[Partiele Differentialen] Dubbel boundary-value probleem

[armageddon_2k1]

Aangezien ik dit een aardig pittige opdracht vind, is dit geoorloofd volgens het beleid en hoop ik dat mensen mij een zetjes in de goede richting kunnen geven (want hé, oplossen moet ik zelf )

Het gaat om twee afzonderlijke Heat-equation vergelijkingen die aan elkaar verwant zijn door 2 randvoorwaardes.

Enfin, hier de vergelijkingen en randvoorwaarden. Afgeleides geef ik aan met _x en _t, subscribts met het betreffende cijfertje erachter:

code:

(1) u1_t = u1_x_x               0<x<1, t>0
(2) u2_t = 4 * u2_x_x           1<x<2, t>0

(3) u1(1,t) = u2(1,t)           t>=0
(4) u1_x(1,t) = 4 * u2_x(1,t)   t>=0      
(5) u1(0,t) = 18                t>=0
(6) u2(2,t)= 0                  t>=0

(7) u1(x,0) = 0                 0<x<1
(8) u2(x,0) = 0                 1<x<2

De bedoeling is dus om u1(x,t) en u2(x,t) te vinden.
Nou, wat heb ik zelf al zoal gedaan:

code:

Scheiding van variabelen van beide heat-equations (1) en (2) geeft het volgende:
u1(x,t) = X1(x)T1(t)
u2(x,t) = X2(x)T2(t)

Invullen in (1) en (2) geeft, na gelijkstelling aan -labda 
(labda geef ik aan met (L) is makkelijker):
(9)  X1_x_x / X1 = -(L)1
(10) T1_t / T1 = -(L)1
(11) X2_x_x / X2 = -(L)2
(12) T1_t / T1 = -4 * (L)2

Enfin, zoals jullie allemaal weten ;-) zijn (9) en (11) simpel op te lossen
en komen er combinaties uit van Sinus en Cosinus. Eerst (9). 
Ik zal de wortel van labda even schrijven als (sL) (square-root-labda):

X1(x) = c1 * Cos[(sL1)*x] + c2 * Sin[(sL1)*x]
Invullen van conditie (5) geeft c1=18

Nu voor (11):
X2(x) = b1 * Cos[(sL2)*(x-2)] + b2 * Sin[(sL2)*(x-2)]

Waarom (x-2)? Dan past conditie (6) beter en het mag ook gewoon omdat
het een lineair onafhankelijke oplossing is van (11) dacht ik.
Na invullen van (6) in (11) volgt dat b1=0. 

En nu loop ik vast. Als ik condities (3) en (4)in ga vullen heb ik een setje van 2 vergelijkingen en 4 onbekenden.
Vervolgens heb ik geprobeerd om (10) en (12) op te lossen en dan u1(x,t) en u2(x,t) al te schrijven als een reeks en dan randvoorwaarde (7) en (8) in te vullen, maar dan is u2(x,t) = 0  en dat kan niet kloppen.

Dus..ik hoop dat jullie er nog zijn.
Ik vermoed dat ik een extra boundary-conditie moet verzinnen, of dat ik slim moet gaan kijken naar die vergelijking en iets moet afleiden (bijvoorbeeld (L1) = (L2) ofzo), door puur physisch of wiskundig ernaar te kijken, maar ik zie het niet. Gewone heat-equations zijn makkelijk te doen, maar doordat deze gerelateerd zijn loop ik vast. Ik vermoed dat ik al een foutje heb gemaakt door twee verschillende T functies te gebruiken, aangezien ze allebei gewoon in dezelfde tijd werken, maar dan loop ik nog steeds vast Vooral condities (7) en 8 vind ik raar, omdat die naar mijn inziens (5) en (6) respectievelijk tegenwerken en nog een keer bevestigen.
Iemand een hint/zetje in de goede richting, link?

EDIT: Ik merk dat ik nu stom gedaan heb door aan te nemen dat het een homogeen probleem is, wat het niet is. Ook denk ik dat ik de variabelen T1 en T2 gelijk mag nemen, aangezien ze allebei in dezelfde tijd zitten. Ze verschillen slechts in de X-richting.

[ Voor 12% gewijzigd door armageddon_2k1 op 05-11-2005 17:24 ]

[Confusion]

Vooral condities (7) en 8 vind ik raar, omdat die naar mijn inziens (5) en (6) respectievelijk tegenwerken en nog een keer bevestigen.

Daar is niets vreemds aan; (5) en (6) zijn voor >= t, terwijl bij (7) en (8) de grenswaarden er niet bijhoren. (7) definieert niets voor x=0 op t=0; dat doet (5).

Ik heb nu even geen tijd er lang genoeg naar te kijken, maar door de scheiding van variabelen raken ook je randvoorwaarden gescheiden en het aantal randvoorwaarden verdubbelt in zekere zin. Heb je ze allemaal meegenomen?

Edit:
Je weet overigens dat voor t -> oneindig de factoren T1(t) en T2(t) naar een constante moeten gaan, want (5) en (6) zijn tijdsonafhankelijk. Je eindoplossing moet tijdsonafhankelijk zijn. Dat klopt met de oplossing van (10) en (12):
T1(t)=K1exp(-(L)1 t) en
T2(t)=K2exp(-(L)2 t)
dus weet je dat (L)1 en (L)2 allebei positief zijn. Maargoed, die mintekens stonden er niet voor niets natuurlijk .

Waar leid je uit af dat T1(t) em T2(t) gelijk moeten zijn?

[ Voor 66% gewijzigd door Confusion op 05-11-2005 18:25 ]

[armageddon_2k1]

Nouja, het aantal randvoorwaarden wordt mijn inziens niet verdubbeld. Omdat de randvoorwaarden of volledig tijds of volledig plaatsafhankelijk zijn. Dus simpele verdubbeling gaat niet op dacht ik? Aangezien je dan bijvoorbeeld hebt dat u2(x,0) = 0. En dan zou betekenen dat X(x)T(0) = 0 en dan moet T(0) = 0, anders zou X(x) voor alle x nul moeten zijn en heb je een nul oplossing Het geldt wel, maar het is niet de bedoeling. Tenzij jij meer weet dan ik natuurlijk, aangezien je wel iets ouder bent en ook in Delft zit, dus verwacht ik dat jij ook hetzelfde vak hebt. (Ik doe LR).

Ik ben er dus vanuit gegaan dat het een homogeen probleem is, maar dat is natuurlijk niet zo. Daarom moet ik het aanpakken op een andere manier waar ik het probleem ga schrijven als v(x,t) = u(x,t) + uE(x). Met u(x,t) -> uE(x) als t -> infinity. Zoals je al zegt. Zodat je iets krijgt als dit (voorbeeldje):
u_x_x = 0, u(0,t) = A, u(L,t) = B
uE(x) = A + (B-A)/L*x

Hoe ik erop kom dat T1 gelijk is aan T2? Dan bedoel ik dus bij de seperatie. De labda's zijn verschillend, waardoor er iets uitkomt als labda1=4labda2. Het was gewoon een hersenspinsel van me. Aangezien de problemen alleen verschillen doordat ze gebonden zijn in verschillende afstandsgebieden, zitten ze allebei in hetzelfde tijdsgebied. Physisch kan ik het nu even niet voor je bewijzen, maar het leek me wel plausibel en zeker het proberen waard.

Het feit dat t->infinity de T's naar een constante gaan snap ik. De steady state oplossing. Maar als ik even nadenk: k1 * exp(-L1 t), als t naar oneindig dan is het ongeacht de constante ervoor gewoon 0 toch?

[ Voor 11% gewijzigd door armageddon_2k1 op 05-11-2005 20:07 ]

[eamelink]

armageddon_2k1 schreef op zaterdag 05 november 2005 @ 20:03:
Het feit dat t->infinity de T's naar een constante gaan snap ik. De steady state oplossing. Maar als ik even nadenk: k1 * exp(-L1 t), als t naar oneindig dan is het ongeacht de constante ervoor gewoon 0 toch?

Klopt, maar de oplossing is ook niet a * exp(b t), maar c + a * exp(b t), waarbij c gewoon de waarde is voor t -> inf.

Als ik zonder te rekenen gok wat de steady state zou moeten zijn dan zou ik denken.

U = 18 - 3.6x voor 0 <= x <= 1;
U = (2 - X) * 4 * 3.6 voor 1 <= x <= 2;

[armageddon_2k1]

Okee, daar kan ik inkomen.
Mag ik alleen vragen hoe je op je antwoord komt? Blijkbaar doe jij in je hoofd een aantal tussenstapjes die mij onbekend zijn om tot een snel antwoord te komen.

[ Voor 22% gewijzigd door armageddon_2k1 op 05-11-2005 22:07 ]

[eamelink]

armageddon_2k1 schreef op zaterdag 05 november 2005 @ 21:58:
Okee, daar kan ik inkomen.
Mag ik alleen vragen hoe je op je antwoord komt? Blijkbaar doe jij in je hoofd een aantal tussenstapjes die mij onbekend zijn om tot een snel antwoord te komen.

Links een warmtebron van 18, rechts een koudebron van 0, en daartussen twee materialen. De differentiaalvergelijkingen dat als de tijdsafgeleide van de temperatuur 0 is, dat dan ook de tweede plaatsafgeleide van de temperatuur 0 is. De temperatuurdaling is dus evenredig met de afstand tot de warmtebron.

Tot zover is het in ieder geval goed.

Verder is te zien dat het rechter materiaal 4 keer zo goed geleidt als het linker materiaal. Vandaar dat ik het temperatuursverschil van 18 graden heb opgedeeld in 5 stukken waarvan er vier in het rechter deel en één in het linker deel zitten. Oftewel het linker materiaal loopt van 18 tot 14.4 graden, en het rechter deel van 14.4 naar 0 graden. Als je dat in formulevorm opschrijft krijg je wat ik eerder schreef.

[armageddon_2k1]

Ah bedankt.
Overigens is het wel belangrijk volgens mij dat bij het tweede deel, die ik nu beschreven heb als (x-2), de x loopt van 2 tot 1 of niet?

Misschien is het sowieso verstandig om het op te delen in 2 problemen die allebei van 0 tot 1 lopen.

[ Voor 27% gewijzigd door armageddon_2k1 op 05-11-2005 22:10 ]

[eamelink]

armageddon_2k1 schreef op zaterdag 05 november 2005 @ 22:09:
Ah bedankt.
Overigens is het wel belangrijk volgens mij dat bij het tweede deel, die ik nu beschreven heb als (x-2), de x loopt van 2 tot 1 of niet?

Misschien is het sowieso verstandig om het op te delen in 2 problemen die allebei van 0 tot 1 lopen.

Misschien dat het wat inzichtelijker voor je wordt; maar op zich kan je natuurlijk helemaal zelf kiezen of je X in het tweede materiaal van 0 naar 1, van 1 naar 2 of van min tienduizend naar plus 345 laat lopen; je krijgt er wel een antwoord uit. Ik zou echter gewoon kiezen om x van 1 naar 2 te laten lopen; dan hoef je je randvoorwaarden niet om te rekenen en aan het einde hoef je je oplossing niet om te rekenen naar een oplossing in dit stelsel.

[armageddon_2k1]

Ja, dat is waar.
Trouwens, ik zie dat jij een half jaar ouder bent. Dus je zal zo ongeveer 4ejaars student Natuur en Sterrenkunde zijn. Mag ik vragen waneer je dit vak dan gehad hebt, of dit niveau van differentialen? Ik ben 3e jaars Lucht en Ruimtevaart namelijk.

[ Voor 7% gewijzigd door armageddon_2k1 op 05-11-2005 22:35 ]

[eamelink]

armageddon_2k1 schreef op zaterdag 05 november 2005 @ 22:33:
Ja, dat is waar.
Trouwens, ik zie dat jij een half jaar ouder bent. Dus je zal zo ongeveer 4ejaars student Natuur en Sterrenkunde zijn. Mag ik vragen waneer je dit vak dan gehad hebt, of dit niveau van differentialen? Ik ben 3e jaars Lucht en Ruimtevaart namelijk.

Ik ben ook 3e jaars. Ik heb vorig jaar het vak "Hilbertruimten" (linkje) gevolgd. Het boek dat we daarbij gebruikten heet :

"Elementary differential equations and boundary value problems". (linkje).

Niet echt een goed boek overigens.

[armageddon_2k1]

Okee, wij hebben al eerder partiele differentiaalverg. gehad bij het vak Differentiaal vergelijkingen, maar nu heb ik echt een vak dat Applied Partial Differential Eq. heet. Wij gebruiken het boek dat ook zo heet, dat vind ik overigens wel een erg goed boek. Linkje

[Opi]

Wat gebruik je voor de t-afhankelijke component? Gegeven T_1,t / T[sub]1[sub] = -L₁ verwacht ik voor T₁ iets als T₁(t) = c exp(-L₁ t), maar wanneer je naar randvoorwaarde (5) kijkt (u1(0,t) = 18 voor t>=0) dan zou dit resulteren in een L₁ die gelijk is aan 0 en een bijbehorende c van 18. Dit klopt dan weer niet met de eerder opgegeven vergelijking. Wat zie ik over het hoofd?

[armageddon_2k1]

Nou, als je het probleem opsplits naar een probleem met homogene randvoorwaarden + een steadystate oplossing is het al makkelijker.
Dan krijg je dus u = v + w, met v een homogeen probleem en w de steadystate oplossing. Als je dan voor de steady-state u_x_x=0 (want hij is tijdsonafhankelijk) doet, moet je uiteindelijk wel op een goed antwoord komen. Maar ik ga morgenmiddag die soms eens helemaal opnieuw uitwerken.

Edit: Ho eens even. Je vult de randvoorwaarde u(0,t)=18 in in de verkeerde vergelijking. Het doel van seperatie van variabelen is juist dat je twee problemen krijgt i.p.v. 1 die onafhankelijk van elkaar zijn waar je dus de bijbehorende randvoorwaarden voor invult. Vervolgens is de oplossing van het probleem gewoonweg T(t)*X(x).
Dus u(0,t) = tijdsonafhankelijk, en wordt dus ingevuld voor X(x). Dus X(0) = 18. Maar aangezien dit een inhomogene boundary conditie is, splits ik het op naar v+w, waardoor er X(0)=0 uit zou moeten komen. Dit is natuurlijk logischer, want deze kan je uiteraard ook invullen voor t-> T(t)=0, maar dat zou betekenen dat dit alleen geldt voor c = 0 (bij jouw uitkomst) en dat kan niet, want dat zou impliceren dat de complete oplossing T(t)*X(x) = 0. En dat klopt nie

[ Voor 51% gewijzigd door armageddon_2k1 op 08-11-2005 21:22 ]

[Opi]

armageddon_2k1 schreef op dinsdag 08 november 2005 @ 21:17:
Nou, als je het probleem opsplits naar een probleem met homogene randvoorwaarden + een steadystate oplossing is het al makkelijker.
Dan krijg je dus u = v + w, met v een homogeen probleem en w de steadystate oplossing. Als je dan voor de steady-state u_x_x=0 (want hij is tijdsonafhankelijk) doet, moet je uiteindelijk wel op een goed antwoord komen.

Ik zal eens kijken naar die scheiding. Het is allemaal wel weggezakt.

Edit: Ho eens even. Je vult de randvoorwaarde u(0,t)=18 in in de verkeerde vergelijking.
[...]
Dus u(0,t) = tijdsonafhankelijk, en wordt dus ingevuld voor X(x). Dus X(0) = 18

Als X₁(0) = 18 geldt dan moet T₁(t) = 1 gelden en dit bereik je alleen als L₁ gelijk aan 0 is. Het lijkt me dan logischer dat er geldt X₁(0) = 0 en dat geldt dat het 'w'-deel gelijk aan 18 is voor alle t en x = 0.

[armageddon_2k1]

Opi schreef op dinsdag 08 november 2005 @ 21:37:
[...]

Ik zal eens kijken naar die scheiding. Het is allemaal wel weggezakt.

[...]

Als X₁(0) = 18 geldt dan moet T₁(t) = 1 gelden en dit bereik je alleen als L₁ gelijk aan 0 is. Het lijkt me dan logischer dat er geldt X₁(0) = 0 en dat geldt dat het 'w'-deel gelijk aan 18 is voor alle t en x = 0.

Ja, ik kan je niet ongelijk geven, maar de manier is gewoon fout. Je stelt hier dat op x=0 en alleen op t=1 de waarde u=18 behaald wordt. Dat mag niet, omdat er expliciet gezegd wordt op x=0 en t=t moet u=18. En het kan je wel logischer lijken, dan opsplitsen in een homogeen en steady-state gedeelte, maar het is echt gewoon dé manier om het te doen. Werk het maar eens uit, alles valt op z'n plek dan.