Totstandkoming formule variantie (statistiek)

[MikeyMan]

Kleine vraag over de formule van variantie:

Deze wordt weergegeven als:



Alles leuk en aardig, maar vooral die laatste is enigszins vreemd...

In elke formule die ik kan vinden, maken ze van (Xi - u)^2 uiteindelijk Xi^2 - u^2...

Dit lijkt me, na uitschrijven enigszins vreemd... Heeft iemand een logische verklaring voor deze rangschikking...?

[Verwijderd]

MikeyMan schreef op dinsdag 13 februari 2007 @ 20:26:
Kleine vraag over de formule van variantie:

Deze wordt weergegeven als:

[afbeelding]

Alles leuk en aardig, maar vooral die laatste is enigszins vreemd...

In elke formule die ik kan vinden, maken ze van (Xi - u)^2 uiteindelijk Xi^2 - u^2...

Dit lijkt me, na uitschrijven enigszins vreemd... Heeft iemand een logische verklaring voor deze rangschikking...?

De middelste term bij uitschrijven wordt -2 * \nu * som(x_i)/n = -2 * \nu^2 (immers de laatste twee factoren zijn allebei gelijk aan de verwachtingswaarde). .

[MikeyMan]

Ligt waarschijnlijk aan de brakke mogelijkheden tot notatie van formules... Maar ik vat hem niet helemaal...

[Verwijderd]

MikeyMan schreef op dinsdag 13 februari 2007 @ 20:42:
Ligt waarschijnlijk aan de brakke mogelijkheden tot notatie van formules... Maar ik vat hem niet helemaal...

Je hebt (x - \nu)^2 = x^2 -2*x*\nu + \nu^2, mee eens? Door die som ervoor te zetten en te vermenigvuldigen met 1/n krijg je dat de middelste term gelijk wordt aan -2 * \nu^2 en met die laatste \nu^2 erbij opgeteld wordt dat dus -\nu^2. Beter zo?

[Opi]

sigma²
= 1/n sum(delta²)
= 1/n sum((x - mu)²)
= 1/n [(x₁ - mu)² + (x₂ - mu)² + ... + (x_i - mu)² ... + (x_n - mu)²]
= 1/n [(x₁² - 2x₁*mu + mu²) + (x₂² - 2x₂*mu + mu²) ... + (x_i² - 2x_i*mu + mu²) ... + (x_n² - 2x_n*mu + mu²)]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - 2mu*(x1 + x2 + ... + xi + ... + xn) + n*mu²]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - 2mu*(n*mu) + n*mu²]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - 2n*mu² + n*mu²]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - n*mu²]
= 1/n sum(x²) - 1/n*n*mu²
= 1/n sum(x²) - mu²

QED

[MikeyMan]

Opi schreef op dinsdag 13 februari 2007 @ 21:55:
sigma²
= 1/n sum(delta²)
= 1/n sum((x - mu)²)
= 1/n [(x₁ - mu)² + (x₂ - mu)² + ... + (x_i - mu)² ... + (x_n - mu)²]
= 1/n [(x₁² - 2x₁*mu + mu²) + (x₂² - 2x₂*mu + mu²) ... + (x_i² - 2x_i*mu + mu²) ... + (x_n² - 2x_n*mu + mu²)]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - 2mu*(x1 + x2 + ... + xi + ... + xn) + n*mu²]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - 2mu*(n*mu) + n*mu²]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - 2n*mu² + n*mu²]
= 1/n [(x₁² + x₂² + ... + x_i² + ... + x_n²) - n*mu²]
= 1/n sum(x²) - 1/n*n*mu²
= 1/n sum(x²) - mu²

QED

En dat slaan ze voor het gemak maar even over...

[Confusion]

Overigens is het gebruikelijk dat de variantie niet 1/n voor de som heeft staan, maar 1/(n-1). Dat levert een betere schatter.