Formules laten berekenen

[Tjeerd]

Ok, ik heb geen flauw idee hoe ik dit moet gaan uitleggen, maar toch zal ik maar een poging doen.

Simpel gezegd zijn wetenschappers in staat om nieuwe formules uit te denken op papier die dan vervolgens in de praktijk kunnen worden gebruikt/getest om te kijken of de formule nog klopt ook. Ik ben zelf sowieso geen grote held in wiskunde, dus voor mij is het op zich al een raadsel hoe je bijv. een populaire formule zoals e=mc^2 kunt bedenken. Hoe komt een wetenschapper of iemand tot het inzicht dat een bepaalde formule 'werkt'. Tja, door veel beredeneren lijkt me en door veel proberen en gebruik maken van de kennis die je al hebt als wiskundige.

Stel dat een nieuwe formule voor iets bedenken als het ware een kwestie is van het proberen van verschillende operatoren (vermenigvuldigen, delen, optellen/aftrekken enzovoorts). Je zult wel eerst moeten weten wat je wil bereiken met de formule natuurlijk, maar als je zeg maar een soort van 'gebied' hebt afgebakend van variabelen die zeker te weten nodig zijn voor de formule. Is het dan niet mogelijk om gewoon een computer domweg (met een op zich slim algoritme) de formule op allerlei manieren te vormen.

Stel: je weet de lengtes van de zijden van een driehoek, vervolgens zeg je tegen de computer dat hij een wortel, een plus/min een kwadraat mag gebruiken -- en eventueel nog meer wiskundige operatoren. Je voert ook de waarden (lengtes) in. Nu laat je de computer gewoon experimenteren met de formule net zo lang tot hij zoveel met de operatoren heeft geschudt totdat hij erachter komt dat als je twee zijden (2 waarden) er in gooit, dat dan de andere laatste zijde op een gegeven moment met een formule kan worden berekend en dat de uitkomst klopt. (a^2 + b^2 = c^2).

Het komt er dus op neer dat je iets weet/meet, maar dat je niet weet hoe je tot de formule moet komen en dus in plaats van zelf alle mogelijke optellingen/delingen/enzovoorts probeert dat je de computer dat gewoon heel dom laat proberen.

Misschien slaat dit hele idee nergens op of ben ik niet duidelijk genoeg, maar ik vroeg het me gewoon af

[ Voor 5% gewijzigd door Tjeerd op 15-02-2006 15:26 ]

[Gerco]

Volgens mij gaat het anders in zijn werk..

Een wetenschapper ontdekt dat er een verband bestaat tussen 2 of meer dingen, zoals bijvoorbeeld de zijden van een rechthoekige driehoek. Dan gaat hij proberen om dit verband te begrijpen en zodra hij weet hoe die dingen precies tot elkaar in verhouding staan, schrijft hij dat op in de vorm van een formule.

Een formule is niets anders dan een manier van noteren hoe bepaalde dingen van elkaar afhangen, het lijkt me niet dat je dat een computer kan laten uitrekenen tenzij je vantevoren de vorm van de uitkomst al kent (je kan de computer wel constanten laten invullen, maar een heel nieuw verband uitrekenen lijkt me wat onhandig).

[ Voor 11% gewijzigd door Gerco op 15-02-2006 15:28 ]

[Varienaja]

Het bedenken van formule's is een creatief proces. Ik denk niet dat je dat gemodelleerd krijgt met computers.

Onderzoekers formuleren doorgaans eerst een hypothese, zoals "De afstand die ik kan fietsen hangt af van de hoeveelheid boterhammen met pindakaas die ik eet."

Na veel experimenteren kom je er achter of dit een lineair verband is, of misschien logaritmisch.

Na nog meer experimenteren en nauwkeurig meten kan je bijvoorbeeld concluderen dat je 5 kilometer kunt fietsen per boterham met pindakaas.

[smokalot]

Volgens mij gebruikt Roger Penrose dit ook als argument dat mensen geen computers kunnen zijn, en computers dus geen echte geest kunnen hebben.

Ik ben het daar dan weer niet mee eens. Creativiteit is gewoon random dingen verzinnen, en ook computers hebben een random-generator (zelfs pseudo random is genoeg). Creativiteit is echter pas nuttig in precies de juiste hoeveelheid, het moet ergens gebaseerd zijn op wat er al is, en ergens moet het nieuw zijn. en juist die balans is te moeilijk voor computers van dit moment.

[KopjeThee]

Ik denk dat het begint met verwondering over bepaalde verschijnselen. Vervolgens probeer je ze te verklaren. Als je denk het fenomeen te begrijpen, kan je proberen deze verklaring in een wiskundige vorm te gieten. Vervolgens zal je moeten gaan testen of je verklaring juist is.

Op zich kan je best computers programma's / formules laten bedenken, zie "genetisch programmeren".

[caipirinha]

Een heleboel "formules" of stellingen die we al eeuwen voor waar aannemen zijn geen bewezen waarheid maar gewoon theorema´s. Bijvoorbeeld het theorema van Thevenin of de stelling (geen wet) van Pythagoras. Sommige stellingen zijn bewijsbaar niet bewijsbaar maar wel nuttig om te gebruiken.

[Confusion]

Formules komen niet eerst tot stand en worden dan pas op een deel van de natuur toegepast. Het gaat juist andersom: eerst ga je delen van de natuur abstraheren en met symbolen aanduiden (zoals v voor snelheid, x voor plaats, etc.) en vervolgens ga je simpele verbanden die je in de natuur ziet in formules omzetten. Op een gegeven moment kan je door manipulatie van de formules nieuwe verbanden in de natuur op het spoor komen, maar alleen omdat de variabelen al betekenis hebben: die is helemaal in het begin al een keer toegekend.

[Verwijderd]

caipirinha schreef op woensdag 15 februari 2006 @ 21:09:
Een heleboel "formules" of stellingen die we al eeuwen voor waar aannemen zijn geen bewezen waarheid maar gewoon theorema´s. Bijvoorbeeld het theorema van Thevenin of de stelling (geen wet) van Pythagoras. Sommige stellingen zijn bewijsbaar niet bewijsbaar maar wel nuttig om te gebruiken.

Euh... De stelling van Pythagoras is zeer goed te bewijzen. (er is zelfs een zeer mooi zuiver geometrisch bewijs) En hij geldt dan ook voor alle rechthoekige driehoeken. Dit kan je met zekerheid zeggen omdat de definitie van wat een "rechthoekige driehoek" is besloten ligt in de wiskunde. De vraag blijft dan natuurlijk wel of dit begrip "driehoek"toe pasbaar is op de realiteit.

[Peter Geerts]

Het is natuurlijk wel zo dat natuurkundige verschijnselen (tot op heden) in SI eenheden (meter, kilogram, seconde, Ampere, Kelvin, mol, candela, radiaal) kunnen worden uitgedrukt. Met deze eenheden kunnen ook andere natuurkundige grootheden worden beschreven, zoals kracht:
N=(kg x m)/s^2

Met deze eenheden zijn ook formules af te leiden, door middel van een dimensie analyse. Dit kan door computers gedaan worden.

[Verwijderd]

In de jaren 60 hebben ze ooit proberen aan te tonen hoe 'slim' computers waren. Daartoe gaven de computer de gegevens over gewicht van een planeet, de afstand van de zon en de omlooptijd om de zon.

De computer werd 'gevraagd' de verbanden te zoeken. Na een uur rekenen (kan nu in 1 sec) kwam de computer met het verband dat Kepler ook had gevonden, en de conclusie was dat de computer hetzelfde hoogstandje had geleverd dat Kepler ook had geleverd.

Dat is natuurlijk onzin!

Het programma dat op de computer draaide deed niets anders dan alle combinaties van rekenkundige bewerkingen afgaan tussen die 3 getallen voor een aantal planeten. Dat was niet wat Kepler deed. Kepler was echt slim. Met een wereldbeeld waarin god de zon om de aarde liet draaien, was er geen enkele aanleiding te denken dat er wiskundig te beschijven verbanden konden bestaan tussen omloopsnelheid, massa en afstand tot de zon. Dat was Kepler geniale inzicht. Het verwerken daarvan in een formule was in vergelijking met dat inzicht kinderspel.


Conclusie: wetenschappelijk inzichten zijn niet zondermeer een setje van vergelijkingen, maar een diepgaand inzicht in hoe processen in elkaar steken, en van daaruit is het mogelijk een wiskunde beschrijving van de werkelijkheid te maken in de vorm van een formule.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 16 februari 2006 @ 13:42:
In de jaren 60 hebben ze ooit proberen aan te tonen hoe 'slim' computers waren. Daartoe gaven de computer de gegevens over gewicht van een planeet, de afstand van de zon en de omlooptijd om de zon.

De computer werd 'gevraagd' de verbanden te zoeken. Na een uur rekenen (kan nu in 1 sec) kwam de computer met het verband dat Kepler ook had gevonden, en de conclusie was dat de computer hetzelfde hoogstandje had geleverd dat Kepler ook had geleverd.

Dat is natuurlijk onzin!

Op zich is dat zeker geen onzin. Formules worden vaak en doorgaans afgeleid van meetresultaten. Analyse van de data geeft inzicht in de vorm van de relatie tussen de variabelen. Kepler heeft de nauwkeurige planetaire observaties van Tycho Brahe geanalyseerd en daaruit heeft jij kunnen opmaken hoe de planeten bewogen en daaruit formuleerde hij Keplers's Law: de kinematische relatie tussen massa afstand tot de zon en omlooptijd. Voor deze conclusie gebruikte Kepler geen dieper inzicht dan een simpele computer heeft. Dieper inzicht in het waarom werd later verschaft door Newton via zijn dynamische wetten.

Het programma dat op de computer draaide deed niets anders dan alle combinaties van rekenkundige bewerkingen afgaan tussen die 3 getallen voor een aantal planeten. Dat was niet wat Kepler deed. Kepler was echt slim. Met een wereldbeeld waarin god de zon om de aarde liet draaien, was er geen enkele aanleiding te denken dat er wiskundig te beschrijven verbanden konden bestaan tussen omloopsnelheid, massa en afstand tot de zon.

Ik bestrijd dat. Kepler kreeg zijn Formules niet van god maar synthetiseerde de formules van grote hoeveelheden data van Tycho Brahe. Zonder die data analyse had Kepler nooit zijn Wet kunnen formuleren. Trouwens, een computeranalyse voor het ontdekken van een toepasbare formule voor een datareeks is niet eenvoudigweg het uitproberen van alle mogelijke wiskundige combinaties. . .zoiets zou een werkelijk eindeloos proces zijn omdat je haast met elke combinatie van variabelen een werkende formule kan opzetten via curve fitting binnen de gegeven dataset. De slimheid voor het ontdekken van de eenvoudigste formule is het herkennen van de patronen en deze te gebruiken als voorkeur formules. DAT o.a. was de slimheid die Kepler bezat.

Dat was Kepler geniale inzicht. Het verwerken daarvan in een formule was in vergelijking met dat inzicht kinderspel.

Dat Kepler geniaal was staat buiten kijf maar zijn genialiteit zat op zijn minst in zijn kennis van wiskunde en het herkennen dat de data een specifieke kinematica van planeetbewegingen impliceerde: het uitvegen van gelijke oppervlakten in gelijke tijden in de sectoren welke gevormd werd tussen de positielijnen van de planeet naar de zon toe en het pad van de omloopbaan l. In Kepler's analyse van de kinematica speelde de samenwerkende krachten tussen aarde en zon geen rol.

Conclusie: wetenschappelijk inzichten zijn niet zondermeer een setje van vergelijkingen, maar een diepgaand inzicht in hoe processen in elkaar steken, en van daaruit is het mogelijk een wiskunde beschrijving van de werkelijkheid te maken in de vorm van een formule.

Dat is op zich duidelijk. Echter als iemand nergens inzicht in heeft en geen vermogen heeft om informatie uit het verleden te gebruiken(bijv. in het herkennen van patronen en processen welke hij mee te maken heeft had) dan zal hij niet een wetenschapper worden. Zeker niet een wetenschapper van formaat als Kepler. Kepler was niet de domste van zijn tijd. Zelfs de arrogante Newton gaf Kepler de eer die hij verdiende toen Newton zei (min of meer):

" Because I stood on the shoulders of giants, I was able to see so far".

Hiemee wil ik zeggen dat slimheid van mensen zeer veel te maken heeft met rekenkunst, inzicht in wiskunde en kennis van veel wiskundige relaties.

Voor zover computers complexer en sneller worden en beter geprogrammeerd worden en als parallel processors worden opgesteld worden ze steeds intelligenter . . .in deze stel ik zelfs dat computersystemen op termijn veel intelligenter kunnen worden dan individuele mensen. . . . indien het niet al zover is!

[ Voor 3% gewijzigd door Verwijderd op 16-02-2006 15:16 ]

[mrClass]

Er is een nieuwe kreet die ik graag aan deze discussie wil toevoegen: "Een neuraal net". Deze zijn in staat om verbanden tussen uitkomsten te vinden door een bepaalde correcte (vooraf gedefinieerde) uitkomsten te "beredeneren" vanuit bepaalde ingangen. Dit is niet zomaar een proces van het proberen van uitkomsten, maar met dit algoritme kunnen verbanden tussen ingangen en uitgangen gevonden worden door deze op een slimme manier in te klemmen.

Een neuraal net is een algoritme die geïnspireerd is door de werking van de hersenen. Het effect wat een neuraal net bereik en de manier waarop deze dat bereikt is in grote lijnen vergelijkbaar met hoe mensen problemen aanpakken en hoe mensen tot oplossingen komen.

Simpelweg vind een neuraal net ingewikkelde verbanden tussen varianelen van bijvoorbeeld een formule en is het in mijn optiek zeker mogelijk om een computer formules te kunnen laten vinden. Hierbij is het meestal wel nodig om vooraf te definiëren wat de gewenste uitgangswaarde is (supervised learning).

In theorie is het wel mogelijk dat neurale netwerken zelf logische verbanden vinden tussen ingangen en hiermee zelf de uitgangen definieren (unsupervised learning), maar dit proces is gevoeliger voor onzin uitgangswaardes, omdat over het algemeen het neurale net de enige is die zijn uitgang volledig begrijpt en dit moeilijk aan mensen duidelijk kan maken.

[smokalot]

Je kunt deze discussie doortrekken naar het fundamentele verschil tussen mensen en computers, wat er volgens mij (en sinds Alan Turing velen) niet is. Analoge computers kunnen bewijsbaar hetzelfde berekenen als digitale computers.

Je kunt deze discussie voeren, over de fundamentele mogelijkheid, of je kunt de discussie pragmatischer voeren, en vragen welke eigenschappen computers dan moeten hebben om formules te kunnen "bedenken". En het zou me niet verbazen als dat een glijdende schaal is, als blijkt dat sommigen klassen formules met andere eigenschappen is af te leiden als andere klassen.