Wiskundig probleempje: 3 gelijke cirkels in 1 grote

[gCassy]

Hey iedereen,

Ik zit met een wiskundig probleempje waar ik al een hele tijd naar op zoek ben. Wellicht voor een aantal wiskundigen onder jullie érg eenvoudig:

Ik heb een ronde (cirkel) salontafel waar ik 3 kleinere cirkels met maximale grootte wil in passen:
Tekening:

Met andere woorden:
Als de straal van de tafel (zwarte rand) gelijk is aan X, hoe groot moet de straal dan zijn van de 3 gelijk gekleurde cirkels, opdat deze elkaar juist aanraken (maar elkaar niet overlappen).
Wat ik al had door logisch te redeneren:
De middelpunten van de kleine cirkels liggen op hun beurt op een denkbeeldige cirkel, 120 graden van elkaar.
Maximum berekening, is normaal gezien met integralen te doen; het is echter al een poosje geleden dat ik dat nog gebruikt heb ;-)

Hopelijk kunnen jullie me verder helpen. Het lijkt zo eenvoudig ...

[F-Tim]

gCassy schreef op vrijdag 17 november 2006 @ 16:06:
Als de straal van de tafel (zwarte rand) gelijk is aan X, hoe groot moet de straal dan zijn van de 3 gelijk gekleurde cirkels, opdat deze elkaar juist aanraken (maar elkaar niet overlappen).

De zwarte rand is de omtrek De straal is de afstand vanaf het midden van de cirkel tot de rand. En ff puur uit het hoofd gespeculeerd, als je de kleinere cirkels de halve straal pakt van de grote cirkel, dan overlappen die 3 elkaar nooit.

Overigens... omtrek = 2 * pi * r
Dus als je de X weet, gewoon deze vergelijking oplossen X = 2 * pi * r en je weet hoe groot de diameter van een kleine cirkel mag zijn. Halveren, en je weet de straal, en van daaruit kun je weer alles uitrekenen.

Edit: Nevermind, dit klopt niet, dan krijg je overlappende stukken

[ Voor 35% gewijzigd door F-Tim op 17-11-2006 16:14 ]

[Orion84]

F-Tim schreef op vrijdag 17 november 2006 @ 16:11:
[...]


De zwarte rand is de omtrek De straal is de afstand vanaf het midden van de circel tot de rand. En ff puur uit het hoofd gespeculeerd, als je de kleinere circels de halve straal pakt van de grote circel, dan overlappen die 3 elkaar nooit.

Uhm als je de kleine cirkels precies de helft maakt qua straal dan raken ze allemaal het middenpunt van de grote cirkel en ovelappen ze elkaar wel degelijk. Probeer het zelf maar eens te tekenen

Overigens... omtrek = 2 * pi * r
Dus als je de X weet, gewoon deze vergelijking oplossen X = 2 * pi * r en je weet hoe groot de diameter van een kleine cirkel mag zijn. Halveren, en je weet de straal, en van daaruit kun je weer alles uitrekenen.

Edit: Nevermind, dit klopt niet, dan krijg je overlappende stukken

Dat zeg ik

[ Voor 5% gewijzigd door Orion84 op 17-11-2006 16:15 ]

[GeeBee]

Opgelost: http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=43914

R = (1 + 2/3 × SQRT(3)) × r

oftewel:

r = R / (1 + 2/3 × SQRT(3))

@cruisn
en dat is inderdaad bij benadering r = R × 46,41%

[ Voor 59% gewijzigd door GeeBee op 17-11-2006 16:24 ]

[Anoniem: 64834]

voor 4 cirkels is het makkelijker, r = straal kleine cirkel, R = straal grote cirkel

r = sqrt(2* (.5*R)^2)

maar dat werd niet gevragen

[ Voor 17% gewijzigd door Anoniem: 64834 op 17-11-2006 16:20 ]

[Anoniem: 114398]

Zonet ff met mijn tekenprogramma uitgevogeld:

Diameter van kleine cirkels is 46,41% van de diameter van de grote cirkel.

Ik heb geen zin in een wiskundige onderbouwing, maar na 15 tellen cirkeltjes tekenen en constrainen was het zo gepiept.

[Anoniem: 196149]

Volgens mij heb ik ooit zoiets gedaan door in die cirkel een driehoek te tekenen en de middenpunten van de ribben van de driehoek gebruik als uitgangspunt voor de cirkel maar ik zal us kijke of ik nog iets kan vinden hierover

Kan trouwus wel da het een achterhaalde manier is maar was ooit voor school en is zo toen wel gelukt geloof ik


Edit: Dju toch beetje te lang bezig geweest met alvast zoeken naar die mogelijkheid

[ Voor 11% gewijzigd door Anoniem: 196149 op 17-11-2006 16:23 ]

[gCassy]

Subliem mensen! Jullie zijn razendsnel! Hartelijk dank allemaal!

[Anoniem: 124325]

gCassy schreef op vrijdag 17 november 2006 @ 16:25:
Subliem mensen! Jullie zijn razendsnel! Hartelijk dank allemaal!

Ik krijg kennelijk een andere oplossing. Er zijn twee eenduidige relaties:

1) twee kleine cirkels liggen op een lijn van de 60 graden driehoek:

d=a/2*cos 60. . . .a is de halve zijde van de 60 gr. driehoek

2) D=2a*cos 30. . .D is de diameter( X) van de grote cirkel en D/2 is de lange zijde van de 60-30-90 graden driehoek

Substitutie van a in de vergelijkingen geeft dan een definitie relatie tussen d en D.
Zelf maar even uitwerken.

Misschien is dat identiek aan de eerder gegeven oplossing.

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op zaterdag 18 november 2006 @ 19:40:
[...]


Ik krijg kennelijk een andere oplossing. Er zijn twee eenduidige relaties:

1) twee kleine cirkels liggen op een lijn van de 60 graden driehoek:

d=a/2*cos 60. . . .a is de halve zijde van de 60 gr. driehoek

2) D=2a*cos 30. . .D is de diameter( X) van de grote cirkel en D/2 is de lange zijde van de 60-30-90 graden driehoek

Substitutie van a in de vergelijkingen geeft dan een definitie relatie tussen d en D.
Zelf maar even uitwerken.

Misschien is dat identiek aan de eerder gegeven oplossing.

huh?
Waar heb je het precies over?
Kennelijk heb je ergens driehoeken getekend, maar het is niet duidelijk welke.

daarnaast is je antwoord verkeerd (neemt wel geteld 30 seconden om uit te rekenen luilak ).

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op zaterdag 18 november 2006 @ 20:30:
[...]


huh?
Waar heb je het precies over?
Kennelijk heb je ergens driehoeken getekend, maar het is niet duidelijk welke.

daarnaast is je antwoord verkeerd (neemt wel geteld 30 seconden om uit te rekenen luilak ).

De diehoek is de halve driehoek tussen de centers van de kleine cirkels maar ik maake te einderdaad een fout door de schuine zijde op 2d te stellen in plaats van d . hierdoor ging alles fout. Inderdaad door luiheid! Maar het ging mij om de relaties en het uitrekenen was niet interessant. Op AutoCad is het inderdaad direct duidelijk dat d=~0,464D.
Mea Culpa

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op zondag 19 november 2006 @ 16:39:
[...]

Maar het ging mij om de relaties en het uitrekenen was niet interessant.

Je lijkt bijna een wiskundige.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op zondag 19 november 2006 @ 20:51:
[...]


Je lijkt bijna een wiskundige.

Als ik een kat was zou ik bijna gaan spinnen

[gCassy]

Om jullie nog eens te bedanken, hieronder het resultaat voor wat ik het eigenlijk nodig had:

en

[ Voor 4% gewijzigd door gCassy op 08-08-2011 16:01 . Reden: Url Domain update ]