Toepasbaarheid van wiskundige modellen

[Verwijderd]

Als een afgeleide van de discussies over de Scheve Toren van de NWT (Nationale Wetenschapsquiz 2005 (Vraag 16 t/m 20)) is dit topic bedoeld om nader in te gaan op de functie van wiskundige modellen. Dit topic is bedoeld om te proberen duidelijk te laten worden hoe verschillende mensen over wiskundige modellen denken en waar ze eventueel goed voor zijn. Het gaat er niet om wie gelijk heeft en wie fout zit maar om hoe een wiskundig model nuttig kan zijn buiten de manieren om welke voor mij gelden.

Ik stel dat wiskundige modellen op minimaal 3 verschillende vlakken nuttig kunnen zijn. Waarschijnlijk zal dat getal door vanuit verschillende opvattingen uitgebreid kunnen worden naar duizenden. Dat zou betekenen dat mijn huidige inzicht een ietwat uitgebreid zou kunnen worden.

Zo zie ik het voorlopig:

1 als wiskundige structuren om de mogelijke relaties tussen getallen te demonstreren, te onderzoeken c.q. vast te stellen. De toepasbaarheid van deze modellen is breed en kan louter dienen om op een school een beetje wiskunde te leren om voor een eindexamen te kunnen slagen en er verder nooit meer aan te denken. . . .op zich zijn ze dan nuttig geweest om iemand te laten denken en zo het algemene denkvermogen van het "slachtoffer" te ontwikkelen;

2 als wiskundige representaties van een engineering of wetenschappelijk vraagstuk over de realiteit. In dit kader is het model toepasbaar om er uiteindelijk een bruikbare oplossing mee te creëren, dan wel de grenzen van een veronderstelde applicatie te vinden. In deze kan het vraagstuk over het bouwen van een toren geplaatst worden: het model van een toren is dan bedoeld om uiteindelijk de toren te gaan bouwen. Het zelfde geldt voor een model van een virus waarmee het misschien mogelijk wordt om een vaccin te ontwerpen. Ik noem dit even omdat iemand misschien zou willen suggereren dat ik alleen maar het bouwen van een constructie bedoel.

3 de derde reden hoe en waarom een wiskundig model nuttig kan zijn ben ik vergeten.

Om de discussie af te trappen geef ik mijn toelichting op 1 en 2:

Wiskunde
In de wiskunde is een model bijvoorbeeld interessant om te ontdekken hoe getallen in series optellen en antwoorden te berekenen plus te beredeneren waarom er een bepaald resultaat ontstaat. De berekening op zich is vaak gemakkelijk. Een verklaring van het resultaat vereist enig denkwerk en vooral inzicht. Een voorbeeld:

De Serie: SOM=1+1/4+1/9+1/16 . . . .+1/N (met N=n²). . .n=1,2,3. . .∞
SOM(n-->∞ )=Limiet1= 2

Een ander voorbeeld:
De Serie: SOM=1/0,9999+1/3,9999+1/8,9999+1/15,9999 . . .+1/N (met N=n²-0,0001). . .n=1,2,3. . .∞
SOM(n-->∞ ) ---->∞

In 1970/71 presenteerde mijn wiskunde leraar dit soort eenvoudige leerstof en stelde dat voor elke serie SOM 1/n^2-a voor n---->∞ er geen limiet aan de som zou zijn indien a>0 zou zijn, ongeacht hoe klein a zou zijn.

De strekking van zijn les was dat zelfs als voor a het getal 10^{E-1000000000000000000000000000} gemomen zou worden dat de serie geen limiet zou vormen maar zodra je a=0 zou invullen dat er dan opeens wel een limiet voor de som zou zijn.
Ik vond dit prachtig: als je nagenoeg niets van de exponent 2 zou aftrekken zou de som opeens oneidig groot worden! Het verschil tussen een willekeurig grote limiet en oneindig is op zich oneindig groot. Hoe kan dat zo zijn, dacht ik?

Ik vroeg de "hooggeachte" Wiskunde Leraar in mijn klas van nagenoeg 100 studenten, waarom dit zo was. Nu weet elk kind dat je met de vraag waarom? je ouders op de kast kan jagen, en jawel hoor, de hooggeachte Wiskunde Leraar zat uiteindelijk op de kast in het hoekje van het grote klaslokaal: hij verdween in het niets! Later dook hij weer op en ik kreeg een prachtig cijfer voor wiskunde. Waar het in mijn vraag aan hem om draaide was een bewijs en een verklaring voor het resultaat maar dat kon hij niet ter plaatse produceren en zei uiteindelijk: "Het is gewoon zo". Niet een bijster effectief antwoord voor een leraar.

Dit wiskundige model vraagt om een verklaring: het waarom is belangrijk om dit soort en vergelijkbare vraagstukken op te lossen omdat daarmee je wiskunde en verwante zaken gaat begrijpen en omdat het denkvermogen wordt gestimuleerd.

Zonder ooit in de praktijk oneindige sommen nodig te hebben gehad zijn de twee bovenste wiskunde modellen nuttig om fundamentele zaken te kunnen onderzoeken. De Wiskunde Leraar bleef het antwoord schuldig hoe het mogelijk was (in SOM1) om zonder limiet een getal aan een getal toe te voegen en toch met de som tot een limiet te komen terwijl dit voor SOM 2 niet zo was ( Ik wilde het naadje van de kous weten): elk antwoord dat de leraar gaf was een kluitje waarmee hij mij het riet in wilde sturen. Ik heb in het vervolg van mijn (engineering) studies allerlei leraren langs zien komen: sommige waren ongeacht hun diverse doctorandus titels als leraar nagenoeg waardeloos en andere blonken uit met hun manier van het geven van inzicht in de voorgeschotelde stellingen en gegeven bewijzen.

Tot op vandaag aan de dag is het antwoord op die vraag nooit bevredigend beantwoord, ook al weet ik zelf de reden achter het antwoord wel. Het nut van de wiskunde in dit kader is me niet ontschoten. Als Engineer heb ik voor een bouwwerk of voor een werkbare oplossing van een probleem nog nooit een oneindige opsomming hoeven maken (afgezien van het feit dat veel wiskundige formules die engineers gebruiken tot stand gekomen zijn vanwege oneindige opsommingen).

Engineering
Ik zal proberen hier kort te zijn: een wiskundig model voor een bouwwerk of oplossing van een engineering vraagstuk is bij voorbaat geacht tekort te schieten aan de werkelijke behoefte voor het antwoord op de vraag: "Hoe moeten we de te bouwen constructie ontwerpen?"

Uitgaande van de praktische stelling dat de werkelijke vraagstukken welke we proberen op te lossen te complex zijn om in een formule weer te geven nemen we genoegen met wiskundige modellen die ongeveer het vraagstuk voorstellen, veelal vanuit een opsomming van factoren en fysische "wetten" welke we denken van toepassing te zijn. In deze modellen komen factoren voor welke in verhouding met andere factoren klein zijn of klein worden als het model uitgewerkt wordt voor verschillende toepassingen. Bij voorbeeld het model van een ToePassing van een ontwerp wordt weergegeven door de functie

TP = 2x² + 1/(5x) +SQRT(x)

waar x een variabele van een constructie of voor een vloeistofstroming kan zijn. Om de oplossing van het probleem te vinden gaan we niet blindelings een antwoord uitrekenen maar eerst gaan we bekijken welke factoren belangrijk zijn en welke niet. Als bijvoorbeeld x zeer klein is vereenvoudigen we de formule naar

TP=1/(5x)

en als x relatief groot is naar

TP = 2x²+SQRT(x)

Geen van de twee modellen is correct maar voor de toepassing zijn ze goed genoeg. De beredenering is dat 1/(5x) een dalende waarde heeft als x in waarde stijgt en dat 2x²+SQRT(x) een stijgende waarde heeft als x stijgt.

Hiermede worden de aangepaste formules toepasbaar op het vraagstuk terwijl een wiskundige misschien zou zeggen dat we fout bezig zouden zijn met een onjuist model.

Hier komt dus aan de orde wat men verstaat met een juiste aanpak om een vraagstuk op te lossen. Engineers hebben de neiging om een vraagstuk nauwkeurig te interpreteren en het te vereenvoudigen voor zover dit binnen de grenzen van kennis toelaatbaar is. Strikt genomen zijn de modellen welke we gebruiken dus altijd onjuist, maar doorgaans goed genoeg.

Dit zijn twee visies op de toepasbaarheid van wiskundige modellen welke ik als basis gebruik met het beoordelen/beschouwen van wiskundige stellingen. Als een model voor engineering gebruik te ver naar een theoretisch extreem gedreven wordt is het model vaak niet meer relevant (toepasbaar) en moet afgedankt worden.

Het vraagstuk over de maximale overhang van een scheve toren met het stapelen van tegels is een voorbeeld van wat ik bedoel: een opstapeling van een oneindig aantal tegels heeft niets met bouwen te maken maar is louter een oplossing van een puur wiskundige stelling over het optellen van getallen. De wiskundige relatie

OverHang = SOM 0,5*(1+1/2+1/3 . . . . +1/n met n = 1,2,3. . . .N is alleen toepasbaar voor een werkelijk bouwwerk als we met andere formules het getal N voor het te gebruiken aantal bouwstenen kunnen uitrekenen. Het antwoord N=oneindig is derhalve alleen goed voor een vraag welke in de pure wiskunde thuis hoort. Als de vraag bedoeld is als wiskundig raadseltje moet men zoiets duidelijk maken en niet iets vragen ten aanzien van het bouwen van een toren.

Zijn er nog andere manieren om een wiskundig model toe te passen?

[MSalters]

Verwijderd schreef op zondag 18 december 2005 @ 23:30:
...
Wiskunde
In de wiskunde is een model bijvoorbeeld interessant om te ontdekken hoe getallen in series optellen en antwoorden te berekenen plus te beredeneren waarom er een bepaald resultaat ontstaat. De berekening op zich is vaak gemakkelijk. Een verklaring van het resultaat vereist enig denkwerk en vooral inzicht. Een voorbeeld:

De Serie: SOM=1+1/4+1/9+1/16 . . . .+1/N (met N=n²). . .n=1,2,3. . .∞
SOM(n-->∞ )=Limiet1= 2

Een ander voorbeeld:
De Serie: SOM=1/0,9999+1/3,9999+1/8,9999+1/15,9999 . . .+1/N (met N=n²-0,0001). . .n=1,2,3. . .∞
SOM(n-->∞ ) ---->∞

In 1970/71 presenteerde mijn wiskunde leraar dit soort eenvoudige leerstof en stelde dat voor elke serie SOM 1/n^2-a voor n---->∞ er geen limiet aan de som zou zijn indien a>0 zou zijn, ongeacht hoe klein a zou zijn.

Lijkt me net zo opzienbarend als de stelling dat tan^-1pi/2+a geen limiet heeft als a=0. Sommige functies hebben nu eenmaal een domein wat kleiner is dan -∞,+∞

De strekking van zijn les was dat zelfs als voor a het getal 10^{E-1000000000000000000000000000} gemomen zou worden dat de serie geen limiet zou vormen maar zodra je a=0 zou invullen dat er dan opeens wel een limiet voor de som zou zijn.
Ik vond dit prachtig: als je nagenoeg niets van de exponent 2 zou aftrekken zou de som opeens oneidig groot worden! Het verschil tussen een willekeurig grote limiet en oneindig is op zich oneindig groot. Hoe kan dat zo zijn, dacht ik?

Je verbaast je dat het verschil tussen de limiet van de som geen eindig verschil terwijl het verschil in a wel eindig is? Niet zo gek, 1/a heeft ook geen eindige verandering rondom a=0.

Oneindig is overigens heel heel heel veel groter dan 10^{E+1000000000000000000000000000}, zelfs heel veel groter dan 10^{E+10000000000000000000000000000}.

Ik vroeg de "hooggeachte" Wiskunde Leraar in mijn klas van nagenoeg 100 studenten, waarom dit zo was. Waar het in mijn vraag aan hem om draaide was een bewijs en een verklaring voor het resultaat maar dat kon hij niet ter plaatse produceren en zei uiteindelijk: "Het is gewoon zo".

Niet zo gek moeilijk, in theorie, maar een kwestie van netjes schrijven. Bereken de afgeleide van de som naar a, rond a=0 en je ziet dat die ook niet eindig is.

[GlowMouse]

In 1970/71 presenteerde mijn wiskunde leraar dit soort eenvoudige leerstof en stelde dat voor elke serie SOM 1/n^2-a voor n---->∞ er geen limiet aan de som zou zijn indien a>0 zou zijn, ongeacht hoe klein a zou zijn.

Kun je daar nu weer aan twijfelen: in mijn analyseboek wordt namelijk anders beweerd. De rij (1/(n^p))n=1\∞ waarbij p een element van IR, heet een p-rij. Als p>1 dan is de p-rij sommeerbaar. Dus ook voor p=1.9. Er staat een bewijs voor sommeerbaarheid bij p=2, maar dat is erg specifiek. De som komt daarbij uit op pi²/6, dus dus erg eenvoudig is het niet.

Bereken de afgeleide van de som naar a, rond a=0 en je ziet dat die ook niet eindig is.

Bedankt voor dit mooie voorbeeld waarom het handig is de gedachte achter een methode te weten Wat is de afgeleide precies? Wanneer heeft een functie een afgeleide in een punt, en wanneer is een functie totaal differentieerbaar? Vragen die beantwoord worden bij de analyse, en direct laten zien waarom het belangrijk is de gedachte ergens achter te begrijpen.

[Verwijderd]

Ik vind dit een interessant topic. De twee doelen van Vortex zou ik iets willen herdefinieren en wellicht wat willen oversimplificeren tot de drie volgende:

1. Het onderzoeken van abstracte constructen binnen de wiskunde zelf. Wiskunde niet als hulpmiddel maar als zelfstandige wetenschap. De bevindingen kunnen wellicht ooit eens gebruikt worden voor nieuwe modellen binnen andere takken der wetenschap, maar dat is niet het doel.

2. Het doen van voorspellingen over gebeurtenissen in de wereld zelf. Hieronder valt het bouwen van een toren, of een antwoord op de vraag welke tijgers het beste gekruist kunnen worden om zoveel mogelijk genetische diversiteit te houden.

3. Het geven van inzicht in dit soort gebeurtenissen. Bijvoorbeeld het ontdekken van de populatiegenetica van de tijger en de gevolgen daarvan voor het voortbestaan van de soort, of inzicht in de stabiliteit van de wereldeconomie.

Alle drie de methoden hebben echter gemeenschappelijk dat ze de wiskunde gebruiken als laboratorium voor experimenten. Dit heeft als voordeel boven waarnemingen in de echte wereld dat in de wiskunde oorzaak/gevolgrelaties aangetoond/geformuleerd kunnen worden, terwijl in de echte wereld vaak slechts correlaties geobserveerd kunnen worden en het dus nooit duidelijk is of en hoe gebeurtenis A gebeurtenis B daadwerkelijk veroorzaakt.

[Verwijderd]

MSalters schreef op maandag 19 december 2005 @ 21:59:
[...]

Lijkt me net zo opzienbarend als de stelling dat tan^-1pi/2+a geen limiet heeft als a=0. Sommige functies hebben nu eenmaal een domein wat kleiner is dan -∞,+∞

Ik vermoed dat je hier de exponent als een complex getal heb genomen, zo niet dan zie ik even niet waar tan^-1pi/2+a vandaan komt.

[...]

Je verbaast je dat het verschil tussen de limiet van de som geen eindig verschil terwijl het verschil in a wel eindig is? Niet zo gek, 1/a heeft ook geen eindige verandering rondom a=0

Oneindig is overigens heel heel heel veel groter dan 10^{E+1000000000000000000000000000}, zelfs heel veel groter dan 10^{E+10000000000000000000000000000}.

Er is in mijn expressie van de exponent (2-a) in het eerste bericht een symboolfout opgetreden dat ik in de editing niet opgemerk heb. In de aanvankelijke tekst stelde ik als a zo klein zou zijn als

E-1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 . . .= 10 ^{-1.000.000.000.000.000.000.000.000.000}

dan zou de exponent nagenoeg gelijk aan 2 zijn. In de uitwerking is dit in de tekst geschreven als

10 ^{E-1.000.000.000.000.000.000.000.000.000}

en dat was niet de bedoeling. Als je E weg zou laten zou het correct zijn. Ik vermoed dat dit misschien verkeerd begrepen is omdat je in je reactie een plus-teken geplaats heb waar ik een min-teken heb staan.

Het is jammer dat ik deze fout niet opgemerkt heb omdat de strekking van mijn verhaaltje kennelijk anders is overgekomen. Ik bedoelde dit:

Limiet van SOM( 1/n^p) n=1,2,3. . . . ∞ = Een getal, voor p=2

maar

Limiet van SOM( 1/n^p) n=1,2,3. . . . ∞ ------> ∞ voor p<2

Niet zo gek moeilijk, in theorie, maar een kwestie van netjes schrijven. Bereken de afgeleide van de som naar a, rond a=0 en je ziet dat die ook niet eindig is.

Je bedoelt kennelijk

y= SOM(1/n^(2-a)) n=1,2,3......∞

y'= SOM (dy/da)= . . . . . voor a= 0

Ik weet zo snel het antwoord hierop niet meer. . . Ik dacht dat het dit was

(a-2)*LN(n)*EXP(a-2)*LN(n). . .(waarschijnlijk fout)

Maar goed, wil je hiermee zeggen dat de som van de serie 1/n² niet eindig is? Als dat correct is heb ik het 35 jaar geleden fout geleerd.

Laten ik even deze 3 series nemen:

SOM1 = 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128. . .etc. ------> Limiet =2
SOM2 = 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49 1/64 .. . .etc -----> SOM(1/n² )----->?
SOM3 = 1+ 1/8 + 1/27 + 1/64+. . . .etc. -----> SOM(1/n³ )-----> Limiet

Het is kennelijk bewezen dat SOM1 een limiet van 2 heeft.
Het is duidelijk dat de termen in SOM 1 veel sneller klein worden dan voor SOM2 en voor
SOM3 worden de termen nog sneller klein dan voor SOM1. Dit bewijst dus dat voor SOM3 er ook een limiet geldt, maar voor SOM 2 misschien niet.

De stelling aan mij voorgelegd in 1970 was dat voor SOM(1/n^p de som een limiet zou hebben als p=2 zou zijn maar geen limiet als p<2 zou zijn. Als dit niet juist is, wat is dan de kleinste waarde van p om nog tot een limiet te komen?

Ik bedoel louter de oplossing met reële getallen.

Als p een getal is dat kleiner is dan 2 moet het tussen 1 en 2 liggen(zo herinner ik het me niet).

In elk geval, als p een getal tussen 1 en 2 zou zijn dan is het principe van mijn eerste betoog nog steeds hetzelfde: voor de exponent p zou er een limiet voor de som zijn maar voor (p-a) niet, ongeacht hoe klein a zou zijn.

Dat is toch prachtig om de kenmerken van oneindigheid aan het werk te zien?

[Verwijderd]

GlowMouse schreef op maandag 19 december 2005 @ 22:42:
[...]

Kun je daar nu weer aan twijfelen: in mijn analyseboek wordt namelijk anders beweerd. De rij (1/(n^p))n=1\∞ waarbij p een element van IR, heet een p-rij. Als p>1 dan is de p-rij sommeerbaar. Dus ook voor p=1.9. Er staat een bewijs voor sommeerbaarheid bij p=2, maar dat is erg specifiek. De som komt daarbij uit op pi²/6, dus dus erg eenvoudig is het niet.

In mijn reactie op M Salters merkte ik op dat hij waarschijnlijk ook met de complexe exponent speelde. Dat was niet aan de orde in de originele stelling in 1970/71. Van M Salters' opmerking lijkt het er op dat de serie 1+1/2+1/4+1/9. . .∞ oneindig is terwijl ik geleerd had dat deze som een limiet had. . . .kennelijk niet 2, zoals ik eerst stelde maar toch. . .ik meende dat de exponent 2 een scheidingslijn vormde tussen oneindig groeiende opsommingen en opsommingen met een limiet. Waar het om ging is het boeiende feit dat als je oneindig iets blijft toevoegen aan een getal het dan toch op een gegven moment soms niet een limiet overschrijdt en soms wel!

Bedankt voor dit mooie voorbeeld waarom het handig is de gedachte achter een methode te weten Wat is de afgeleide precies? Wanneer heeft een functie een afgeleide in een punt, en wanneer is een functie totaal differentieerbaar? Vragen die beantwoord worden bij de analyse, en direct laten zien waarom het belangrijk is de gedachte ergens achter te begrijpen.

Ik herriner deze aanpak voor gewone functies maar niet voor series. Het is me een beetje wazig geworden over de jaren

Was het niet de L' Hospital Rule dat indien een afgeleide van een functie een limiet heeft dat dan ook de originele functie een limiet heeft?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 20 december 2005 @ 02:51:
Ik vind dit een interessant topic. De twee doelen van Vortex zou ik iets willen herdefinieren en wellicht wat willen oversimplificeren tot de drie volgende:

1. Het onderzoeken van abstracte constructen binnen de wiskunde zelf. Wiskunde niet als hulpmiddel maar als zelfstandige wetenschap. De bevindingen kunnen wellicht ooit eens gebruikt worden voor nieuwe modellen binnen andere takken der wetenschap, maar dat is niet het doel.

2. Het doen van voorspellingen over gebeurtenissen in de wereld zelf. Hieronder valt het bouwen van een toren, of een antwoord op de vraag welke tijgers het beste gekruist kunnen worden om zoveel mogelijk genetische diversiteit te houden.

3. Het geven van inzicht in dit soort gebeurtenissen. Bijvoorbeeld het ontdekken van de populatiegenetica van de tijger en de gevolgen daarvan voor het voortbestaan van de soort, of inzicht in de stabiliteit van de wereldeconomie.

Alle drie de methoden hebben echter gemeenschappelijk dat ze de wiskunde gebruiken als laboratorium voor experimenten. Dit heeft als voordeel boven experimenten in de echte wereld dat in de wiskunde oorzaak/gevolgrelaties aangetoond/geformuleerd kunnen worden, terwijl in de echte wereld slechts correlaties geobserveerd kunnen worden en het dus nooit duidelijk is hoe gebeurtenis A gebeurtenis B veroorzaakt.

Dat is mooi verwoord, maar zitten 2 en 3 niet in het zelfde kader? Om voorspellingen te doen moet je en wiskundig model opbouwen vanuit waarnemingen. . . waaruit de te gebruiken formules onstaan, waarmee inzicht verkregen wordt.

Uiteraard kan ik me vinden in het gebruik van de formules voor een directe applicatie (2) en allerlei andere gebruiken om een dieper inzicht te verkrijgen. . .allerlei variaties uitproberen die je niet op de werkelijkheid wilt loslaten (2a)

[Verwijderd]

Dat is mooi verwoord, maar zitten 2 en 3 niet in het zelfde kader? Om voorspellingen te doen moet je en wiskundig model opbouwen vanuit waarnemingen. . . waaruit de te gebruiken formules onstaan, waarmee inzicht verkregen wordt.

Uiteraard kan ik me vinden in het gebruik van de formules voor een directe applicatie (2) en allerlei andere gebruiken om een dieper inzicht te verkrijgen. . .allerlei variaties uitproberen die je niet op de werkelijkheid wilt loslaten (2a)

Ik heb ze uit elkaar gehaald omdat het doel anders is. Als je een formule kan opstellen waarmee in praktische zin perfect voorspellingen te doen zijn, is degene die daarin geinteresseerd is tevreden. Bijvoorbeeld iemand die de periode van een slinger wil voorspellen/berekenen, heeft niet meer nodig dan newtoniaanse mechanica en zal het daarom een zorg zijn hoe die mechanica afgeleid is. Degene die een brug wil bouwen, zal niet uit gaan zoeken hoe de atomen in de stalen balken van zijn brug nu precies binding aan gaan met elkaar. Zo iemand gebruikt de modellen als hulpmiddel bij het bereiken van een praktisch doel, om de vraag te beantwoorden "hoe kan ik". Deze vraag is beantwoord zodra het gelukt is op basis van het model de brug te bouwen of de slinger te voorspellen.

Iemand die daarentegen inzicht in de mechanica wil verkrijgen, die streeft naar het ontwikkelen van een model dat de realiteit zo goed mogelijk benadert, komt niet onder relativiteitstheorie uit, en wat de moderne natuurkunde daar allemaal ook voor uitbreidingen op opgeleverd heeft. De vraag is hier niet "hoe kan ik" maar "hoe werkt het". Deze vraag is nooit af, aangezien er in ieder geval tot nu toe altijd een dieper niveau opgezocht kan worden om dezelfde vraag nogmaals te stellen.

Er zijn overigens nog wel meer mogelijke doelen die niet goed in 1 van de genoemde groepen passen, zoals bijvoorbeeld het gebruiken van wiskundige modellen met als doel de schoonheid van de natuur/schepping tot uitdrukking te brengen, maar de drie die ik gaf zijn denk ik wel de meest voorkomende. En uiteraard kan 1 persoon meerdere doelen tegelijk nastreven.

[ Voor 6% gewijzigd door Verwijderd op 20-12-2005 20:04 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 20 december 2005 @ 04:23:
[...]


Ik heb ze uit elkaar gehaald omdat het doel anders is. Als je een formule kan opstellen waarmee in praktische zin perfect voorspellingen te doen zijn, is degene die daarin geinteresseerd is tevreden. Bijvoorbeeld iemand die de periode van een slinger wil voorspellen/berekenen, heeft niet meer nodig dan newtoniaanse mechanica en zal het daarom een zorg zijn hoe die mechanica afgeleid is. Degene die een brug wil bouwen, zal niet uit gaan zoeken hoe de atomen in de stalen balken van zijn brug nu precies binding aan gaan met elkaar. Zo iemand gebruikt de modellen als hulpmiddel bij het bereiken van een praktisch doel, om de vraag te beantwoorden "hoe kan ik". Deze vraag is beantwoord zodra het gelukt is op basis van het model de brug te bouwen of de slinger te voorspellen.

Iemand die daarentegen inzicht in de mechanica wil verkrijgen, die streeft naar het ontwikkelen van een model dat de realiteit zo goed mogelijk benadert, komt niet onder relativiteitstheorie uit, en wat de moderne natuurkunde daar allemaal ook voor uitbreidingen op opgelevert heeft. De vraag is hier niet "hoe kan ik" maar "hoe werkt het". Deze vraag is nooit af, aangezien er in ieder geval tot nu toe altijd een dieper niveau opgezocht kan worden om dezelfde vraag nogmaals te stellen.

Er zijn overigens nog wel meer mogelijke doelen die niet goed in 1 van de genoemde groepen passen, zoals bijvoorbeeld het gebruiken van wiskundige modellen met als doel de schoonheid van de natuur/schepping tot uitdrukking te brengen, maar de drie die ik gaf zijn denk ik wel de meest voorkomende. En uiteraard kan 1 persoon meerdere doelen tegelijk nastreven.

Prachtig uitgelegd!
Ik zie de essentie van het aanbrengen van deze scheiding.

Nu even terug naar de series waar ik het over had. Ik heb even zitten stoeien met deze zaken op een practisch nivo om inzicht te krijgen ten aanzien hoe ze verschillend zijn.

Er werd hierboven beweerd dat de serie SOM(1/n²) n=1,2,3. . . .∞
niet naar een limiet zou gaan, terwijk ik dacht geleerd te hebben dat voor SOM( 1/n²) dit wel het geval was.

Even geprobeerd in Excel en wat blijkt is dat de termen in de Serie SOM(1/n⁵) niet naar 0 gaan zelfs voor n= 131069 !!!! Voor de som is er een eindige waarde omdat Excel de kleine termen niet meer nauwkeurig kan opslaan en niet aan de som kan toevoegen. Het is dan te beredeneren dat de Limiet, indien het bestaat, niet door Excel benaderd kan worden, of dat er geen limiet is.

Daarentegen voor de serie SOM = 1+1/2+1/4+1/8+1/16 . . . .n=1,2,3. . . .∞ is de term in Excel al 0 voor n=1022 en de som eindigd met een waarde van 2 (zoals al bekend was).

Na eerst even verbaasd te zijn bleek uit een verdere analyse dat de Ratio voor de [ (n)/(n+1) ] term in de 1+1/2+1/4+1/8+1/16 serie uiteraard bij definitie 2 is maar voor de serie 1/n^p gaat deze Ratio naar 1!

Dit bewijst in elk geval dat de termen in de inverse power series SOM(1/n^p ) maar zeer, zeer langzaam kleiner worden en als n---->∞ deze termen praktisch gelijk zijn, zodat het volstrekt logisch is dat de som niet eindig is omdat je nagenoeg gelijke getallen blijft toevoegen

Leuk om dat even te hebben ontdekt.
Als Engineer heb ik er even niets aan maar toch . . . .

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 20 december 2005 @ 03:22:

Als p een getal is dat kleiner is dan 2 moet het tussen 1 en 2 liggen(zo herinner ik het me niet).

In elk geval, als p een getal tussen 1 en 2 zou zijn dan is het principe van mijn eerste betoog nog steeds hetzelfde: voor de exponent p zou er een limiet voor de som zijn maar voor (p-a) niet, ongeacht hoe klein a zou zijn.

Kennelijk zit er iets fout in je geheugen (of je wiskunde docent lulde uit zijn nek.)

De stelling is namelijk dat de som van 1/n^p convergeert voor alle p > 1. En de limiet wordt oneindig groot voor p -> 1 (van boven). Hiermee is dit dus niet echt conceptueel lastiger dan het feit de functie 1/x geen waarde heeft voor x =0 maar wel voor alle waardes x > 0.

Merkwaardig genoeg divergeert som 1/((log[n]^p)n) voor alle waarde van p > 0!

[Ejorne]

? Dit topic is vanaf de eerste reply (op 1 na) al off-topic...
_{of ligt dat misschien aan mijn (wiskundige)inzicht?}

[ Voor 4% gewijzigd door Ejorne op 20-12-2005 14:51 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 20 december 2005 @ 12:53:

Na eerst even verbaasd te zijn bleek uit een verdere analyse dat de Ratio voor de [ (n)/(n+1) ] term in de 1+1/2+1/4+1/8+1/16 serie uiteraard bij definitie 2 is maar voor de serie 1/n^p gaat deze Ratio naar 1!

Dit bewijst in elk geval dat de termen in de inverse power series SOM(1/n^p ) maar zeer, zeer langzaam kleiner worden en als n---->∞ deze termen praktisch gelijk zijn, zodat het volstrekt logisch is dat de som niet eindig is omdat je nagenoeg gelijke getallen blijft toevoegen

Leuk om dat even te hebben ontdekt.
Als Engineer heb ik er even niets aan maar toch . . . .

De limiet van ratio [n/(n+1)] term is inderdaad een maatstaaf voor de convergentie van een reeks. Als deze > 1 dan convergeert de reeks en als deze < 1 divergeert de reeks. Voor het geval dat de ratio precies 1 is zegt dit daarintegen helemaal niets. (zoals het geval van de inverse power series laat zien)

Om de convergentie van de reeks 1/n^p te onderzoeken is het het makelijkst om naar de integraal van 1/x^p van 1 tot oneindig te kijken. De gezochte som kan zowel als (riemann) ondersom en als bovensom van deze integraal beschouwd worden (modulo een constante). Dus als de integraal bestaat convergeert de som en als de integraal divergeert, divergeert de som ook.

De integraal is makelijk uit te rekenen en is gelijk aan lim(N->∞) (N^(1-p))/(1-p) - 1/(1-p) voor p != 1. Waaruit volgt dat de som convergeert voor p>1 en divergeert voor p < 1. Voor het geval p = 1 is de waarde van de integraal lim(N->∞) log(N) = ∞ en dus divergeert de som in dat geval ook.

Dus op je vraag waarom de som bij 1 divergeert en hogere waardes van p niet, kan (vrij cryptisch) geantwoord worden: omdat de afgeleide van 1/x gelijk is aan log(x)!

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 20 december 2005 @ 02:51:
Ik vind dit een interessant topic. De twee doelen van Vortex zou ik iets willen herdefinieren en wellicht wat willen oversimplificeren tot de drie volgende:

1. Het onderzoeken van abstracte constructen binnen de wiskunde zelf. Wiskunde niet als hulpmiddel maar als zelfstandige wetenschap. De bevindingen kunnen wellicht ooit eens gebruikt worden voor nieuwe modellen binnen andere takken der wetenschap, maar dat is niet het doel.

2. Het doen van voorspellingen over gebeurtenissen in de wereld zelf. Hieronder valt het bouwen van een toren, of een antwoord op de vraag welke tijgers het beste gekruist kunnen worden om zoveel mogelijk genetische diversiteit te houden.

3. Het geven van inzicht in dit soort gebeurtenissen. Bijvoorbeeld het ontdekken van de populatiegenetica van de tijger en de gevolgen daarvan voor het voortbestaan van de soort, of inzicht in de stabiliteit van de wereldeconomie.

Ik zou nog een punt 4. toevoegen:
Je kan wiskunde gebruiken om de structuur van andere theorieen te bestuderen. Dergelijke theorieen hoeven niet daadwerkelijk iets in de natuur te beschrijven.

Een goed voorbeeld hiervan is het vakgebied waar ikzelf momenteel in actief ben, namelijk topologische string theorie. In dit vaak gebied gebruiken we een abstracte versie van string theorie om de kwalitatieve voorspellingen te doen over die theorie zelf. Hierbij moet opgemerkt worden dat string theorie niet perse iets in de natuur beschrijft, nog een zuiver wiskundige theorie is. Dit plaats topologische string theorie ergens tussen punt 1 en 3 hierboven.

[PhysicsRules]

In mijn afstudeerscriptie heb ik een model gebruikt dat lijkt op wat Trias hier beschrijft (komt waarschijnlijk omdat het dezelfde vakgroep was .

Waarbij de tot nu toe genoemde modellen zich richten op het zo nuttig mogelijk nabootsen van de werkelijkheid, was dit model eigenlijk redelijk willekeurig. Het doel was om het resultaat te vergelijken met de werkelijkheid en uit de verschillen iets te leren.

Hiermee is dus een 5e soort model benoemd: een theoretisch model dat de werkelijkheid niet beschrijft, maar waar uit de verschillen iets zinnigs te leren valt.

[Verwijderd]

Er zijn een aantal interessante reacties gekomen op mijn vragen/opmerkingen over series waaruit ik nog iets herleren kan over waarom een serie wel of niet tot een limiet komt . Momenteel moet ik nog even stug studeren voor een VCA-VOL Examen op donderdag avond.

Ik kom er nog op terug.