Wiskundig model bovenloop kraan

[Klaaz Vaak]

Geachte lieden,

Ik zit met een wiskundig probleem.

Stel ik heb een bovenloopkraan met de volgende schematische weergave:



daarvan zijn de volgende differentiaalvergelijkingen opgesteld:



Met:



Waarvan ik de overdracht(Hp(s)=θ(s)/u(s)): van Hp(s) van de motor u(t) naar de hoek θ(t) wil weten.

Dus dat houdt in dat ik de bovenstaande differentiaalvergelijkingen omzet in het Laplace domein (s) en vervolgens x(t) elimineer door deze te substitueren in de 2e vergelijking, ik kan immer geen 3 onbekenden hebben in berekening van een stapresponsie.

Dat blijkt onmogelijk, er bestaat immers geen x(t) in de 2e differentiaal vergelijking?

Hierbij mijn vraag, doe ik de juiste aanname of is de 2e vergelijking gewoon de antwoord op mijn vraag? (Hierin is x(t) al geëlimineerd)

[ Voor 3% gewijzigd door Klaaz Vaak op 25-02-2007 16:06 ]

[Verwijderd]

Klaaz Vaak schreef op zondag 25 februari 2007 @ 15:46:
G
daarvan zijn de volgende differentiaalvergelijkingen opgesteld:

[afbeelding]

Sorry, maar ik snap niks van deze differential vergelijkingen. Dat wil zeggen, als ik m=0 invul, dan zou je de bewegings vergelijking voor alleen de kraan moeten krijgen, maar in plaats daarvan krijg ik dat de snelheid (niet de versnelling!) evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de lengte van de kabel. (Die zlef niks weegt en waar dus niks aanhangt en dus niet bijdraagt aan de mechanica van dit probleem.)

Weet je zeker dat deze vergelijkingen kloppen.

(Ik zou namelijk verder x(t) in de tweede vergelijking verwachten niet de kracht u(t).)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 25 februari 2007 @ 21:45:
[...]


Sorry, maar ik snap niks van deze differential vergelijkingen. Dat wil zeggen, als ik m=0 invul, dan zou je de bewegings vergelijking voor alleen de kraan moeten krijgen, maar in plaats daarvan krijg ik dat de snelheid (niet de versnelling!) evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de lengte van de kabel. (Die zlef niks weegt en waar dus niks aanhangt en dus niet bijdraagt aan de mechanica van dit probleem.)

Weet je zeker dat deze vergelijkingen kloppen.

(Ik zou namelijk verder x(t) in de tweede vergelijking verwachten niet de kracht u(t).)

In dergelijke vergelijkingen(niet alleen als ze incorrect zijn) kan je niet zo maar variabelen weglaten en verwachten dat er een zinnig resultaat uit komt. De vergelijking van de beweging van de massa M is gekoppeld aan de tweede vergelijking voor de hoekverdraaiing.

Stel even dat vergelijkingen correct zijn en je de massa m op nul zet en de kabel geen massa heeft. . .de kabel bestaat dan niet en kan je L op nul zetten( als experiment. . .het is geen juiste procedure maar om te illustreren dat het fout gaat werkt het wel!)

OK: m=0 en L=0 en hoek is H als een functie van t

dan krijg je voor DV 1: -H= U

Dit is uiteraard onzinnig omdat de hoekverdraaing niet bestaat(de enige oplossing is U=0 als je H=0 zet. . .maar iets dat niet bestaat kan je niet 0 noemen )

Voor DV2 wordt het resultaat identiek aan dat van DV1.

Ik heb niet de DV's gecontroleerd. Uiteraard lijkt dit op een huiswerk probeem maar TS heeft al iets geprobeerd.

Suggesties:

Zet eerst de aandrijvende kracht U op 0. . . dat geeft je een oplossing voor het systeem voor de natuurlijke beweging(oscillaties) als je de hoek verdraaiing een waarde geeft en dan los laat. . .pendule op frictie-vrije wielen. Het systeem gaat dan oscileren... hoek is + als de x - is en andersom(eigenvalue-probleem dacht ik de naam was). Dat kan je zien in de vergelijkingen met U(t)=0. Los de vergelijking op met U(t)=0 op de "normale" manier.

Als je de U(t)=0 oplosing hebt gevonden dan kan je U(t) elke gewenste vorm geven en lost je de DV's op met de aaname dat de oplossing dezelfde algemene vorm heeft als de driving functie en dan tel je de twee oplossingen bij elkaar op

Op1 + Op 2 = Totale Oplossing

PS: Er bestaat geen oplossing voor x(t) en H(t) als je U(t) niet specifiek een vorm geeft.

Hint: voor de eigenvalue oplossing met U=0 gebruik je bewegingsvormen voor x(t) en H(t) die je logisch vindt. Dus oplossingen in de vorm van x= c1*t² en H= c2/t hebben geen kans van slagen. . .dat weet je gewoon. Probeer daarom een oplossing die je denkt een kans van slagen heeft heeft.

[ Voor 11% gewijzigd door Verwijderd op 26-02-2007 05:37 . Reden: Onnodige haakjes verwijderd(blue) ]

[Verwijderd]

edit: laat maar.

[ Voor 98% gewijzigd door Verwijderd op 26-02-2007 04:25 ]

[Sissors]

@vortex, gedoe met algemene en particulieren oplossingen hoeft niet als je in laplace domein werkt.

@TS

Als ik het goed begrijp wil jij gewoon theta (θ) als functie van u(t) hebben. Dus heb je een differentiaal vergelijking nodig waarin behalbe u(t) en θ(t) geen onbekende zijn. Dat heb je bij de tweede vergelijking, als je die oplost ben je er. En dat is zo gedaan.
Als je dat dan substitueert in de bovenste vergelijking en dan de hele handel integreert heb je ook x(t) als functie van u(t)

[Klaaz Vaak]

furby-killer schreef op maandag 26 februari 2007 @ 10:11:
@vortex, gedoe met algemene en particulieren oplossingen hoeft niet als je in laplace domein werkt.

@TS

Als ik het goed begrijp wil jij gewoon theta (θ) als functie van u(t) hebben. Dus heb je een differentiaal vergelijking nodig waarin behalbe u(t) en θ(t) geen onbekende zijn. Dat heb je bij de tweede vergelijking, als je die oplost ben je er. En dat is zo gedaan.
Als je dat dan substitueert in de bovenste vergelijking en dan de hele handel integreert heb je ook x(t) als functie van u(t)

Precies dat is een antwoord op mijn vraag. Tot deze conclusie ben ik zelf ook gekomen zoals omschreven in mijn startpost. Alleen kan ik mij niet voorstellen dat de 2e DV representatief is voor het omschreven systeem. Dit is namelijk "maar" een 1e orde DV. En mijnsinziens zou ik ook wat met de 1e DV moeten doen. Ik heb het vermoeden dat de gegevens DV's niet volledig of onjuist zijn.

[Verwijderd]

Ik heb gisteren een poging gedaan om wat neer te schrijven, maar het was te laat om helder na te denken

Er zijn een paar dingen die ik wil weten.

Die u(t) Is dat effectief een kracht? Want u is normaalgesproken een uitdrukking voor snelheid of verplaatsing eventueel (in de standaard literatuur). F(t) met F kracht in N, dat is het toch?

En ten tweede, heb je die diff vgl zelf opgesteld? Of werden die gegeven om het probleem te omschrijven? (want ik heb er m'n bedenkingen bij )

[Verwijderd]

Klaaz Vaak schreef op maandag 26 februari 2007 @ 12:06:
[...]


Precies dat is een antwoord op mijn vraag. Tot deze conclusie ben ik zelf ook gekomen zoals omschreven in mijn startpost. Alleen kan ik mij niet voorstellen dat de 2e DV representatief is voor het omschreven systeem. Dit is namelijk "maar" een 1e orde DV. En mijnsinziens zou ik ook wat met de 1e DV moeten doen. Ik heb het vermoeden dat de gegevens DV's niet volledig of onjuist zijn.

OK: Mijn kennis van Laplace transforms is vastgeroest(stamt uit 1973 dus laat ik dat aan jullie over).

Het lijkt my toch een simpele zaak:
Vergeet niet dat de inertia van de roterende wielen ook niet meegenomen is. . .een wrijvingloos glijden dus.

De oplossing voor U=0 zijn twee eenvoudge opties:

X=c1*t. . .gewoon constante snelheid. . .(of X=0 maar dat is triviaal)
H=0

Dit geeft voor DV1

Ac1=0. . .dit klopt niet tenzij C1=0(triviale oplossing).. . .en dus de oplossing is niet geldig voor constante snelheid. Je moet dus aan DV1 een constante=Ac1 toevoegen om de X=c1*t correct te maken.

Met constante snelheid kan H geen constante zijn andres dan 0 tenzij je windfrictie toevoegt(is niet aanwezig).

Ik vermoed hieruit dat DV1 fout is(missende constante?. . .Er is wel een oplossing voor M=0)

Voor DV2

0=0. . .OK

Dan heb je een pendule oplossing voor kleine afwijkingen voor H. . .als je de volledige pendule beweging neemt wordt het niet-lineair en ontgaat de oplossing mij:

H=a*sine t + b*cost--------->sub in DV2
Dit geeft een oplossing voor de constanten.
Sub de oplossing H into DV1

Dat geeft

dX/dt= aB/A*sin t - a*cos t (met a een "kleine" waarde en dat kan je gewoon met een integraal oplossen).

Voor grote afwijking van H moet je dus een niet-lineaire oplossing vinden

Voor de oplossing met willekeurige U(t) als aandrijving moet je elke specifieke vorm U die je kiest apart oplossen. Daar is naar mijn mening geen alternatief voor .

Nu rijst een vraag waar ik vastgeroest zit:

Als je voor U een complexe functie kiest zodat je een niet-lineaire oplossing er voor krijgt kan je dan nog de lineaire oplossing voor U=0 toevoegen aan de oplossing voor U(t)

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 26-02-2007 15:14 . Reden: kleine correcties ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 26 februari 2007 @ 02:15:
[...]


In dergelijke vergelijkingen(niet alleen als ze incorrect zijn) kan je niet zo maar variabelen weglaten en verwachten dat er een zinnig resultaat uit komt. De vergelijking van de beweging van de massa M is gekoppeld aan de tweede vergelijking voor de hoekverdraaiing.

Stel even dat vergelijkingen correct zijn en je de massa m op nul zet en de kabel geen massa heeft. . .de kabel bestaat dan niet en kan je L op nul zetten( als experiment. . .het is geen juiste procedure maar om te illustreren dat het fout gaat werkt het wel!)

OK: m=0 en L=0 en hoek is H als een functie van t

dan krijg je voor DV 1: -H= U

Dit is uiteraard onzinnig omdat de hoekverdraaing niet bestaat(de enige oplossing is U=0 als je H=0 zet. . .maar iets dat niet bestaat kan je niet 0 noemen )

Voor DV2 wordt het resultaat identiek aan dat van DV1.

Ik had toch meer kennis van je verwacht Vortex. Het is namelijk tamelijk valide om in bewegingsvergelijkingen om de limiet te beschouwen dat bepaalde parameters naar nul of oneindig gaan. Om precies te zijn het is een tamelijk gebruikelijke manier om een idee te krijgen van wat een ingewikkeld systeem doet. (Door bijvoorbeeld eerst aan te nemen dat bepaalde parameters "klein" zijn, die naar nul zetten, systeem oplossing om vervolgens de invloed van die parameters als pertubatie te onderzoeken.)

Nu moet je in dergelijk geval wel in de gaten houden wat het fysisch betekend dat je een parameter naar nul of oneindig stuurt. (Zo is het in de vergelijkingen hierboven niet zinnig om de limiet M naar nul te onderzoeken, omdat je bij voorbaat weet dat het systeem dan raar zal reageren.)

Maar het is prima om de situiaties:
- m-> 0 (geen slinger) (Vergelijkingen geven in dit geval onzin, zoals jouw voorbeeld met tevens l -> 0 aantoont.)
- M -> 0 ("het bevriezen van de beweging van x") (In dit geval zou het stelsel moeten reduceren tot de slingervergelijking, wat ie duidelijk niet doet.)

Overigens kan je ook eenvoudig een dimensionele analyse van het probleem uitvoeren. De rechterkant van beide vergelijkingen is dimensieloos terwijl de linkerkant in het bovenste geval in meters per seconde^3 is en in het onderste geval in gewoon per seconde^3.

[ Voor 5% gewijzigd door Verwijderd op 26-02-2007 23:47 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 26 februari 2007 @ 23:43:
[...]


Ik had toch meer kennis van je verwacht Vortex. Het is namelijk tamelijk valide om in bewegingsvergelijkingen om de limiet te beschouwen dat bepaalde parameters naar nul of oneindig gaan. Om precies te zijn het is een tamelijk gebruikelijke manier om een idee te krijgen van wat een ingewikkeld systeem doet. (Door bijvoorbeeld eerst aan te nemen dat bepaalde parameters "klein" zijn, die naar nul zetten, systeem oplossing om vervolgens de invloed van die parameters als pertubatie te onderzoeken.)[

Hoeveel kennis je van mij verwacht doet niet ter zake. Het gaat om het geven van ideetjes om TS een antwoord te laten vinden.

Het is volstrekt onjuist dat je in alle vergelijkingen alltijd zomaar variabelen kunt weglaten. Je opmerking over het gebruik van limieten is doorgaans een goede manier voor het zoeken naar linietgedrag maar dat geldt alleen als de integriteit van het systeem gehandhaafd blijft. In het geval van de bal aan een touw zoals in het voorbeeld . . . .en je laat het touw weg. . .verander je het systeem zodanig dat het niet meer voldoet aan de originele systeem omdat de L van het touw een belangrijke parameter is die niet los staat van het feit dat er een bal aan het touw hangt.

Als er geen touw is kan de variabele L ook geen invloed uitoefenen en krijg je dus een systeem zonder bal en zonder touw. . .je moet dan ook de variabe H uit het systeem weghalen en dan krijg je een geheel andere DV. . .eenvoudigweg een DV voor een rechtlijnig aangedreven massa M

U(t)= M* d/dt((dx/dt))

Je kan alleen maar een variabele naar nul laten gaan als deze ontkoppeld is van de rest van het systeem. . .bijvoorbeeld als een de variabele L als een los onderdeel in de DV aanwezig. Een goed voorbeeld is lineaire frictie. De DV (zonder L) zou dan deze vorm hebben:

U(t)= M* d/dt((dx/dt))+ c*dx/dt

Het weglaten van de frictie term is geen probleem. Het weglaten van de bal is een ramp omdat je dat een ander systeem krijgt.

Overigens kan je ook eenvoudig een dimensionele analyse van het probleem uitvoeren. De rechterkant van beide vergelijkingen is dimensieloos terwijl de linkerkant in het bovenste geval in meters per seconde^3 is en in het onderste geval in gewoon per seconde^3.

Heb ik niet naar gekeken en is dat uiteraard interessant voor TS.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 27 februari 2007 @ 03:57:
[...]
Hoeveel kennis je van mij verwacht doet niet ter zake. Het gaat om het geven van ideetjes om TS een antwoord te laten vinden.

Het is volstrekt onjuist dat je in alle vergelijkingen alltijd zomaar variabelen kunt weglaten. Je opmerking over het gebruik van limieten is doorgaans een goede manier voor het zoeken naar linietgedrag maar dat geldt alleen als de integriteit van het systeem gehandhaafd blijft. In het geval van de bal aan een touw zoals in het voorbeeld . . . .en je laat het touw weg. . .verander je het systeem zodanig dat het niet meer voldoet aan de originele systeem omdat de L van het touw een belangrijke parameter is die niet los staat van het feit dat er een bal aan het touw hangt.

De overgang van een heel erg lichte bal naar geen bal is anders gewoon continu hoor. (Dat is tamelijk eenvoudig in te zien door naar de lagrangiaan van dergelijk systeem te kijken. Immers zowel kinetische als potentiele energie van het slinger deel van het systeem zijn evenredig met de massa van de slinger.)

Je krijgt trouwens niet een heel ander systeem, als je de bal weg laat, maar doodgewoon een limiet geval van het systeem.


In het geval dat je het oneens bent met de wiskunde, beschouw dan eenvoudigweg de fysische situatie: Als je de bal heel erg licht maakt kan deze onmogelijk wezenlijk invloed hebben op de bweging van de kraan zelf. Op puur fysische gronden zou je in dat geval de theta termen weg kunnen laten. (Meestal houdt ik me liever aan de wat rigidere wiskundige aanpak, aangezien die meer zekerheid biedt in het geval van fysische situaties waar intuittie niet altijd evengoed werkt, maar in dit geval is er niks mis mee.)

Als er geen touw is kan de variabele L ook geen invloed uitoefenen en krijg je dus een systeem zonder bal en zonder touw. . .je moet dan ook de variabe H uit het systeem weghalen en dan krijg je een geheel andere DV. . .eenvoudigweg een DV voor een rechtlijnig aangedreven massa M

U(t)= M* d/dt((dx/dt))

Mijn punt is dat dit juist de limiet van de vergelijking zou moeten zijn als je m naar nul stuurt. Dit is duidelijk niet de limiet.

[ Voor 26% gewijzigd door Verwijderd op 27-02-2007 07:05 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 27 februari 2007 @ 07:01:
[...]

De overgang van een heel erg lichte bal naar geen bal is anders gewoon continu hoor. (Dat is tamelijk eenvoudig in te zien door naar de lagrangiaan van dergelijk systeem te kijken. Immers zowel kinetische als potentiele energie van het slinger deel van het systeem zijn evenredig met de massa van de slinger.)

Je krijgt trouwens niet een heel ander systeem, als je de bal weg laat, maar doodgewoon een limiet geval van het systeem.

Onjuist. De variable L (lengte van de pendule) blijft in het syseem zitten en je houd de factor

L/g *dx/dt

in beide vergelijkingen over en de tweede vergelijking blijft bestaan (als je H=0 niet speciek stelt). Ik zie hier even af van het feit dat ik al aantoonde dat DV1 al fout moest zijn omdat het de oplossing x=c1*t niet toelaat(een eenvoudige methode om te kijken of een DV juist is). Maar het blijft zo dat je niet zoaar gekoppelde variabelen mag weglaten als resultaat van een limiting procedure. Dit zou alleen geldig zijn als in een bepaalde vergelijking voor een systeem de "L" wegvalt" als gevolg van het naar 0 brengen van een massa. . .bijvoorbeeld als L*m alleen als product in een DV aanwezig is dan valt "L" vanzelf weg als m --> 0 gaat.

Uiteraard heb je gelijk als je argumenteerd dat als de m weglaat dat je dan een DV moet krijgen waarin de m en de L niet in voorkomen, maar zo formuleerde je het niet: je liet de L gewoon zitten. Je stelde dat met het weglaten van alleen de m je het limietgedrag van een systeem kan bepalen en dat is onjuist indien de DV niet reduceert naar een expressie die voor het veranderde systeem geldig is.

Ik geef je 100% gelijk met je argument dat als m-----> 0 en je krijgt een DV die niet spoort met het systeem dat je dan kan concluderen dat de DV fout is. . .maar dat was het vershil van mening tussen ons niet. . .het ging om TS een aanwijzing te geven hoe TS een oplosing kon vinden dan wel om hem te laten weten dat een of beide DV's niet spoorde voor een rijdende pendule.

In het geval dat je het oneens bent met de wiskunde, beschouw dan eenvoudigweg de fysische situatie: Als je de bal heel erg licht maakt kan deze onmogelijk wezenlijk invloed hebben op de bweging van de kraan zelf. Op puur fysische gronden zou je in dat geval de theta termen weg kunnen laten. (Meestal houdt ik me liever aan de wat rigidere wiskundige aanpak, aangezien die meer zekerheid biedt in het geval van fysische situaties waar intuittie niet altijd evengoed werkt, maar in dit geval is er niks mis mee.)

Wel nu, dat is precies wat ik deed in het bestrijden van je agument! Eerst toonde ik aan dat de eenvoudige oplossing voor het systeem zoals x=c*t die voor het systeem een oplossing moet zijn geen acceptabel resultaat gaf. . .het systeem zou eenvoudigweg een translatie moeten ondergaan en dat laat DV1 niet toe. . .dus DV1 is in elk geval fout.

Daarna stelde ik, om je argument te bestrijden, dat als je de pendule van een rijdende pendule weglaat dat je dan geen rijdende pendule meer hebt. . . . . .en dat je de koppeling tussen de twee aparte systemen. .namelijk de stang L of het touw L niet zomaar in het systeem kan laten zitten omdat je dan eenvoudig een rijdende mass M over houdt waar de variabele L niet in voorkomt. Dat was puur een beschouwing van de fysiche situatie waaruit ik afleide dat de DV1 dan U=M* d/dt(dx/dt) zou moeten zijn.. . .versnelling dv/dt zou dan 0 zijn voor U=0 en dan is x=c1*t wel een oplossing.

Jij stelde dat je eenvoudigweg m=0 kon stellen voor de gegeven DV's en dat geeft geen blijk van begrip voor de wiskunde van fysische systemen. . .

We zullen misschien wel in een viscieuze cirkel blijven zitten, maar goed. . .
Ik stel als sluitstuk dat in een willekeurige DV (of in andere multivariabel vergelijkingen) je niet een x zomaar naar ---->0 kan brengen indien er in de DV andere variabelenzijn die de variabelen koppelen, zoals gebeurd met gekoppelde factoren zoals x*y of z=f(x) en z*w in de vergelijking kunnen voorkomen. Doe je dat wel in een ingewikkelde expressie dan haal je het verband tussen de variabelen geheel weg en krijg je een vergelijking die in de verste verte niet meer representatief is voor het systeem waar de originele expressie voor bedoeld is.

Probeer je zoiets wel uit te halen met bijvoorbeeld 3-dimensionale warmtetransport DV's wordt het lachen geblazen

Ik hoop dat TS er iets van geleerd heeft.

[ Voor 1% gewijzigd door Verwijderd op 27-02-2007 20:18 . Reden: enige correcties aamgebracht(blauw) ]

[Klaaz Vaak]

Allereerst wil ik de heren in ieder geval alvast bedanken voor bovenstaand commentaar.
Met betrekking tot de inhoud van de postings, hier kom ik binnen 1 a 2 dagen op terug.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 27 februari 2007 @ 15:40:
[...]
Onjuist. De variable L (lengte van de pendule) blijft in het syseem zitten en je houd de factor

L/g *dx/dt

Als je mijn eerste post nog eens leest zal je zien dat mij dat ook al was opgevallen en dat ik daaruit concludeerde dat de DV niet kon kloppen. Wiskundige gezien is er niks mis met de limiet van een bepaalde parameter te nemen. Fysische gezien is hier ook niks mis mee, je kan echter op fysische gronden makelijk beredeneren dat als de afhankelijkheid van m verdwijnt ook de afhankelijkheid van l zou moeten verdwijnen.
Het feit dat je in het limiet geval een vergelijking krijgt die niet reperesenatatief is voor de fysische situatie (in dat limiet geval) geeft aan dat de niet limiet situatie ook niet reperesentatief kan zijn voor de fysische situatie. (Met als voorbehoud dat de vergelijking niet veronderstelt dat de parameter waarden in een speciefieke domein aanneemt, zoals bijvoorbeeld dat de waarde altijd groot moet zijn)

Uiteraard heb je gelijk als je argumenteerd dat als de m weglaat dat je dan een DV moet krijgen waarin de m en de L niet in voorkomen, maar zo formuleerde je het niet: je liet de L gewoon zitten. Je stelde dat met het weglaten van alleen de m je het limietgedrag van een systeem kan bepalen en dat is onjuist indien de DV niet reduceert naar een expressie die voor het veranderde systeem geldig is.

Nogmaals, omdat het systeem op continue wijzen afhangt van m kan je het systeem niet wezenlijk veranderen door m -> 0 te sturen. Als de expressie die ja dan krijgt niet voor het systeem in die limiet geldig is, dan is ook niet geldig voordat je de limiet nam.

Ik geef je 100% gelijk met je argument dat als m-----> 0 en je krijgt een DV die niet spoort met het systeem dat je dan kan concludeen dat de DV fout is. . .maar dat was het vershil van mening tussen ons niet. . .het ging om TS een aanwijzing te geven hoe TS een oplosing kon vinden dan wel om hem te laten weten dat een of beide DV's niet spoorde voor een rijdende pendule.

huh? Wat was het verschil van mening tussen ons dan volgens jou?
De oplossings methode van de TS is trouwens wel de goede aanpak. (Dergelijke problemen laten zich het makelijkst oplossen door een Laplace of Fourier transformatie te doen en vervolgens een response functie afteleiden.) Dus het ging er om de TS duidelijk te maken, dat zijn aanpak niet verkeerd was maar zijn probleem wel. En op dat punt zeg je dat je het eens bent met mijn argument.

Wel nu, dat is precies wat ik deed in het bestrijden van je agument! Eerst toonde ik aan dat de eenvoudige oplossing voor het systeem zoals x=c*t die voor het systeem een oplossing moet zijn geen acceptabel resultaat gaf. . .het systeem zou eenvoudigweg een translatie moeten ondergaan en dat liet DV1 niet toe. . .dus DV1 is in elk geval fout.

Daarna stelde ik, om je argument te bestrijden, dat als je de pendule in een rijdende pendule weglaat dat je dan geen rijdende pendule meer hebt. . . . . .en dat je de koppeling tussen de twee aparte systemen. .namelijk de stang L of het touw L niet zomaar in het systeem kan laten zitten omdat je dan eenvoudig een rijdende mass M over houdt waar de variabele L niet in voorkomt. Dat was puur een beschouwing van de fysiche situatie waaruit ik afleide dat de DV1 dan U=M* d/dt(dx/dt) zou moeten zijn.. . .versnelling dv/dt zou dan 0 zijn voor U=0 en dan is x=c1*t wel een oplossing.

Ik zie niet hoe dit mijn argument bestrijdt. Het geeft alleen aan dat er heel weinig klopt van de gegeven DVs.

Jij stelde dat je eenvoudigweg de m----> kon maken voor de gegeven DV's en dat geeft geen blijk van begrip voor de wiskunde van fysische systemen. . .

Sorry, maar je zou eens naar je eigen fysische onzin praat moeten kijken. Het feit dat jij denkt dat dit niet kan laat alleen maar zien dat je een zeer beperkt begrip hebt van de wiskunde van fysische systemen. Het gene wat ik deed is zo'n beetje een van de meest standaard dingen die je kan doen met een fysisch systeem dat je niet begrijpt, de limiet nemen naar een situatie waarvan je wel weet hoe die eruit moet zien. Als je enige echte ervaring zou hebben met het bestuderen van fysische systemen zou je dat toch moeten weten. (Vandaar mijn teleur stelling in je oorspronkelijke reactie)

Ik stel als sluitstuk dat in een willekeurige DV (of in andere multivariabele vergelijkingen) je niet een x zomaar naar ---->0 kan brengen indien er in de DV andere variabelenzijn die de variabelen koppelen zoals gebeurd met gekoppelde factoren zoals x*y of z=f(x) en z*w in de vergelijking voorkomen. Doe je dat wel in een ingewikkelde expressie dan haal je het verband tussen de variabelen geheel weg en krijg je een vergelijking die in de verste verte niet meer representatief is voor het systeem waar de originele expressie voor bedoeld is.

Probeer je zoiets wel uit te halen met bijvoorbeeld 3-dimensionale warmtetransport DV's wordt het lachen geblazen

Je zou gelijk hebben als er inderdaad een verband bestond tussen L en m, echter L en m zijn in de gewraakte vergelijking onsfhankelijke parameters (Je kan ze elke afzonderlijk varieren zonder dat de andere hoeft te veranderen.)
Ook heb je gelijk dat je niet zomaar variabelen (dat wil zeggen onbekenden, in de gegeven DVs x(t) en theta(t)) via een limiet procedure naar nul kan zetten. Je kans zelfs niet varieren. Het zijn immers vrijheden van het systeem die je voorgegeven parameters en randconsities op zou moeten kunnen lossen.

Dus om op jouw warmte vergelijking dit toe te passen:
- Het is volledig legitiem om een limiet geval een van de parameters te bekijken, zoals de hitte geleiding, soortelijke warmte en dichtheid van het materiaal.
- Je kan uiteraard niet een van de partiele afgeleiden bijvoorbaart naar nul zetten. (het zou tamelijk bizar zijn als je dat zomaar zou proberen. (Dit kan trouwens wel in sommige interessant begincondities met de juiste symmetrie.)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 27 februari 2007 @ 22:14:
[...]

Als je mijn eerste post nog eens leest zal je zien dat mij dat ook al was opgevallen en dat ik daaruit concludeerde dat de DV niet kon kloppen. Wiskundige gezien is er niks mis met de limiet van een bepaalde parameter te nemen. Fysische gezien is hier ook niks mis mee, je kan echter op fysische gronden makelijk beredeneren dat als de afhankelijkheid van m verdwijnt ook de afhankelijkheid van l zou moeten verdwijnen.

In je eerste post zei je dat je niets van de DV's begreep en je vroeg je af of ze wel juist waren, maar je stelde niet keihard dat dit zo was omdat de L nog aanwezig was. Met de kennis die je acteraf gezien duidelijk hebt zou ik verwach hebben dat je dat naar voren gebracht zou hebben. . .er zou dan geen enkel misverstand tussen ons geweest zijn.

Het feit dat je in het limiet geval een vergelijking krijgt die niet reperesenatatief is voor de fysische situatie (in dat limiet geval) geeft aan dat de niet limiet situatie ook niet reperesentatief kan zijn voor de fysische situatie. . . .

Nogmaals, omdat het systeem op continue wijzen afhangt van m kan je het systeem niet wezenlijk veranderen door m -> 0 te sturen. Als de expressie die ja dan krijgt niet voor het systeem in die limiet geldig is, dan is ook niet geldig voordat je de limiet nam. . . .


huh? Wat was het verschil van mening tussen ons dan volgens jou?

Nu snap ik het even niet. Als je niet weet wat het verschil van mening was dan hebben we voor niets de hele zaak bediscusieerd. Op het bovenste is er geen verschil van mening. Met je latere toelichtingen ging je akkoord dat in een DV voor m=0 de L niet in de DV zou moeten voorkomen(gewoon een glijdende massa M). Het verschil van mening was dat je stelde dat je kennelijk zomaar in een DV een variabele kon weglaten om het limietgedrag van het systeem te bestuderen. Ik stelde dat zoiets niet mag tenzij de variabelen ontkoppeld zijn. . .het ging in jouw opmerking en mijn antwoord niet om het specifieke voorbeeld (Waarvan het aanvankeljk onduidelijk was of de DV's correct waren) maar in het algemeen. Dit is vooral zo als het systeem complexer is zodat je niet direct kan zien wat de implicaties zijn van het op 0 zetten van een variable. . .je kan dan wel een limietanalyse uitvoeren door een variabel een kleine waarde te geven maar je kan die variabelen niet zomaar op 0 zetten als er overal koppelingen zitten. In een degelijk geval kan je ook niet zomaar zien wat de DV moet zijn als een variable geelimineerd wordt. Van alles wat je zei maakte ik op dat je stelde dat dat wel zinnige informatie zou geven. Dus als je een complexe multi-pendule systeem hebt met ergens in het systeem een losse pendule met L1 (massaloos) en m1 dan mag je die massa m niet op 0 zetten en de L1 in het systeem laten zitten want dan is het limietgedrag niet representief. Je kan dan ook niet in de DV op alle plekken waar L1 voorkomt deze gewoon weglaten. In zo'n geval zou je een nieuw DV moeten opzetten zonder L1 en zonder m1.

In de vervolgdiscussies was het, voor zover ik kon opmaken, duidelijk dat je het er mee eens was. We stelden beide dat DV1 fout moest zijn. . .ik door een oplossing x=c1*t te kiezen (en m te laten voor wat het was) voor U=0 en jij door kenelijk op te merken dat de L niet in de DV thuishoorde door m=0 aan te nemen. Achteraf is er dus geen verschil van mening als je akkoord gaat dat voor gekoppelde variabelen in een complex systeem je deze niet zomaar op 0 kan zetten.

De oplossings methode van de TS is trouwens wel de goede aanpak. (Dergelijke problemen laten zich het makelijkst oplossen door een Laplace of Fourier transformatie te doen en vervolgens een response functie afteleiden.) Dus het ging er om de TS duidelijk te maken, dat zijn aanpak niet verkeerd was maar zijn probleem wel. En op dat punt zeg je dat je het eens bent met mijn argument.

110 % Akkoord!

Je zou gelijk hebben als er inderdaad een verband bestond tussen L en m, echter L en m zijn in de gewraakte vergelijking onsfhankelijke parameters (Je kan ze elke afzonderlijk varieren zonder dat de andere hoeft te veranderen.)
Ook heb je gelijk dat je niet zomaar variabelen (dat wil zeggen onbekenden, in de gegeven DVs x(t) en theta(t)) via een limiet procedure naar nul kan zetten. Je kans zelfs niet varieren. Het zijn immers vrijheden van het systeem die je voorgegeven parameters en randconsities op zou moeten kunnen lossen.

Akkoord!

Dus om op jouw warmte vergelijking dit toe te passen:
- Het is volledig legitiem om een limiet geval een van de parameters te bekijken, zoals de hitte geleiding, soortelijke warmte en dichtheid van het materiaal.[/quote] Ja, maar als er een koelvin met diameter D en lengte L aan plaat zit kan je niet zomaar D=0 zetten en de L in de PDV laten zitten als deze niet als een koppeling aan D zelf wegvalt

- Je kan uiteraard niet een van de partiele afgeleiden bijvoorbaart naar nul zetten. (het zou tamelijk bizar zijn als je dat zomaar zou proberen. (Dit kan trouwens wel in sommige interessant begincondities met de juiste symmetrie.)

]Akkoord!

Dit alles betekend louter dat de systeemintegriteit gehandhaafd moet blijven( uitgaande natuurlijk dat de vergelijking waar het over gaat de juiste is).

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 28 februari 2007 @ 02:49:
[...]
Dus als je een complexe multi-pendule systeem hebt met ergens in het systeem een losse pendule met L1 (massaloos) en m1 dan mag je die massa m niet op 0 zetten en de L1 in het systeem laten zitten want dan is het limietgedrag niet representief. Je kan dan ook niet in de DV op alle plekken waar L1 voorkomt deze gewoon weglaten. In zo'n geval zou je een nieuw DV moeten opzetten zonder L1 en zonder m1.

In dergelijk systeem kan je prima de limiet m1 --> 0 nemen. Dat komt overeen met de fysche situatie dat een van de massa in het slinger systeem verwaarloosbaar klein is. In de vergelijkingen voor dergelijk systeem zal echter de L1 afhankelijk niet verdwijnen. Het systeem is namelijke niet gelijk aan het systeem met een slinger minder. Je kan echter de vergelijking voor het systeem met een slinger minder eenvoudig verkrijgen door ook de limiet L1 --> 0 te beschouwen.

Overigens heb je het steeds over gekoppelde parameters. Ik weet niet zeker wat je bedoelt, maar ik vermoed dat je doelt op de mogelijkheid dat er buiten de differentiaal vergelijkingen om randvoorwaarden aan de parameters gesteld zijn, waardoor je deze niet onafhankelijk van elkaar op een fysische relevente manier kan varieren. Dergelijke situatie is inderdaad lastiger, maar zelfs dan kan je vaak je andere parameters schrijven als functie van de parameter die je wilt varieren, waarna je gewoon weer limieten kan nemen. (mits deze bestaan uiteraard.)

Verder:

maar je stelde niet keihard dat dit zo was omdat de L nog aanwezig was

en omgekeerd evenredig met de lengte van de kabel. (Die zelf niks weegt en waar dus niks aanhangt en dus niet bijdraagt aan de mechanica van dit probleem.)

OK, het staat er een beetje vaag. Maar als ik mezelf paraphraseer staat weldegelijk: de vergelijking kan niet klopen wanten als ik de limiet m->0 neem blijft de vergelijking afhankelijk van l ondanks dat je op fysische gronden kan berederen dat dit niet zo zou mogen zijn.