltjes.

[GG85]

Ok, dat verklaart al een hoop, dank je

[Verwijderd]

Confusion schreef op woensdag 21 maart 2007 @ 21:58:
[...]

Precies: nee. Bij benadering: misschien.

Ik zal tevens een poging wagen. Misschien met iets meer precisie. (Hoewel het verhaal van confusion een best redelijk idee geeft.) Het helpt als je een beetje bekend ben met matrices.

In Lie-groep combineert twee belangrijke begrippen uit de wiskunde: die van een Groep en die van een Varieteit.

Groep

Groepen zijn in zekere zin de meest eenvoudige objecten in de algebra (een vakgebied binnen de wiksunde.)

-Een groep bestaat uit een verzameling 'objecten'. Bijvoorbeeld de verzameling van gehele getalen, of de verzameling van (inverteerbare) matrices.

-Op deze verzameling moet een operatie gedefineerd zijn. Dat wil zeggen je moet de objecten kunnen 'vermenigvuldigen' (optellen mag ook.) Dat wil zeggen het product van twee objecten moet een ander object uit de verzameling geven. Voorbeelden zijn de optellen voor gehele getallen (de som van twee gehele getalen is weer een geheel getal) of matrixvermenigvulding voor matrices.
Deze operatie moet aan bepaalde voorwaarden voldoen. Ruwwweg komen deze neer op het volgend:
+ Je kan "haakjes weg werken" Dat wil zeggen voor drie objecten a b en c geld dat (a b) c = a (b c).
+ Er bestaar een "eenheidselement". Dat wil zeggen er is een element in je verzameling waarvoor geldt dat als je er mee vermenigvuldigt er het zelfde uit komt. Bijvoorbeeld 0 voor de gehele getallen (a + 0 = a) en de eenheidsmatrix (de matrix met alleen eenen op de diagonaal) voor matrices.
+ Voor elk element bestaat er een inverse element. Als je een element vermenigvuldigd met zijn inverse krijg je het eenheidselement. De inverse van a in de gehele getalen is -a, immers a + (-a) = 0 en de inverse van een matrix is de inverse matrix. (Euh ja, duh, maar hierom zij ik eerder dat je de verzameling van inverteerbare matrices moest nemen.)

Varieteit
Varieteiten zijn het centrale begrip in de meetkunde. Een varieteit is een ruimte die er locaal 'uitziet' als R[sup]n[/n]. Dit is helaas niet duidelijker dan dit te zeggen, zonder heel erg technisch te worden. Maar misschien helpt als ik een paar voorbeelden geef:
- Een flauw voorbeeld Rⁿ zelf ziet er natuurlijk lokaal uit als Rⁿ.
- Een bol oppervlak ziet er locaal uit als R².
- Een torus (het oppervlak van een donut) ziet er locaal uit als R².
- Iets algemeener: Een (differentieerbaar) oppervlak in R³ ziet er locaal uit als R².
En voor deze discussie zeer belanrijk:
- Een n x n matrix is in wiskundige zin eigenlijk niks anders dan een vector met n² entries. De enige reden dat je hem in de vorm van een matrix schrijft is omduidelijk te maken hoe je matrix vermenigvulding moet defineren. De ruimte van alle n x n matrices is dus ook een varieteit.
- Over het algemeen wordt aangenomen dat het universum (of in ieder geval de ruimte) beschreven wordt door een varieteit. Het is je dagelijkse waarneming dat lokaal (hier op aarde) de ruimte goed beschreven kan worden door R³.

Lie Groepen
Een Lie groep combineert deze twee concepten. Een Lie groep is een groep waarvan de bij behorende verzameling de structuur van een varieteit heeft. En dat deze twee begrippen elkaar 'respecteren'. Technische gesproken moet de vermenigvulding continu zijn. (Dat wil zeggen als ik drie elementen a, b en c in mijn verzameling en b en c liggen bij elkaar 'in de buurt.' Dan liggen de producten a b en a c ook bij elkaar in de buurt.)

Hierboven hebben al een voorbeeld gezien: Inverteerbare matrices vormen zowel een groep als een varieteit. (Je kan laten zien dat matrixvermenigvuldiging 'continu' is.) Dit is gelijk het belangrijkste voorbeeld van een Lie groep. Een zeer fundementeel resultaat in de theorie van Liegroepen is namelijk dat vrijwel alle Lie-groepen beschreven kunnen worden als een deel verzameling van de verzameling van alle inverteerbare matrices.

Bijvoorbeeld, de groep van rotaties van een driedimensionaal object (waarvan terecht eerder werd gemeldt dat het een Lie groep is)kan je beschrijven in termen van matrices.

Ik zei express vrijwel alle Lie groepen. Er zij namelijke een (eindig) aantal Lie groepen die zich niet laten omschrijven als Matrices. De in het artiekel genoemde E8 is hier een van.

Hopelijk geeft dit een idee wat een Lie groep is.

[ Voor 0% gewijzigd door Confusion op 22-03-2007 08:14 . Reden: Sluit tags gefixed ]

[Verwijderd]

Ik grijp hier even de kans om toe te geven dat ik van sommige zaken niets snap. Ik zou een Lie Groep niet herkennen als ik er tegenaan zou lopen . . . om 4 uur in de morgen is er even niets te doen dus vandaar . . . slapen zet geen zoden aan de dijk.

Ik citeer uit de TS:

Wetenschappers waren er tot voor kort zelfs van overtuigd dat het probleem niet opgelost kon worden.

Kennelijk hebben wetenschappers weer 120 jaar lang iets beweerd dat niet waar is . . . kennelijk is er nu wel een oplossing . . . zoiets gebeurt vaak, zo dat is op zich "normaal". Bijen zouden ook niet kunnen vliegen.

Nu begin ik op dreef te raken:

Dergelijke stellingen van wetenschappers . . . dat iets niet kan . . . worden door engineers gretig aangepakt: wij engineers (ten minste "wij" in Canada waar ik het vak geleerd heb) hebben er een gezegde van gemaakt:

"Zodra een wetenschapper beweert dat iets niet kan komen de engineers uit hun hok om even aan te tonen dat het een fluitje van een cent is dat het wel kan en dan maken ze er even een werkend model van en dan gaan ze hun hok weer in".

Soms lukt het omverwerpen van een wetenschappelijke stelling niet direct en af en toe erkennen we dat we misschien ongelijk hebben, maar daar worden we niet depressief van en het proberen houdt ons van de straat.

Een vergelijkbare (een ietwat off-topic) situatie is van toepassing op het inmiddels 165 jaar oude Earnshaw Theorema: met statische 1/r² krachtvelden is het onmogelijk een stabiel evenwicht te kunnen realiseren voor levitatie van een dipoolmagneet. In de jaren na het ontstaan van dit theorema is het o.a. geïnterpreteerd door te stellen dat met dipool magneten het onmogelijk is om een magneet te laten zweven. Dit werd voor lange tijd als een Goddelijke waarheid beschouwd: "dipoolmagneten creëren immers een 1/r² krachtveld, dus een zwevende magneet boven of onder permanente magneten is niet mogelijk" . . . en dit werd op zich een aparte religie.

Niet verbazendwekkend werd ook die stelling snel overboord gegooid toen men diamagnetisme ontdekte en weer later nog eens met de uitvinding van de Levitron. Toen werd in beperkte kringen duidelijk dat op diverse manieren toch zonder een em-terugkoppelsysteem er toch magneten konden zweven. Allerlei voorbeelden tonen aan dat je met inzicht en vernuft veel zogenaamde "waarheden" kan ontkrachten en nieuwe waarheden kan laten ontstaan. Desondanks blijven de "oude waarheden" hardnekkig doorleven naast de nieuwe waarheden en ontstaan er eindeloze "welles-nietes" discussies.

Op het gebied van magnetische levitatie is inmiddels door Robert Bassani aangetoond dat zelfs de rotatie van een magneet, zoals met een Levitron, niet noodzakelijk is om een stabiel evenwicht te creëren en dat een magneet in een magneetveld kan zweven zonder rotatie. Bassani's werk resulteerde in een magneet opstelling waarvoor een potentiaalput gecreëerd werd met louter permanente ferromagneten. . . .iets wat zogenaamd onmogelijk was. Even zo deze "oplossing" voor een stabiel zwevende permanente ferromagneet, in een magneetveld van een permanente ferromagneet is niet in strijd met Earnshaw's theorema maar ook haalt deze oplossing het dit theorema niet onderuit. Het is eenvoudigweg een nieuw voorbeeld van een praktische opstelling waarvoor de vanouds gestelde conclusies van Earnshaw's theorema niet gelden, namelijk dat je wel een magneet kan laten zweven louter omdat dit "nieuwe zweven" plaatsvindt op basis van principes die in Earnshaw's theorema niet aan de orde komen . . . Earnshaw's analyse is eenvoudigweg een beperkte kijk op alle mogelijkheden die er zijn om magneten op of onder magneten te laten zweven.

Ik heb inmiddels zelf geconstateerd dat min of meer het pad dat Bassani gevolgd heeft veel weg heeft van mijn "oplossing" voor een stabiele magnetische zweefconstructie, maar een ander theoretische basis heeft dan Bassani presenteert. Ik verwijs naar het creëren van een potentiaalput met permanente ferromagneten.

Zie o.a. mijn weergave van een dergelijk potentiaalkanaal, Fig. 3 in:

http://www.vortexcw.nl/floating/omz.html

Deze “potentiaalput” heeft in principe dezelfde vorm als door Bassani wordt beschreven (een stabiliteitsregio om het theoretische statische evenwichtspunt heen). Ook in mijn oplossing voor een stabiele zweefconstructie wordt Earnshaw's theorema niet onderuit gehaald: het is eenvoudigweg zo dat Earnshaw's theorema niet altijd op alle denkbare constructies van toepassing is.

De details waarom dat zo is zijn in hier niet relevant omdat het feit dat keer op keer oude "wetenschappelijke" stellingen door engineers of jonge wetenschappers onderuit gehaald worden hier centraal staat. Veelal gebeurt het “onderuit halen” omdat de aanvankelijke wetenschappelijke stelling te beperkt is opgesteld en ook vaak onjuist is geïnterpreteerd, op een vergelijkbare manier dat Earnshaw's theorema niet uitgaat van een opstelling van allemaal echte permanente magneten maar een dipoolmagneet in statisch 1/r² krachtveld. De vele uitzonderingen op wetenschappelijke stellingen, inclusief dat een ferromagneet boven of onder een superconductor kan zweven, hebben reeds aangetoond dat "oude waarheden" doorgaans vaker overboord gegooid worden dan dat ze aangehouden kunnen worden.

Het is prachtig als heilige huisjes in duigen vallen.

[0rbit]

Hier nog een leuk artikeltje over het probleem dat opgelost is:

http://noorderlicht.vpro.nl/artikelen/33845127/