Dag Tweakers,
Mijn wiskunde leraar vertelde vandaag nogal 'iets vaags', waar hij zelf ook niet helemaal een verklaring voor wist volgens mij. Nu vraag ik me af of hier iemand is die dat wel weet?
Heb al wel geprobeerd zelf wat te zoeken en te rekenen, maar is nogal lastig, ook omdat ik niet weet waar ik op moet zoeken.
Hier komtie dan:
Ga uit van de functie f(x) = 1/x.
We hebben een schutting, zo groot als het gebied tussen de grafiek, de x-as, x = 1 en x = ∞.
We hebben dus een oneindig grote schutting (berekening kan ik wel uitwerken als het nodig is, maar ik denk dat dat wel duidelijk is). effe kort: F(x) = ln(x), ln(∞) - ln(1) = ∞ - 0 = ∞.
Vervolgens gaan we onze 'schutting' wentelen om de x-as en gaan de inhoud van dit omwentelingslichaam berekenen. In het volgende gedeelte bedoel ik met Integraal() de integraal van 1 tot ∞, beetje lastig om dat er telkens bij te zetten.
We zouden dus theoretisch dit omwentelingslichaam rechtop kunnen zetten, vullen met π liter (of dL, maar maakt niet zoveel uit nu) verf, onze schutting erin poten, en zo de schutting met oneindige oppervlakte verven met enkel π liter verf!
.
Gaat hier nu echt wat fout of lijkt het maar zo?
BVD, ben erg benieuwd naar de 'oplossing'
Mijn wiskunde leraar vertelde vandaag nogal 'iets vaags', waar hij zelf ook niet helemaal een verklaring voor wist volgens mij. Nu vraag ik me af of hier iemand is die dat wel weet?
Heb al wel geprobeerd zelf wat te zoeken en te rekenen, maar is nogal lastig, ook omdat ik niet weet waar ik op moet zoeken.
Hier komtie dan:
Ga uit van de functie f(x) = 1/x.
We hebben een schutting, zo groot als het gebied tussen de grafiek, de x-as, x = 1 en x = ∞.
We hebben dus een oneindig grote schutting (berekening kan ik wel uitwerken als het nodig is, maar ik denk dat dat wel duidelijk is). effe kort: F(x) = ln(x), ln(∞) - ln(1) = ∞ - 0 = ∞.
Vervolgens gaan we onze 'schutting' wentelen om de x-as en gaan de inhoud van dit omwentelingslichaam berekenen. In het volgende gedeelte bedoel ik met Integraal() de integraal van 1 tot ∞, beetje lastig om dat er telkens bij te zetten.
Dus, het omwentelingslichaam heeft een inhoud van π !Inh = inhoud omwentelingslichaam.
Inh = Integraal(π*f(x)^2 dx) (haal π naar voren)
Inh = π * Integraal(f(x)^2 dx)
Integraal van f(x)^2 = Integraal van (1/x)^2 = Integraal van 1/(x^2).
stel g(x) = 1/x^2, dan is G(x) = -x^-1 = -1/x.
Dus:
π * [G(x)] van 1 tot ∞.
G(∞) = 0, G(1) = -1/1 = -1
π * ( (0) - (-1) ) = π * 1 = π
We zouden dus theoretisch dit omwentelingslichaam rechtop kunnen zetten, vullen met π liter (of dL, maar maakt niet zoveel uit nu) verf, onze schutting erin poten, en zo de schutting met oneindige oppervlakte verven met enkel π liter verf!
Gaat hier nu echt wat fout of lijkt het maar zo?
BVD, ben erg benieuwd naar de 'oplossing'
[ Voor 13% gewijzigd door user109731 op 13-03-2006 21:01 . Reden: foutje eruit gehaald :) ]