Wiskunde integraal-probleem

[user109731]

Dag Tweakers,

Mijn wiskunde leraar vertelde vandaag nogal 'iets vaags', waar hij zelf ook niet helemaal een verklaring voor wist volgens mij. Nu vraag ik me af of hier iemand is die dat wel weet?
Heb al wel geprobeerd zelf wat te zoeken en te rekenen, maar is nogal lastig, ook omdat ik niet weet waar ik op moet zoeken.

Hier komtie dan:

Ga uit van de functie f(x) = 1/x.
We hebben een schutting, zo groot als het gebied tussen de grafiek, de x-as, x = 1 en x = ∞.
We hebben dus een oneindig grote schutting (berekening kan ik wel uitwerken als het nodig is, maar ik denk dat dat wel duidelijk is). effe kort: F(x) = ln(x), ln(∞) - ln(1) = ∞ - 0 = ∞.

Vervolgens gaan we onze 'schutting' wentelen om de x-as en gaan de inhoud van dit omwentelingslichaam berekenen. In het volgende gedeelte bedoel ik met Integraal() de integraal van 1 tot ∞, beetje lastig om dat er telkens bij te zetten.

Inh = inhoud omwentelingslichaam.

Inh = Integraal(π*f(x)^2 dx) (haal π naar voren)
Inh = π * Integraal(f(x)^2 dx)

Integraal van f(x)^2 = Integraal van (1/x)^2 = Integraal van 1/(x^2).
stel g(x) = 1/x^2, dan is G(x) = -x^-1 = -1/x.

Dus:
π * [G(x)] van 1 tot ∞.
G(∞) = 0, G(1) = -1/1 = -1
π * ( (0) - (-1) ) = π * 1 = π

Dus, het omwentelingslichaam heeft een inhoud van π !

We zouden dus theoretisch dit omwentelingslichaam rechtop kunnen zetten, vullen met π liter (of dL, maar maakt niet zoveel uit nu) verf, onze schutting erin poten, en zo de schutting met oneindige oppervlakte verven met enkel π liter verf! .

Gaat hier nu echt wat fout of lijkt het maar zo?

BVD, ben erg benieuwd naar de 'oplossing'

[ Voor 13% gewijzigd door user109731 op 13-03-2006 21:01 . Reden: foutje eruit gehaald :) ]

[Opi]

stel g(x) = 2/x = x^-2

Wat je hier zegt klopt niet, wat je daarna wil zeggen is daarom moeilijk te verifieren.

[user109731]

Nogal stom van mij ja... maar iig bedankt voor de hulp, zal het proberen te fixen

[Varienaja]

Grote prutser schreef op maandag 13 maart 2006 @ 20:23:
Ga uit van de functie f(x) = 1/x.
We hebben een schutting, zo groot als het gebied tussen de grafiek, de x-as, x = 1 en x = ∞.
We hebben dus een oneindig grote schutting (berekening kan ik wel uitwerken als het nodig is, maar ik denk dat dat wel duidelijk is). effe kort: F(x) = ln(x), ln(∞) - ln(1) = ∞ - 0 = ∞.

Ik weet niet wat je hier uitrekent, maar de oppervlakte tussen de x-as en de kromme f(x) = 1/x van x=1 tot x=∞ is 1. Dat vervolgens de inhoud van het omwentelingslichaam Pi is, is dan niet raar meer.

[ Voor 9% gewijzigd door Varienaja op 13-03-2006 20:48 ]

[PHiXioN]

Opi schreef op maandag 13 maart 2006 @ 20:36:
[...]

Wat je hier zegt klopt niet, wat je daarna wil zeggen is daarom moeilijk te verifieren.

=2x^-1 en dat voor iemand die moeite heeft met wiskunde.

[user109731]

Sorry guys, ik had voor de inhoud 2πr gedaan ipv πr^2... nogal stom idd

Alles is nu aangepast, zo klopt het volgens mij.

[Harrie]

edit: hier stond onzin.

[ Voor 136% gewijzigd door Harrie op 13-03-2006 21:17 ]

[user109731]

Varienaja schreef op maandag 13 maart 2006 @ 20:48:
[...]

Ik weet niet wat je hier uitrekent, maar de oppervlakte tussen de x-as en de kromme f(x) = 1/x van x=1 tot x=∞ is 1. Dat vervolgens de inhoud van het omwentelingslichaam Pi is, is dan niet raar meer.

Hmm, als ik op mn rekenmachine de integraal van f(x) = 1/x voor 1 tot 30 uitreken zit ik al op > 3,4. 1/x blijft verder gewoon positief, dus die oppervlakte is iig groter dan 3,4.

Oppervlakte moet volgens m'n berekening ook oneindig zijn (al kan ik me voorstellen dat dat niet echt meer betrouwbaar overkomt na die domme fout van mij).

Bedankt iig voor het meedenken

[zandpaddo]

Varienaja schreef op maandag 13 maart 2006 @ 20:48:
[...]

Ik weet niet wat je hier uitrekent, maar de oppervlakte tussen de x-as en de kromme f(x) = 1/x van x=1 tot x=∞ is 1. Dat vervolgens de inhoud van het omwentelingslichaam Pi is, is dan niet raar meer.

Dit klopt idd niet. Oppervlakte is oneindig aangezien 1/x asymptotisch naar nul nadert. Deze wordt dus NOOIT exact nul waardoor de oppervlakte oneindig wordt.

Maar dan de oplossing of de verklaring

Letterlijk uit mijn Calculus boek van Adams pag 411 5e editie

Find the volume of the infinitely long horn that is generated by rotating the region bounded by y=1/x and y=0 and lying tot the right of x=1 about the x-axis. The horn is illustrated in Figure 7.6 (sorry staat wel int boek)

Solution:

The volume of the horn is

V=pi * int((1/x)^2,x,1,inf)= pi*lim(R->inf) int(1/x^2,x,1,R)

= -pi*lim(R->inf) 1/x (1,R)
= -pi* lim(R->inf) (1/R -1) = pi cubic units

It is interesting to note that this finite volume arises from rotating a region that itself has infinite area (int(1/x,x,0,inf)=inf). We have a paradox: it takes an infinite amount of paint to paint the region but only a finite amount to fill the horn obtained by rotating the region. (How can you resolve this paradox?)

[ Voor 43% gewijzigd door zandpaddo op 13-03-2006 21:34 ]

[eamelink]

Varienaja schreef op maandag 13 maart 2006 @ 20:48:
[...]

Ik weet niet wat je hier uitrekent, maar de oppervlakte tussen de x-as en de kromme f(x) = 1/x van x=1 tot x=∞ is 1. Dat vervolgens de inhoud van het omwentelingslichaam Pi is, is dan niet raar meer.

De oppervlakte van die kromme is niet 1, maar oneindig. De primitieve van 1/x is log x, dus de oppervlakte is log(oneindig) - log(1) = oneindig.

zandpaddo schreef op maandag 13 maart 2006 @ 21:20:
Dit klopt idd niet. Oppervlakte is oneindig aangezien 1/x asymptotisch naar nul nadert. Deze wordt dus NOOIT exact nul waardoor de oppervlakte oneindig wordt.

Je antwoord is juist, de verklaring niet. Ook voor 1/x^2 geldt dat hij asymptotisch naar nul nadert en nooit exact nul wordt, toch convergeert die integraal wél.

[Varienaja]

Grote prutser schreef op maandag 13 maart 2006 @ 21:14:
Hmm, als ik op mn rekenmachine de integraal van f(x) = 1/x voor 1 tot 30 uitreken zit ik al op > 3,4. 1/x blijft verder gewoon positief, dus die oppervlakte is iig groter dan 3,4.

Ik zit mezelf echt even kwaad te maken dat ik gewoon niet meer de regeltjes voor het uitrekenen van een oppervlakte paraat heb. Ik dacht echt dat ik het bij het rechte eind had (herinnering uit 5VWO), maar wellicht vergis ik me toch.

Ik weet in ieder geval dat de rij 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ... op 1 uit komt. De functie f(x) = 1/x ligt daar steeds ietsjes boven, dus ik vergis me echt.

[Confusion]

Grote prutser schreef op maandag 13 maart 2006 @ 20:23:
Gaat hier nu echt wat fout of lijkt het maar zo?

BVD, ben erg benieuwd naar de 'oplossing'

Waar het mis gaat is dat je de lengte van de x-as als oppervlakte beschouwd, maar dat klopt niet. De schutting mag dan oneindig lang zijn:de oppervlakte van het omwentelingslichaam convergeert net zo hard als zijn inhoud. Daarom is het niet verbazend dat je met Pi liter verf een oneindig lange schutting kan verven.

[ Voor 5% gewijzigd door Confusion op 13-03-2006 21:33 ]

[eamelink]

Varienaja schreef op maandag 13 maart 2006 @ 21:29:
[...]

Ik zit mezelf echt even kwaad te maken dat ik gewoon niet meer de regeltjes voor het uitrekenen van een oppervlakte paraat heb. Ik dacht echt dat ik het bij het rechte eind had (herinnering uit 5VWO), maar wellicht vergis ik me toch.

Ik weet in ieder geval dat de rij 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ... op 1 uit komt. De functie f(x) = 1/x ligt daar steeds ietsjes boven, dus ik vergis me echt.

De functie f(x) ligt vlak boven de (divergerende) reeks 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5

[user109731]

Confusion schreef op maandag 13 maart 2006 @ 21:30:
[...]

Waar het mis gaat is dat je de lengte van de x-as als oppervlakte beschouwd, maar dat klopt niet. De schutting mag dan oneindig lang zijn:de oppervlakte van het omwentelingslichaam convergeert net zo hard als zijn inhoud. Daarom is het niet verbazend dat je met Pi liter verf een oneindig lange schutting kan verven.

Dit snap ik niet helemaal, het gaat toch nergens over de oppervlakte van het omwentelingslichaam?

[Confusion]

Grote prutser schreef op maandag 13 maart 2006 @ 21:36:
Dit snap ik niet helemaal, het gaat toch nergens over de oppervlakte van het omwentelingslichaam?

Jij beweert dat de schutting een oneindige oppervlakte heeft. Maar het oppervlak onder de grafiek is niet het oppervlakte van de schutting. De oppervlakte onder de grafiek heeft helemaal geen fysische betekenis; het staat niet in enige betekenisvolle relatie tot de inhoud van het omwentelingslichaam.

[Dido]

Met een dimensie minder is dit helemaal niet zo moeilijk te bevatten.

Begin met een vierkant van 1x1, snij dat in tween en leg ze naast elkaar.

Repeat met het laatst toegevoegde stuk.

Dit levert een niet-continue versie van f(x)=1/x op. De opperlakte is 1 (per definitie), maar de oppervlakte wordt oneindig. Zelfde probleem, niet onlogisch.

Met verf in de hoorn: je smeert een beperkte hoeveelheid verf oneindig ver uit

[user109731]

Confusion schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:04:
[...]

Jij beweert dat de schutting een oneindige oppervlakte heeft. Maar het oppervlak onder de grafiek is niet het oppervlakte van de schutting. De oppervlakte onder de grafiek heeft helemaal geen fysische betekenis; het staat niet in enige betekenisvolle relatie tot de inhoud van het omwentelingslichaam.

Je kunt er niet omheen dat je in theorie een trechter hebt die een beperkte inhoud heeft waar iets met onbeperkte oppervlakte inpast.

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:17:
Met een dimensie minder is dit helemaal niet zo moeilijk te bevatten.

Begin met een vierkant van 1x1, snij dat in tween en leg ze naast elkaar.

Repeat met het laatst toegevoegde stuk.

Dit levert een niet-continue versie van f(x)=1/x op. De opperlakte is 1 (per definitie), maar de oppervlakte wordt oneindig. Zelfde probleem, niet onlogisch.

Met verf in de hoorn: je smeert een beperkte hoeveelheid verf oneindig ver uit

je krijgt dan de rij: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 = 1

[ Voor 36% gewijzigd door user109731 op 13-03-2006 22:32 ]

[Anoniem: 124325]

Grote prutser schreef op maandag 13 maart 2006 @ 21:36:
[...]

Dit snap ik niet helemaal, het gaat toch nergens over de oppervlakte van het omwentelingslichaam?

De eigenlijke vraag was het oplossen van de zogenaamde paradox:

It is interesting to note that this finite volume arises from rotating a region that itself has infinite area (int(1/x,x,0,inf)=inf). We have a paradox: it takes an infinite amount of paint to paint the region but only a finite amount to fill the horn obtained by rotating the region. (How can you resolve this zogenaamde paradox?)

In het voorafgaande is de paradox niet echt opgelost. Op zich is dit weer een vraagstuk waain de realiteit (het verven van een oppervlak) niet overeenkomt met de wiskundige oplossing voor de oneindig lange shutting.


De oplossing van het "paradox":

1) de lengte van de kromme is groter dan de lengthe van de x-as (welke oneindig lang is);
2) dus de omwenteling geeft een hoorn oppervlak dat nog veel groter is dan de kromme zelf;
3 Het volume van de hoorn is pi.

De vraag nu is: hoe kan een eindige hoeveelheid verf een oneindig groot oppervlak verven?

Het antwoord ligt niet in de wiskunde maar in het feit dat je in het antwoord moet veronderstellen dat de verf oneindig dun kan worden uitgesmeerd! De oneindigheid van het oppervlak manifesteerd zich in het puntje van de hoorn waar het volume van de "verf" zich tot nul dikte gaat uitsmeren.. . .dus een heel klein beetje verf van het totale volume pi kan een oneidig groot oppervlak in de punt van de hoorn bedekken. . .uiteraar is de dikte van die verflaag uiteindelijk nul. Met echte verf gaar dan uiteraard niet!

Maar het wiskundige vraagstuk kan nog leuker worden:

Stel dat de hoorn op het punt x=1 een 1 meter radius heeft. Het volume is dus pi m³. . .als je de hoorn met verf zou vullen zou je ongeveer 3142 kg verf nodig hebben (we nemen even aan dat het waterverf is ).

Nu moeten we bijvoorbeeld alleen de buitenkant van de hoorn verven. Het oppervlak is oneindig groot. Hoeveel verf is daarvoor nodig?

Het antwoordt is: Net zo weinig als je maar wilt

Het kan met 1 mm³ gedaan worden.
Het kan ook met 10^-100 mm³ gedaan worden

Met elke hoeveelheid "verf", ongeacht hoe klein maar groter dan nul, kan je over alle oneindig grote oppervlakten "uitsmeren".

Uiteindelijk is dit gerelateerd aan het antwoord op de vraag: Hoe dik is een oppervlak?

[ Voor 3% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 13-03-2006 22:37 ]

[Dido]

Grote prutser schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:31:
je krijgt dan de rij: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 = 1

Correct. Niet f(x)=1/x, inderdaad, maar 1/2^x

Anoniem: 124325 schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:31:
De eigenlijke vraag was het oplossen van de zogenaamde paradox:
[...]
Het antwoord ligt niet in de wiskunde maar in het feit dat je in het antwoord moet veronderstellen dat de verf oneindig dun kan worden uitgesmeerd!

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:17:
Met verf in de hoorn: je smeert een beperkte hoeveelheid verf oneindig ver uit

[Sendy]

Inderdaad. Het is ook gerelateerd aan het verdubbelde bollen probleem (al kan ik met die zoekterm geen link vinden).

Een andere leuk feitje is dat als je een balletje elastisch laat stuiteren op een oppervlakte (zonder wrijvingsverlies) dat dat balletje oneindig vaak stuitert in eindige tijd! Als die tijd verstreken is ligt de bal ook echt stil! (Dit is eenvoudig uit te rekenen en volgt uit het feit dat Som_i=1^i=\inf 1/(2^i) in de limiet 2 is.)

[ Voor 10% gewijzigd door Sendy op 13-03-2006 22:44 ]

[Anoniem: 124325]

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:36:

Met verf in de hoorn: je smeert een beperkte hoeveelheid verf oneindig ver uit

Mijn punt was dat juist dat dit soort verklaring(en) de paradox niet "oplost" omdat het in principe het zelfde is als het originele vraagstuk. Verf kan je niet oneindig ver uitsmeren. Het is nodig om de stap te maken dat de wiskundige "verf" oneindig dun moet worden uitgesmeerd!

[ Voor 6% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 13-03-2006 22:50 ]

[Dido]

Als ik verf in die hoorn gooi smeer ik het oneindig ver uit, maar niet (overal) oneindig dun

_{ik lees ook wel eens over een rectie heen, natuurlijk}

[Anoniem: 124325]

Sendy schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:42:
Inderdaad. Het is ook gerelateerd aan het verdubbelde bollen probleem (al kan ik met die zoekterm geen link vinden).

Een andere leuk feitje is dat als je een balletje elastisch laat stuiteren op een oppervlakte (zonder wrijvingsverlies) dat dat balletje oneindig vaak stuitert in eindige tijd! Als die tijd verstreken is ligt de bal ook echt stil! (Dit is eenvoudig uit te rekenen en volgt uit het feit dat Som_i=1^i=\inf 1/(2^i) in de limiet 2 is.)

Ik neem even aan dat dit niet een OT onderwerp is omdat het om het zelfde soort vraagstukken gaat.

1) Kan je het bollenvraagstuk verder beschrijven?

2) Het lijkt er op dat je met het stuiteren van de bal een complexe oplossing gegeven hebt. Ik heb deze oplossing niet eerder gezien. Het lijkt mij dat het een oplossing is waarin de stuiterhoogte zich als een spiraal in het complexe vlak naar nul gaat (met daamee ook de tijd tot "stilstand" naar eindig gaat) terwijl het aantal stuitercyclussen de oneindige rotatie van de complexe vector is. Met complexe functies zie je dergelijke spiralen wel vaker.


Met de reele oplossing en zonder energieverlies bij het stuiteren volgt dat

...de bedoelde tekst ging op een of ander manier verloren

Ik bedoelde te zeggen dat in de reeele oplossing de ball uiteraard oneindig lang door stuitert. Met de complexe oplossing moet een "complexe ball" bedacht worden!

[ Voor 10% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 13-03-2006 23:25 ]

[user109731]

@ een aantal posts hierboven: Je kunt er toch niet omheen dat je in theorie een trechter hebt die een beperkte inhoud heeft waar iets met onbeperkte oppervlakte inpast?

[Dido]

Grote prutser schreef op maandag 13 maart 2006 @ 23:05:
@ een aantal posts hierboven: Je kunt er toch niet omheen dat je in theorie een trechter hebt die een beperkte inhoud heeft waar iets met onbeperkte oppervlakte inpast?

En dat is met het oneindig ver - en uiteindelijk oneindig dun - uitsmeren van je verf dan toch ook opgelost?

Neem in plaats van mijn vierkant een kubus. Snij die in tweeen, plak de helften in de lente aan elkaar. Herhaal dat met een halve kubus, vervolgens steeds met het laats toegevoegde stuk. Inhoud blijft 1, oppervlakte van je lichaam, alsmede van iedere vlakke doorsnede in de lengterichting, wordt oneindig.

offtopic:
Als je dit soort paradoxen leuk vindt, zoek een wat op over fractals en strange attractors. De Lorenz-attractor is een oneindige kromme in een eindige ruimte die zichezelf nooit snijdt. (En nog wat andere leuke eigenschappen heeft, maar dat terzijde).

[Anoniem: 124325]

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:53:
Als ik verf in die hoorn gooi smeer ik het oneindig ver uit, maar niet (overal) oneindig dun

_{ik lees ook wel eens over een rectie heen, natuurlijk}

Precies!

Het interesante van dit wiskunde vraagstuk is dat je met eindige hoveelheid "verf" aan de buitenkant van de logaritmische hoorn de "verflaag" op postitie x=1 met een willekeurig grote verfdikte kan beginnen en het nog steeds over het oneindig grote oppervlak naar x---> oneindig kan uitsmeren.

Met wiskunde kunnen we allerlei paradoxen tevoorschijn toveren. Het scheve toren vraagstuk uit de NWQ was daar een voorbeeld van.

[Dido]

I'll see your scheve toren and raise you by a zak met rode en witte ballen

[Anoniem: 124325]

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 23:11:
[over paradoxen. . .]

offtopic:
Als je dit soort paradoxen leuk vindt, zoek een wat op over fractals en strange attractors. De Lorenz-attractor is een oneindige kromme in een eindige ruimte die zichezelf nooit snijdt. (En nog wat andere leuke eigenschappen heeft, maar dat terzijde).

Nu ga ik moeilijk doen

Als je een wiskunde vergelijking oplost c.q. de implicaties van een wiskundige stelling beschouwd zijn er geen paradoxen. Tenminste niet met pseudo paradoxen zoals de oplossing met de oneindige dunne verflaag op de logaritmische hoorn.

Ik kan me herinneren dat er "problemen" bestaan (die misschien als paradoxen beschouwd kunnen worden) met wiskundige concepten welke o.a. door Bertrand Russel en Godel zijn geformuleerd. Ik ben op dat gebied over de jaren helemaal vastgeroest. Misschien zit ik hier wel fout.

Bestaan er echte wiskundge paradoxen? Ik bedoel oplossingen welke de uitgangspunten tegenspreken?

Ik bedoel niet voorbeelden zodat dat er voor een bepaalde stelling geen oplossing betaat maar dat een consequent uitgewerkte oplossing stelt dat de input a als niet a er uit komt.

[Anoniem: 124325]

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 23:26:
I'll see your scheve toren and raise you by a zak met rode en witte ballen

???? Anyway

[ Voor 5% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 13-03-2006 23:51 ]

[Sendy]

Anoniem: 124325 schreef op maandag 13 maart 2006 @ 23:03:
[...]
1) Kan je het bollenvraagstuk verder beschrijven?

Dat ging ongeveer als volgt (ik geloof dat het wel op GoT is langsgekomen):
Neem een bol. Hak deze in hele kleine deeltjes op. In de limiet kan je nu van één zo'n deeltje twee deeltjes maken. (Want de limiet van zo'n deeltje gaat naar 0, en 0 + 0 is 0) Nu, als je de deeltjes goed kiest hou je twee bollen over, en heeft er dus een wiskundige verdubbeling plaatsgevonden.

Ik heb weleens een mooie link ervan gehad, misschien kent een andere GoTter deze nog?

Jouw verhaal over het stuiterende balletje kan ik niet goed volgen Wat ik me kan herinneren was het gewoon een stuiterende bal in een een dimensionale ruimte. Bij elke stuit raakt de bal een deel aan energie kwijt. Na een beetje rekenen blijkt de tijd tussen twee stuiters volgens 1/2^i te bewegen, dús stuitert-ie in constante tijd oneindig vaak.

edit:
Dat stuiter verhaal kan ik ook wel helemaal verkeerd hebben. Het is alweer ettelijke jaren geleden dat ik het berekende (en dan nog bij een saai vak)

Van die bollen kan ik echt geen geschikte zoekterm vinden..

[ Voor 13% gewijzigd door Sendy op 14-03-2006 00:03 ]

[Anoniem: 124325]

Sendy schreef op maandag 13 maart 2006 @ 23:53:
[...]

Dat ging ongeveer als volgt (ik geloof dat het wel op GoT is langsgekomen):
Neem een bol. Hak deze in hele kleine deeltjes op. In de limiet kan je nu van één zo'n deeltje twee deeltjes maken. (Want de limiet van zo'n deeltje gaat naar 0, en 0 + 0 is 0) Nu, als je de deeltjes goed kiest hou je twee bollen over, en heeft er dus een wiskundige verdubbeling plaatsgevonden.

Ik heb weleens een mooie link ervan gehad, misschien kent een andere GoTter deze nog?

Jouw verhaal over het stuiterende balletje kan ik niet goed volgen Wat ik me kan herinneren was het gewoon een stuiterende bal in een een dimensionale ruimte. Bij elke stuit raakt de bal een deel aan energie kwijt. Na een beetje rekenen blijkt de tijd tussen twee stuiters volgens 1/2^i te bewegen, dús stuitert-ie in constante tijd oneindig vaak.

edit:
Dat stuiter verhaal kan ik ook wel helemaal verkeerd hebben. Het is alweer ettelijke jaren geleden dat ik het berekende (en dan nog bij een saai vak)

Van die bollen kan ik echt geen geschikte zoekterm vinden..

1) De formulering van het bollen-probleem zie ik niet direct. Het verdelen van de (wiskundige) bol in een oneindig aantal stukes houdt in dat het volume van de stukjes gelijk blijft aan het volume van de originele bol. Wel kan ik bedenken dat de stukjes een vorm zouden hebben zodat als je ze bij elkaar zou gooien ze een dubbel volume zouden hebben. Voila! Twee bollen met tussen de stukes lege ruimte. Ik ga zelf een beetje er naar zoeken.

In de chemie gebruikt men stukjes "vulmiddel" in distilatie kolommen welke een ruimtelijk volume hebben dat ongeveer 5x groter is dan het eigen volume. . .op deze manier kan je ook stukjes maken die 2x zo veel ruimte opnemen als waar ze uit gesneden zouden zijn.

2) Aanvankelijk stelde je dat de elastische bal stuiterde zonder wrijving. Dit houdt in dat er geen energieverlies is en dan stuiterd de ball elke keer even hoog.. . .geen eindige tijd.

Als je wel energieverlies aanneemt dan moet je aan de vorm van het energieverlies een bepaalde functie hangen om aan de stelling van oneindig vaak stuiteren in eindige tijd te voldoen.
Zonder dit in feite met "reverse engineering" uit te rekenen stel ik dat het energieverlies per stuit een ongeveer negative exponentiele functie moet zijn. . . of misschien een hyperbool functie

Amplitude = Ae^-x. . .

Amplitude = A/x voor x=0 tot x---> oneindig. . .

of misschien

Amplitude = A/x voor x=1 tot x---> oneindig. . .

(de tijd uitrekenen)

met A de originele valhoogte en x het aantal stuitjes.

Ik ga er even aan rekenen.

[Confusion]

Anoniem: 124325 schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:31:
Met echte verf gaar dan uiteraard niet!

Dat vind ik niet echt een oplossing, want als we voor het gemak even zeggen dat de kleinste verfmolecuul 10^-9 m is, dan kan je de schutting toch zeker t/m x=10⁹ m vullen. Bovendien hebben we het over vullen, dus wordt er niets oneindig dun uitgesmeerd. Als je het zou uitsmeren, zou je er een nog veel grotere schutting mee kunnen verven.

[eamelink]

Confusion schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 06:34:
[...]

Dat vind ik niet echt een oplossing, want als we voor het gemak even zeggen dat de kleinste verfmolecuul 10^-9 m is, dan kan je de schutting toch zeker t/m x=10⁹ m vullen. Bovendien hebben we het over vullen, dus wordt er niets oneindig dun uitgesmeerd. Als je het zou uitsmeren, zou je er een nog veel grotere schutting mee kunnen verven.

Nee, doordat het volume per meter kwadratisch naar beneden gaat, en de oppervlakte slechts omgekeerd evenredig zal er altijd een bepaald punt komen waarop het volume in die meter lengte en de verf die er in zit té weinig is om een vooraf bepaalde laagdikte te bewerkstelligen.

En dan maakt het niet uit of je als laagdikte 0,1mm, 1um of een miljoenste bohstraal, uiteindelijk blijf je er altijd mee zitten dat je volume sneller afneemt dan je oppervlak.

[Confusion]

eamelink schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 08:42:
uiteindelijk blijf je er altijd mee zitten dat je volume sneller afneemt dan je oppervlak.

Dat waag ik te betwijfelen. Volgens mij nemen ze voor de limiet x->oneindig allebei als ln(x) toe en is hun verhouding 1, maar over die integraal voor dat omwentelingslichaam ben ik niet helemaal zeker.

[ Voor 12% gewijzigd door Confusion op 14-03-2006 08:46 ]

[Anoniem: 124325]

Confusion schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 08:45:
[...]

Dat waag ik te betwijfelen. Volgens mij nemen ze voor de limiet x->oneindig allebei als ln(x) toe en is hun verhouding 1, maar over die integraal voor dat omwentelingslichaam ben ik niet helemaal zeker.

Vergeet niet dat we hier over een vergelijking hebben tussen de werkelijkheid en de theoretische oplossing. Echte verf krijg je nooit helemaal in het oneindig lange puntje van de hoorn. . . .er blijft altijd een volume over waard de verf uberhaupt niet kan komen.

Waar het om gaat is het voorbeeld met de verf aan de buitenkant. Een klein "druppeltje wiskundige verf" kan een willekeurig oneindig groot oppervlak bedekken. Echte verf kan dat niet en hiermede is er geen paradox.

Daar gaat het om!

[Dido]

Anoniem: 124325 schreef op maandag 13 maart 2006 @ 23:44:
Nu ga ik moeilijk doen

Als je een wiskunde vergelijking oplost c.q. de implicaties van een wiskundige stelling beschouwd zijn er geen paradoxen. Tenminste niet met pseudo paradoxen zoals de oplossing met de oneindige dunne verflaag op de logaritmische hoorn.

Ik kan me herinneren dat er "problemen" bestaan (die misschien als paradoxen beschouwd kunnen worden) met wiskundige concepten welke o.a. door Bertrand Russel en Godel zijn geformuleerd. Ik ben op dat gebied over de jaren helemaal vastgeroest. Misschien zit ik hier wel fout.

Bestaan er echte wiskundge paradoxen? Ik bedoel oplossingen welke de uitgangspunten tegenspreken?

Voor zover mij bekend niet, maar er zijn genoeg "mind-boggling" situaties die, ondanks dat ze wiskunig verklaarbaar en logisch zijn, tot schijnbare onmogelijkheiden leiden.

Op zich is een oneindig lange kromme in een eindige ruimte wiskundig niet zo'n probleem, omdat die kromme op zich 1-dimensionaal is (hoewel attractors eigenlijk gebroken dimensies hebben - let's not go there). Maar omdat het ding lijkt op een bol wol wordt het moeilijk voorstelbaar dat je een oneindig lange "draad" in een eindige ruimte oprolt.
Dit ding dus


Nog een leuke is het gebruik van Newton's methode om n-de machtwortels van complexe getallen te vinden. Afhankelijk van je schatting kom je op 1 van de n uitkomsten. Geef de schatting de kleur van de uitkomst en je verdeelt het vlak in n kleuren. Dat is niet zo heel gek.

Er staat me echter iets van bij dat ieder grenspunt tussen twee kleuren grenst aan alle kleuren. Dat is iets moeilijker te bevatten.

offtopic:
@ hieronder: da's nou "seasonal maths"

[Anoniem: 51637]

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 23:11:
[...]

[...], plak de helften in de lente aan elkaar[...]

offtopic:
Liever in de winter

[Zoijar]

Anoniem: 124325 schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 01:26:
1) De formulering van het bollen-probleem zie ik niet direct. Het verdelen van de (wiskundige) bol in een oneindig aantal stukes houdt in dat het volume van de stukjes gelijk blijft aan het volume van de originele bol. Wel kan ik bedenken dat de stukjes een vorm zouden hebben zodat als je ze bij elkaar zou gooien ze een dubbel volume zouden hebben. Voila! Twee bollen met tussen de stukes lege ruimte. Ik ga zelf een beetje er naar zoeken.

Dat is de Banach-Tarsky paradox.

Een van de meest... complexe, vreemde, en minst begrepen onderdelen van de wiskunde vandaag de dag. Het hangt fundamenteel samen met het keuze axioma. Het is dus zelfs nog raarder dan jij stelt: de bol wordt verdeeld in een _eindig_ aantal stukjes.

A few pure mathematicians and many applied mathematicians (including, e.g., some mathematical physicists) are uncomfortable with the Axiom of Choice. Although AC simplifies some parts of mathematics, it also yields some results that are unrelated to, or perhaps even contrary to, everyday "ordinary" experience; it implies the existence of some rather bizarre, counterintuitive objects. Perhaps the most bizarre is the Banach-Tarski Paradox: It is possible to take the 3-dimensional closed unit ball,

B = {(x,y,z) Î R3 : x2 + y2 + z2 < 1}
and partition it into finitely many pieces, and move those pieces in rigid motions (i.e., rotations and translations, with pieces permitted to move through one another) and reassemble them to form two copies of B.
At first glance, the Banach-Tarski result seems to contradict some of our intuition about physics -- e.g., the Law of Conservation of Mass, from classical Newtonian physics. If we assume that the ball has a uniform density, then the Banach-Tarski Paradox seems to say that we can disassemble a one-kilogram ball into pieces and rearrange them to get two one-kilogram balls. But actually, the contradiction can be explained away: Only a set with a defined volume can have a defined mass. A "volume" can be defined for many subsets of R3 --- spheres, cubes, cones, icosahedrons, etc. --- and in fact a "volume" can be defined for nearly any subset of R3 that we can think of. This leads beginners to expect that the notion of "volume" is applicable to every subset of R3. But it's not. In particular, the pieces in the Banach-Tarski decomposition are sets whose volumes cannot be defined.

Axiom of Choice. Let C be a collection of nonempty sets. Then we can choose a member from each set in that collection.

Klinkt logisch toch? Duidelijk waar? hehe Die quote is ook zo mooi, dat je voor het kiezen uit een oneindige set sokken het AC nodig hebt, maar voor schoenen niet (je kiest immers dan gewoon steeds de linker schoen! No such luck bij sokken)

[ Voor 17% gewijzigd door Zoijar op 14-03-2006 11:07 ]

[boner]

eamelink schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 08:42:
[...]


Nee, doordat het volume per meter kwadratisch naar beneden gaat, en de oppervlakte slechts omgekeerd evenredig zal er altijd een bepaald punt komen waarop het volume in die meter lengte en de verf die er in zit té weinig is om een vooraf bepaalde laagdikte te bewerkstelligen.

En dan maakt het niet uit of je als laagdikte 0,1mm, 1um of een miljoenste bohstraal, uiteindelijk blijf je er altijd mee zitten dat je volume sneller afneemt dan je oppervlak.

sterker nog. Als je het roteert rond de y-as, of de x-as maakt niet uit he, heb je al een probleem. Daar heb je namelijk de tweede limiet. Oftwel als je dichterbij de as zit dan de dikte van een atoom verf (als verf uit atomen zou bestaan maar het gaat om het principe) heb je al een groot probleem. Er zouden er oneindig veel langs je as moeten zitten om deze te verven maar die passen er niet in omdat de breedte (of dikte) van je omwentelingslichaam geen atomen kan bevatten.

[Anoniem: 8386]

Zoijar schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 11:00:
[...]

Dat is de Banach-Tarsky paradox.

Een van de meest... complexe, vreemde, en minst begrepen onderdelen van de wiskunde vandaag de dag. Het hangt fundamenteel samen met het keuze axioma. Het is dus zelfs nog raarder dan jij stelt: de bol wordt verdeeld in een _eindig_ aantal stukjes.


[...]


[...]

Klinkt logisch toch? Duidelijk waar? hehe Die quote is ook zo mooi, dat je voor het kiezen uit een oneindige set sokken het AC nodig hebt, maar voor schoenen niet (je kiest immers dan gewoon steeds de linker schoen! No such luck bij sokken)

Voor de geintresseerden, hier een linkje naar een artikel in de Scoop, het blad van de NSA (studie vereniging natuur-, ster- en wikunde van de UvA.)

Het keuzeaxioma impliceert nog meer onwaarschijnlijke resultaten zoals het well-ordeningsprincipe (je kan elke verzameling een ordening geven zodat elke deel verzameling altijd een kleinste element heeft.).

Anderzijds is het ook equivalent aan stellingen die evident lijken zoals dat het product van een collectie niet lege verzameling zelf ook niet leeg is.

[Anoniem: 124325]

Dido schreef op maandag 13 maart 2006 @ 22:17:
Met een dimensie minder is dit helemaal niet zo moeilijk te bevatten.

Begin met een vierkant van 1x1, snij dat in tween en leg ze naast elkaar.

Repeat met het laatst toegevoegde stuk.

Dit levert een niet-continue versie van f(x)=1/x op. De opperlakte is 1 (per definitie), maar de oppervlakte wordt oneindig. Zelfde probleem, niet onlogisch. . .

Dit is niet correct. Het oppervlak is per definitie 1. Door het vierkant in stukjes te snijden en op een bepaalde manier de stukjes op een rij te leggen blijft het oppervlakte 1. . . daar is niet aan te tornen. . .je kan het vierkant op elke willekeurige manier in stukles snijden en deze op een willekeurige manier op een rijtje leggen.. . .door een cirkelvormig oppervlak in stukjes te snijden kan je er ook een vierkant van maken: A=pi*r² en dat blijft zo. . .de omtrek wordt wel groter!

De kromme F(x) = 1/x van x=1 to x= ∞ is een geheel andere curve dan die je voorstelt. In eerste instantie begint de niet-continu stappen-functie met y=1/2 van x=0 tot x=1, met vervolg

y=1/4 van x=1 tot x=2
y=1/8 van x=2 tot x=3 etc etc.. . .

met het uiteindelijke oppervlak eenvoudigweg de Som van de oppervlakte van de stukjes. . . .dat is de som van de serie 1/2+1/4+1/8+1/16. . . . De figuur zelf wordt uiteraard oneindig lang. . . .en de omtrek van de figuur ook.

Ook stel ik dat als je dit met de kromme f(x) = 1/2*1/x niet kan vergelijken. Het oppervlak onder deze kromme is ook oneindig. . .de helft van oneindig is ook oneindig.

Het antwoordt is nogal eenvoudig: door een oppervlak in stukken te snijden wordt het niet groter.

Misschien bedoelde je iets anders?

PS: Ik zie dat je dit voorbeeld later met een kubus herhaalt. Daar klopt het wel dat de oppervlakte van de kubus oneindig wordt.

[ Voor 5% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 15-03-2006 19:13 ]

[eamelink]

Confusion schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 08:45:
[...]

Dat waag ik te betwijfelen. Volgens mij nemen ze voor de limiet x->oneindig allebei als ln(x) toe en is hun verhouding 1, maar over die integraal voor dat omwentelingslichaam ben ik niet helemaal zeker.

De limiet voor x->oneindig voor het oppervlak gaat inderdaad als ln(x), want de primitieve van 1/x = ln(x). Maar het omwentelingslichaam heeft als functie pi * integraal van f(x)^2, met als primitieve pi * -1/x .

De orde van het oppervlak en het volume zijn dus niet gelijk

[MSalters]

Overigens heb ik de oplossing nog niet voorbij zien komen? Die is overigens triviaal: De oppervlakte onder de grafiek is weliswaar oneindig, maar het deel op afstand > x van de oorsprong blijft eindig, ook als x -> 0.
Simpel gezegd: het f(x)=oneindig probleem zit bij x=0, en het x=0 draagt niet bij aan de inhoud van het omwentelingslichaam.

[Anoniem: 124325]

Dido schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 09:36:
[...]

Voor zover mij bekend niet, maar er zijn genoeg "mind-boggling" situaties die, ondanks dat ze wiskunig verklaarbaar en logisch zijn, tot schijnbare onmogelijkheiden leiden.

Akkoord! Het sleutel woordt is dus "schijnbaar onmogelijk".
Dat gebeurdt vaak, zoals we weten van scheve torens en verf in een hoorn!

Op zich is een oneindig lange kromme in een eindige ruimte wiskundig niet zo'n probleem, omdat die kromme op zich 1-dimensionaal is (hoewel attractors eigenlijk gebroken dimensies hebben - let's not go there). Maar omdat het ding lijkt op een bol wol wordt het moeilijk voorstelbaar dat je een oneindig lange "draad" in een eindige ruimte oprolt.
Dit ding dus
[afbeelding]

Prachtige figuur. Ik heb dit enige jaren in een animatie gezien met kleuren. . .na verloop van tijd werd de begrenzing van het domein op het scherm volledig gevuld met kleur en kon je de lijn niet meer zien. Zoals je al zei is dit wiskundig geen enkel probleem. Het heeft precies de zelfde fundamentele bron als het feit dat tussen het getal 0 en N er een oneindig aantal andere getallen geplaatst kunnen worden. . .ongeacht hoe klein je N maakt. . . .de 1-dimensionale lijn uit het voorbeeld neemt geen ruimte in. . . .zo, je kan dit voorbeeld laten zien (defineren) en dan stellen:

Als de lijn in de gedefinieerde 3-dimensionale ruimte naar oneindige lengte neigt dan is het volledige volume van die ruimte nog beschikbaar om er er andere lijnen in te plaatsen.

[Confusion]

MSalters schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 19:28:
x=0 draagt niet bij aan de inhoud van het omwentelingslichaam.

Als je pakweg de functie f(x)=5-x zou nemen en de inhoud van het omwentelingslichaam om de x-as van die lijn zou uitrekenen, dan zeg je ook niet dat x=0 niet bijdraagt aan de inhoud. Of je zegt dat ook x=0,1 en x=0,4245 niet bijdragen aan de inhoud, maar dat is wiskundig mierenneuken. De inhoud van het omwentelingslichaam van 1/x is eindig, inclusief het infinitesimale integraalelement rond x=0.

[ Voor 11% gewijzigd door Confusion op 15-03-2006 19:52 ]

[Anoniem: 124325]

Zoijar schreef op dinsdag 14 maart 2006 @ 11:00:
[...]

Dat is de Banach-Tarsky paradox.

Een van de meest... complexe, vreemde, en minst begrepen onderdelen van de wiskunde vandaag de dag. Het hangt fundamenteel samen met het keuze axioma. Het is dus zelfs nog raarder dan jij stelt: de bol wordt verdeeld in een _eindig_ aantal stukjes.

[Verklarende Engelse tekst dat: 1=2]

Klinkt logisch toch? Duidelijk waar? hehe Die quote is ook zo mooi, dat je voor het kiezen uit een oneindige set sokken het AC nodig hebt, maar voor schoenen niet (je kiest immers dan gewoon steeds de linker schoen! No such luck bij sokken)

On de waarheid maar even te laten zegevieren. . .ik snap geen bal van die Banach-Tarsky ballen. Die wiskunde vliegt over mijn petje heen.

Even terug. . .de Definitie van de 3-D bol stelt dat

R1: x²+y²+z²<1

Dat lijkt me vreemd. Het gehele probleem zou dus ook waar moeten zijn voor

R2: x²+y²+z²=0,99999

Deze bal R2 is gewoon een beetje kleiner dan R1 en ik kan dat een subset van R1 noemen. . .toch?
Deze subset heeft wel een gedefineerd volume en dus. . . . . .zoals ik al zei. . . ik snap er geen bal van.

Dat gebeurt wel eens!

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 17:36:
[...]


Voor de geintresseerden, hier een linkje naar een artikel in de Scoop, het blad van de NSA (studie vereniging natuur-, ster- en wikunde van de UvA.)

Nu snap ik het eindelijk.
Het Banach-Tarsky Probleem 1=2 is volledig in de werkelijkheid uitgevoerd. Elke CEO van een groot bedrijf gebruikt een Banach-Tarsky Transformatie voor het vaststellen van zijn salaris.

[Anoniem: 124325]

Confusion schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 19:51:
[...]

De inhoud van het omwentelingslichaam van 1/x is eindig, inclusief het infinitesimale integraalelement rond x=0.

Wat bedoel je met: "inclusief het infinitesimale integraalelement rond x=0" ?

Het infinitesimale volume van de trechter rond x=0 is zeker niet eindig!


De kromme f(x) is een symmetrische hyperbool. Het oppervlak onder de kromme is uiteraard oneindig omdat het uit 3 delen bestaat

(1) het deel ln(x), wat bij definitie het oppervlak is van x=1 tot x----> ∞
(2) het deel van y=1 tot y----> ∞ . . . .het speigelbeeld van (1)
(3) het vierkant 1x1=1 tussen de twee logaritmische oppervlakten

Het oppervlak onder de kromme is dus

A =2*ln(x)+1 van x=0 tot x----> ∞

Nu gaan we het gehele oppervlak omwentelen om de x-as. Het deel tussen x=0 en x=1 genereert een ∞-groot volume omdat de straal van het element dV oneindig groot is op x=0.

V= integraal van pi*(1/x)²dx = -1/x van x=0 tot x=1

V= -1/1 - 1/(x---->∞) -------->∞

De "trechter" welke door de omwenteling wordt gevormd heeft een oneindig groot voloume als je maar de omwenteling op x=0 begint.

[Confusion]

Anoniem: 124325 schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 21:00:
Het infinitesimale volume van de trechter rond x=0 is zeker niet eindig!

Het volume van de totale trechter, zoals beschreven in de topicstart, is eindig. Dan kan het dus niet zo zijn dat een 3-D deelobject van die trechter een oneindige inhoud heeft. Dat heeft met iets als het oppervlak onder de grafiek, juist een voorbeeld van iets dat hier geen fysische betekenis heeft, niets te maken. Waarom je het deel van y=1 tot y -> oneindig erbij haalt is me helemaal een raadsel, aangezien we het de hele tijd al over de trechter van x=1 tot x-> oneindig hebben.

[ Voor 17% gewijzigd door Confusion op 15-03-2006 21:13 ]

[Anoniem: 124325]

MSalters schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 19:28:
Overigens heb ik de oplossing nog niet voorbij zien komen? Die is overigens triviaal: De oppervlakte onder de grafiek is weliswaar oneindig, maar het deel op afstand > x van de oorsprong blijft eindig, ook als x -> 0.
Simpel gezegd: het f(x)=oneindig probleem zit bij x=0, en het x=0 draagt niet bij aan de inhoud van het omwentelingslichaam.

Zoals Confusion al opmerkte is je conclusie onjuist. Maar feitelijk gaat het hierom: het oneindige deel van het oppervklak onder de betreffende kromme van x=1 tot x----> ∞ zit er ook voor x>1!

Onder de kromme van 1/x voor x=N tot x----->∞ zit altijd een oneindig groot oppervlak. . .ongeacht hoe groot je "N" maakt

Trouwens, de "oplossing" van het vraagstuk is reeds eerder langs gekomen: Een oplossing is niet nodig omdat er geen paradox is: gewoon de berichten hierboven allemaal even lezen

[ Voor 8% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 15-03-2006 21:17 ]

[Anoniem: 124325]

Confusion schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 21:11:
[...]

Het volume van de totale trechter, zoals beschreven in de topicstart, is eindig. Dan kan het dus niet zo zijn dat een 3-D deelobject van die trechter een oneindige inhoud heeft. Dat heeft met iets als het oppervlak onder de grafiek, juist een voorbeeld van iets dat hier geen fysische betekenis heeft, niets te maken. Waarom je het deel van y=1 tot y -> oneindig erbij haalt is me helemaal een raadsel, aangezien we het de hele tijd al over de trechter van x=1 tot x-> oneindig hebben.

Ik reageerde op jou woorden:

[b]

Confusion schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 19:51:[/b]
[...]

De inhoud van het omwentelingslichaam van 1/x is eindig, inclusief het infinitesimale integraalelement rond x=0.

Misschien heb ik je verkeerd begrepen: As het punt x=0 er niets mee te maken heeft begrijp ik niet waarom je het noemt. Ik lees uit je woorden dat het integraal element rond x=0 een volume element is van de omwenteling van 1/x. . .en zo ja. . . dan is dat juist het element dat het volume van de omwenteling van de kromme oneindig groot maakt terwijl jij stelt dat het eindig is.

Ik vermoed dat de confusion ( ) onstaan is vanwege dat er misschien een aanname is gemaakt dat de omwenteling van de kromme van x=0 tot x=1 ook een eindig volume genereert.

Waarom je het deel van y=1 tot y -> oneindig erbij haalt is me helemaal een raadsel, aangezien we het de hele tijd al over de trechter van x=1 tot x-> oneindig hebben.

Heel eenvoudig: de kromme van 1/x is symmetrisch met de lijn y=x en het deel van het oppervlak onder de kromme van x=1 tot x----> ∞ is gelijk aan het deel van y=1 tot y----> ∞

Ik haalde dit aan omdat het omwentelen van dat deel tussen x=0 en x=1 een oneindig volume tot resultaat heeft.

Als je iets anders in gedachten had hoor ik het wel

[Zoijar]

Anoniem: 124325 schreef op woensdag 15 maart 2006 @ 19:59:
On de waarheid maar even te laten zegevieren. . .ik snap geen bal van die Banach-Tarsky ballen. Die wiskunde vliegt over mijn petje heen.

Dat gebeurt wel eens!

Oh, mij ook. Zo ver ben ik nooit gekomen met mijn studie.... tot mijn uiterst grote spijt Ik wil het ooit nog opnieuw doen. Anyway, ik snap wel waar het over gaat, maar de exacte details kan ik je ook niet verder uitleggen...nooit verder dan banach's dekpunt stelling gekomen

[Diadem]

[edit]
Laat maar, ik had de vraag fout gelezen

[ Voor 100% gewijzigd door Diadem op 16-03-2006 23:37 ]