Wat zijn getallen?

[Verwijderd]

Of, wat is de ontologische status van getallen? Dat wil zeggen, op welke 'manier', als je dat kunt zeggen, bestaan getallen?

De standaardantwoorden (het is altijd ongeveer dezelfde dichotomie...):

1. Getallen zijn platoonse objecten: in een abstract ideeenrijk (een rijk met abstracte ideeen, of een abstract rijk met ideeen, take your pick, al zit er in de eerste optie misschien een tautologie) bestaan getallen. Wiskundige (getaltheoretische) waarheden over getallen, zijn dan ook waarheden over abstracte objecten. 1+3=4 is waar, omdat dat, in het ideeenrijk zo is. Net zoals 'daar ligt een staan', in deze wereld waar is, als daar een steen ligt (jaja, I know, I know). Die abstracte waarheden kunnen mensen ontdekken door hard na te denken en wiskunde te bedrijven, want oh wat een wonder dat we op een of andere manier in contact staan met dat ideeenrijk.

2. Getallen zijn menselijke constructen: mensen hebben bedacht, 1 is 0+1, 2 is 0+1+1, etc. etc. Optellen, aftrekken vermenigvuldigen zijn (door mensen, evt. 'intuitief') gedefinieerde operatoren. Als een getaltheoretische stelling wáár is, betekent dat, dat die stelling is af te leiden is uit de definities. Dat we met getallen werkten voordat we wisten hoe getallen en rekenkundige operatoren gedefinieerd konden worden, is te verklaren door aan te nemen dat we onbewust/intuitief op een bepaalde (die ene) manier met getallen omgingen. Maar kan iemand dan een heel eigen idee hebben over wat '8' bijvoorbeeld is? Een idee dat niet hetzelfde is als wat andere mensen denken? En heeft iedereen dan gelijk? Kan ik, als je mij zegt 'Tel eens 10 bij 7 op?', vragen, 'Wiens optellen bedoel je?'

Nou ja, er is niet echt een dichotomie... er zijn veel meer antwoorden mogelijk op de vraag wat getallen zijn. Denk bijvoorbeeld hieraan:

3 (en 3.5). Getallen zijn (verwijzingen naar) verzamelingen: het getal '2' is de (verwijzing naar) verzameling van alle verzamelingen met twee elementen. Dat er bepaalde bijzondere eigenschappen (priemgetallen) tevoorschijn komen, is een resultaat van hoe de werkelijkheid in elkaar zit. De werkelijkheid immers, bepaalt wat de verzameling van verzamelingen van n elementen is, en dus, wat voor relaties er bestaan tussen de deelverzamelingen van de verschillende verzamelingen van verzamelingen van n elementen. Maar wat is dan een verzameling? En als de verzameling van verzamelingen van n elementen nu eens n elementen heeft, is hij dan een deelverzameling van zichzelf? En is dat een probleem?

Enfin, jullie hebben vast allemaal eigen en andere ideeen, maar, omdat ik vond dat de discussie regelmatig vertroebeld raakte omdat mensen verschillende ideeen hebben over getallen (al geldt veel van wat ik hier zeg voor de hele wiskunde), leek het me misschien nuttig om die ideeen eens uit te spreken in een topic dat daar speciaal voor bedoeld is. Ik heb niet de behoefte iemand ergens van te overtuigen (en ik heb daarom ook geen stelling, alleen een vraag) maar het is een interessant onderwerp, en ik ben benieuwd wat de aanwezige natuurkundigen, wiskundigen, informatici en weet ik veel wie nog meer, hierover te zeggen hebben.

Toch een stelling om de boel wat spannender te maken:

"De visie dat getallen een geestelijk construct zijn, is onacceptabel omdat wiskunde (misschien wel het laatste bastion!) objectief is (of, zou moeten zijn)."

[Verwijderd]

Getallen zijn mijnsinziens simpelweg handigheden om punten op een schaal aan te geven. Neem bijen. Zij maken dansjes om de lokatie van een voedselbron over te brengen aan soortgenoten. De snelheid waarmee hij zijn dansje doen is bepalend voor de afstand. Er is blijkbaar een schaalverdeling. Een heel langzaam dansje staat voor dichtbij en een heel snel dansje voor heeeel ver weg (of andersom). Een bij ziet in de snelheid van het dansje een punt op zijn "afstandsschaal". bij een middelmatig dansje weet hij dat-ie tot ongeveer de helft van het 'werkgebied' moet vliegen.

Bij intelligentere wezens zoals mensen, die gesproken en geschreven taal ontwikkelden is het niet meer dan logisch dat hier betere aanduidingen voor ontstonden. Ik denk dat dat de basis is voor getallen. "HOE" ze bestaan is in feite wat jij vraagt en ik zeg meer "waarom" ze bestaan, meer biologisch. Ik denk echter dat de vraag hoe ze bestaan irrelevenat is als hun nut aangetoond is. Ik vind dat een "abstract ideeenrijk" (1) en een "menselijk construct" (2) elkaar ook niet uitsluiten. De maatstaven die mensen hanteren bestaan om de werkelijkheid te beschrijven en communiceren. We moeten daarvoor de werkelijkheid opnieuw creeeren in onze taal, met symbolen (woorden, getallen). In feite IS dat een abstractie van de werkelijkheid (1) die door mensen geconstrueerd is (2)

[Verwijderd]

Ik zeg niet dat 'abstract' en 'construct' tegengesteld zijn. Ik zeg dat een abstract ideeenrijk, dat -- dat had er misschien nog bij gemoeten -- onafhankelijk van de mens bestaat, iets anders is dan een verzameling door mensen geconstrueerde abstracties.

Het zijn twee opvattingen over wat 'abstract' is (en dat getallen abstract zijn lijkt me vanzelfsprekend). In het ideeenrijk-geval is iets abstract omdat het op de plek bestaat waar de abstracte dingen bestaan, in het geval van de menselijk constructen is iets abstract omdat het 'geabstraheerd' is.

Het ideenrijk (met haar bewoners) bestaat zonder intelligente wezens, de geabstraheerde dingen hebben een 'abstraheerder', zoals de mens, nodig.

Over getallen als schaalverdeling: als ik eerst twee keer een houtje van 2cm meet, en ze dan achter elkaar leg, en dan 4cm meet, dan voer ik een 'wiskundig experiment' uit? Een experiment dat 2+2=4 bewijst?

[Ranewen]

ik heb het op school zo leren bekijken: in een wereld waarin geen mensen zouden leven, en waarin niks voor zou komen wat door mensen was gemaakt, alleen maar natuur, zouden er dan nog steeds getallen zijn? Ik denk het dus niet. Getallen zijn ooit 'bedacht' door mensen om het leven te vergemakkelijken en zijn mettertijd zo 'geconventionaliseerd' dat ze nu abstract zijn. Vanuit de basis van getallen bleek dat je er heel erg veel mee kon en daarom zijn we nu waar we zijn.

Als iemand een heel ander beeld van '8' zou hebben, dan zou diegene nog heel wat moeite moeten doen om wetenschappers en onderzoekers op zijn zaak te krijgen en zelfs dan zou het nog heel erg veel tijd en moeite kosten voor deze nieuwe visie geintegreerd zou zijn in de wereld - iedereen kent het beeld van '8' dat we nu hebben al eeuwen en het is heel moeilijk om zo'n abstract idee in iemands hoofd aan te passen. Het is namelijk meer een algemeen 'weten' waar je niet bij na hoeft te denken.

Als '2' op zichzelf een deelverzameling zou zijn, hoeft dat geen probleem te zijn, Het kan goed zijn dat het dat nu ook is, maar dat we dat zelf nog niet weten. Again: je zou het alleen erg moeilijk krijgen dit nieuwe idee in de wereld bij alle mensen te introduceren (en op veel tegenstand stuiten) en het zou weer honderden jaren duren voor het geintegreerd zou zijn. Het zou onze kijk op getallen idd danig veranderen (en dat kost heel erg veel geld)

Antwoord op je stelling:
getallen zijn een geestelijk construct, maar in de loop van duizenden jaren zo geconventionaliseerd dat er nu sprake kan zijn van een objectieve wiskunde. Getallen zijn ook ooit empirisch begonnen, maar omdat er steeds het zelfde uitkwam, was er niets meer te onderzoeken en kon men er voort van uit gaan dat getallen en hun antwoorden (3+2=5) gegarandeerd waren. Daarom is wiskunde nu wel objectief, maar in den allereerste beginne was dat het volgens mij nog niet, alleen is dat zo lang geleden dat we dat niet meer weten en ons er anders bar weinig bij voor kunnen stellen.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 18 september 2005 @ 02:55:
Ik zeg niet dat 'abstract' en 'construct' tegengesteld zijn. Ik zeg dat een abstract ideeenrijk, dat -- dat had er misschien nog bij gemoeten -- onafhankelijk van de mens bestaat, iets anders is dan een verzameling door mensen geconstrueerde abstracties.

Het hele idee "abstract ideeënrijk" of "platoonse objecten" bestaat bij gratie van ons bestaan. Waren wij (of Plato for that matter) er nooit geweest, dan was de zienswijze van een abstract ideeënrijk dat onafhankelijk van de mens bestaat er nooit geweest. Als je je afvraagt of getallen bestaan zonder dat de mens bestaat (in een abstract ideeënrijk, als platonische objecten) dan zeg ik dus erg simpel: nee.

Waardes en schaalverdelingen zijn misschien inherent aan de natuur, maar zonder slimme wezens zoals mensen om daar een naam aan te geven bestaat er geen ideeënrijk. Het ideeënrijk waar jij over spreekt is namelijk een menselijk bouwwerk zoals ik eerder aangaf. (Sterker, het hele idee 'ideeënrijk' is een menselijk construct, namelijk van Plato)

Wat de laatste alinea betreft - of je een experiment uitvoert - geloof ik dat je alleen probeert de kennis te staven die je al in huis had. Een meetkundig experimentje.

[ Voor 9% gewijzigd door Verwijderd op 18-09-2005 13:27 ]

[Confusion]

Verwijderd schreef op zondag 18 september 2005 @ 01:56:
"De visie dat getallen een geestelijk construct zijn, is onacceptabel omdat wiskunde (misschien wel het laatste bastion!) objectief is (of, zou moeten zijn)."

Wat bedoel je precies met de stelling dat wiskunde objectief is? Ik interpreteer dat als: de wiskunde is voor iedereen hetzelfde en er is in dit universum maar één mogelijke wiskunde, waar het geheel van wiskundige kennis dat wij hebben opgebouwd onderdeel van is.

Aangezien je niets kan weten over het ding an sich, kan je hooguit zeggen dat wiskunde een inherent onderdeel is van 'de werkelijkheid zoals die zich aan ons voordoet'. Dat betekent dat het menselijk kenvermogen er een categorie voor heeft: het deelt de phenomenen automatisch in in hoeveelheden. (Is dat waar, doen ongetrainde kinderen dat ook? Voorzover ik weet wel.) Waar komt dat kenvermogen vandaan? Blijkbaar is het evolutionair gunstig in hoeveelheden te denken. Kunnen we daaruit concluderen dat de werkelijkheid ook getalsmatig is opgebouwd? Alleen terwijl we in de inductieval trappen. Dat doen we dan ook, met zijn allen en met veel plezier. Totdat er abstracte constructies uit volgen die zich niet meer aan kenvermogen voordoen. Daarom zijn reëele getallen reëel en imaginaire getallen imaginair. Een bijzonder goede naamgeving

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 18 september 2005 @ 13:26:
Het hele idee "abstract ideeënrijk" of "platoonse objecten" bestaat bij gratie van ons bestaan. Waren wij (of Plato for that matter) er nooit geweest, dan was de zienswijze van een abstract ideeënrijk dat onafhankelijk van de mens bestaat er nooit geweest.

Dat is dus begging the question.

Iemand die gelooft in een abstract ideeenrijk zou met dezelfde cirkelredenering kunnen zeggen: "Arme mensen die geloven dat ideeen afhankelijk van de mens bestaan, zelfs het idee dat ideeen afhankelijk van de mens bestaan, bestaat in het ideeenrijk! (En hoe zouden we anders kunnen zeggen dat al die mensen die daarin geloven, in hetzelfde geloven?)"

Al is het soort ideeen in het ideeenrijk een beetje anders dan wat we normaal ideeen noemen, maar mijn zinnetje was maar ter illustratie.

geloof ik dat je alleen probeert de kennis te staven die je al in huis had.

Wiskundige kennis bedoel je? En hoe kom ik daar dan aan? En hoe weet ik of dat waar is?

[Verwijderd]

Om een lang verhaal kort te maken: ik vind het ideeënrijk van Plato een vaag en moeilijk toe te passen ding. De voorwaarden voor getallen bestaan in de natuur. Er zijn in de natuur zoveel dingen waarvoor je een schaalverdeling kan verzinnen of waaraan je een grootte zou willen toekennen. Getallen bestaan niet los van de mens, want ze zijn door de mens verzonnen. Ze bestaan dus als hele concrete zaken in de constructie van de werkelijkheid die de mens voor zichzelf heeft gebouwd. Als er geen mensen waren, waren er geen getallen, alleen de zaken die je met getallen concreet zou kunnen maken zouden bestaan, bijvoorbeeld 'een hoeveelheid' planeten in de ruimte of 'een hoeveelheid' grasprietjes op een grasveld.

Die wiskundige kennis bezit jij omdat de werkelijkheid die de mens heeft geconstrueerd op jou overgedragen is door ouders, vrienden, docenten, etc. Je weet dat het waar is binnen deze constructie, omdat de regels binnen de constructie dat voorschrijven. Je accepteert het simpelweg als waar. Of het waar IS is een loze vraag. Het is waar binnen de set regels die we verzonnen hebben en daarbuiten is de vraag irrelevant.

[Ranewen]

de wereld draait op het vertrouwen in dingen. We kunnen redeneren en functioneren omdat we er vanuit gaan dat bepaalde dingen gewoon 'zijn' (taken for granted is een mooiere uitdrukking) Als we bij alles wat we doen een vraagteken moeten gaan zetten, denk ik dat we een heel vermoeiend leven zouden krijgen. En dat communicatie ook helemaal de mist in zou lopen. Net als taal zijn getallen (en wiskunde) gebaseerd op conventies die ons de mogelijkheid geven er iets mee te doen.

Het antwoord op de vraag 'wat zijn getallen' zou je dus kunnen stellen: getallen zijn conventies van verzamelingen. Of druk ik me nu echt helemaal verkeerd uit?

[Verwijderd]

Confusion schreef op zondag 18 september 2005 @ 14:13:

. . . Blijkbaar is het evolutionair gunstig in hoeveelheden te denken. Kunnen we daaruit concluderen dat de werkelijkheid ook getalsmatig is opgebouwd? Alleen terwijl we in de inductieval trappen. Dat doen we dan ook, met zijn allen en met veel plezier. Totdat er abstracte constructies uit volgen die zich niet meer aan kenvermogen voordoen. Daarom zijn reëele getallen reëel en imaginaire getallen imaginair. Een bijzonder goede naamgeving

Ik zie je conclusie juist totaal anders ondanks het feit dat ik het met je eens bent dat de werkelijkheid niet getalsmatig is opgebouwd: de benaming "imaginair" getal is een historische betreurenswaardig ongeluk omdat hierdoor, hoofdzakelijk op scholen waar men niet erg diep in de wiskundige theorieën duikt (doorgaans met leraren welke wiskunde een "vervelend" vak vinden), er de indruk gewekt wordt dat complexe getallen geen echt bestaansrecht zouden hebben en alleen maar in de geest bestaan. . .grotendeels blijven de meeste mensen het daarom "gek" vinden dat (-1)^1/2 een echte oplossing heeft met een bestaansrecht dat gelijk is aan de oplossing van (2)^1/2 . Veel mensen vinden allerlei dingen welke ze niet begrijpen "gek".

Ik reken me rijk dat ik in mijn opleidingen maar hooguit drie leraren gehad hebt die niet echt begrepen waar ze les over gaven. Mijn gedachtegoed dat getallen slechts betekenis hebben als wiskundige elementen en als oplossingen van wiskundige structuren en geen enkele verbintenis hebben met "dingen" die je in de natuur kan vinden( vissen, steenkool, koffiebonen, sproeten, sterren, moleculen en misschien zelfs zwarte gaten) is aan deze opleiding te danken. Mijn stellingen zijn uiteraard op zich geen wiskundige elementen en kunnen er verschillende visies bklijven bestaan.

Dat in de fysische wereld groeperingen van ongelijke grootte bestaan is duidelijk en intuïtief ook kenbaar voor kinderen welke nooit van een getal hebben gehoord. Ze onderscheiden feilloos een groep ** van een groep*** maar de meeste volwassen mensen kunnen het verschil niet zien tussen ************************************************** en ************************************************** (ook niet al zouden de groepen toevallig een gelijke grootte hebben). Om een conclusie te trekken of de groepen wel of niet gelijke grootte hebben kan je een aantal methoden bedenken. Bijvoorbeeld de groepen fysiek naast elkaar manoeuvreren. . .ik doe dit even met een copy/paste functie in die GOT schermpje om te zien of de willekeurige opbouw te vergelijken is:

**************************************************
*************************************************
Nu blijkt vanuit een experiment dat de groepen niet identiek zijn. Getallen zijn er niet aan te pas gekomen. Dit onderdeel van deze werkelijkheid(sterren op een rij) is in elk geval niet getalsmatig opgebouwd omdat getallen zijn niet gebruikt om de structuur van de groepen op te bouwen, nog om ze vergelijken of ze wel of niet even groot zijn. . . .de groepen zijn tikmatig opgebouwd

Met een nieuw bedenkseltje kan je symbolen bedenken waarmee je kan tellen en waarmee je symbolen kan koppelen aan elementen uit de groepen. De symbolen (tekeningen dan wel objecten) kunnen vierkantjes zijn, cirkeltjes, bolletjes, kubusjes, kruisjes, en noem maar op. Op deze manier, dus zonder enig besef van getallen, is het mogelijk een telsysteem op te bouwen. . .zoals een telraam opgebouwd is. Deze methode leent zich om de twee groepen sterren te kwantificeren en de kwantifiseringen te vergelijken op basis van de concepten "gelijk" en "ongelijk". Dit is nog steeds geen wiskunde en een getal is er ook niet aan te pas gekomen.

Pas wanneer we de symbolen gaat formaliseren en deze getallen gaat noemen en er regels voor gaat definiëren ontstaat reken- en wiskunde, welke volstrekt apart staan van de fysieke verzameling sterretjes waarmee de sterretjes geteld kunnen worden.

In de wiskunde zijn er inmiddels een interessant aantal symbolen gemaakt welke niet koppelbaar zijn aan fysieke objecten in de zin dat je ze naast elkaar kunt leggen om een telfunctie c.q. een meetfunctie er mee uit te voeren. Het voorbeeld wat ik eerder gebruikt heb komt hier van pas: het symbool voor het transcendentale getal pi is inmiddels in direct verwerkbaar in een rekenprogramma zoals o.a. Excel. Het essentiële van dit is dat het symbool voor het getal pi op volkomen gelijke voet staat met het symbool voor het getal 3 of het getal 678543. . . .het zijn slechts elemeneten waarmee wiskundige bewerkingen mee kunnen worden uitgevoerd. Op een computerscherm zijn het pixel-structuren welke vertaald zijn vanuit een bepaald aantal tikken op een toetsenbord en in de computer zijn het slechts aan- en uitstructuren in een geheugen. Op deze manier zijn de getallen pi en e in het geheugen even groot. . .ze zijn opgemaakt uit evenveel geheugenplaatsen(voor zover ik weet). Het feit dat wij als mensen het getal pi>e kunnen definiëren is slechts een gevolg van het toewijzen van waarden aan deze symbolen.

Voorts is er in de fysieke wereld geen enkele structuur waarin getallen zoals pi en e en pi² etc. zich openbaren en zich aan een meting bloot stellen: Met een rond-vormig voorwerp is slechts de diameter en de omtrek direct vatbaar voor een vergelijking met een meetlat: er passen x aantal meetlatten op de diameter en y op de omtrek en z op de dikte van bijvoorbeeld een ronde plaat. Het levert 3 meetlatverzamelingen op. Nu kan men een beetje ingenuiteit de meetlattenverzamelingen naast elkaar gaan leggen en kan men concluderen dat de x-meetlat langer is dan de y-meetlat en daar een ratio van gaan berekenen maar er zal nooit het getal pi uit deze berekening vallen omdat de metingen in eerste instantie al meetonnauwkeurigheden bevatten en in tweede instantie de resultaten van de berekening betekenen iets anders is dan wat er op een rond voorwerp te vinden is. De ratio van C/D is een wiskundige bewerking en geen meetresultaat. Het rekenresultaat hoeft zelfs geen pi te zijn.

Hieruit valt te concluderen dat er getallen bestaan welke niet in een directe manier aan fysieke structuren te koppelen zijn en dat in bepaalde gevallen de getallen slechts met een fysiek object te koppelen zijn vanuit een berekening (zie voetnoot 1)

Gaan we verder met het bedenken van wiskundge objecten (zelfs de goden weten niet hoeveel er inmiddels zijn) zoals o.a. complexe getallen, matrixjes, vectors en tensors dan zijn ook deze niet altijd te koppelen aan fysieke objecten. Dat het soms wel kan is niet een bewijs dat het wiskundige object iets in de fysieke wereld betekend maar dat een mens met het wiskundige object een bepaalde relatie kan leggen naar een fysieke object of proces. Meer niet.

Wiskunde is het werken met getallen volgens door ons zelf opgestelde regels en de getallen (complex of niet) welke niet allemaal 1-op-1 aan een structuur uit de fysieke wereld gekoppeld kunnen worden, zijn daardoor niet van mindere status of "imaginair": ze bestaan in de wiskundige zin op gelijke voet net zoals een appel en een pruim een gelijkwaardig bestaan hebben als een fruit.

1) De notie dat de verhouding tussen Omtrek en Diameter van een rond object een ongeveer 3.142. . . verhouding met elkaar hebben is slechts een abstractie dat vanuit een getallen systeem tot uiting komt nadat er aan het ronde object strenge eisen gesteld zijn aan het hoe de diameter en omtrek gemeten dient te worden. Zonder deze eisen over meten en object-vorm welke van het menselijk bestaan geformuleerd zijn is de wiskundige relatie C/D, vanuit metingen van "ronde" objecten niet een constante maar allerlei getallen welke zelfs 2 en 5 kunnen zijn(zie voetnoot 2)

2) Meetresultaten van een grootschalig object in een veld met variabele ruimtelijke kenmerken zijn afhankelijk van meetmethoden en kunnen onverwachte c.q. niet conventionele conclusies uitlokken. Het voorbeeld hiervan is Einstein's draaiende schijf waarin de Ratio C/D afwijkt van het getal pi.

[Confusion]

Verwijderd schreef op zondag 18 september 2005 @ 19:08:
Hieruit valt te concluderen dat er getallen bestaan welke niet in een directe manier aan fysieke structuren te koppelen zijn

Geen enkel getal is aan een fysieke structuur te koppelen. 'Drie stenen' is niet hetzelfde als 'drie'. Het probleem zit hem in de eenheden, niet in de getallen. Dat sommigen de waarde van een concept als de imaginaire eenheid i niet begrijpen ondervang je volgens mij niet door het ding anders te noemen. Kortzichtige mensen hou je altijd.

[Verwijderd]

Confusion schreef op zondag 18 september 2005 @ 14:13:
Ik interpreteer dat als: de wiskunde is voor iedereen hetzelfde en er is in dit universum maar één mogelijke wiskunde, waar het geheel van wiskundige kennis dat wij hebben opgebouwd onderdeel van is.

Will do. Al zou ik dat laatste deel willen schrappen. Wat precies een 'mogelijke wiskunde' is weet ik niet, en dat 'in dit universum' zou ik er ook niet bij willen zeggen. We willen toch niet zeggen dat, stel dat er een universum is waar 17 geen priemgetal is, dat aan dat universum ligt, m.a.w. dat plaats uitmaakt voor de waarheid van wiskunde.

Verder een hoop Kantiaanse termen in een niet zo duidelijk verband. Wie heeft het over het 'Ding an Sich'? En wat is het verschil tussen de werkelijkheid, en de werkelijkheid zoals die zich aan ons voordoet? En wat heeft dat met wiskunde te maken? Maar I digress, in weze zeg je zoiets als wat Ranewen zegt?

getallen zijn een geestelijk construct, maar in de loop van duizenden jaren zo geconventionaliseerd dat er nu sprake kan zijn van een objectieve wiskunde.

Dat lijkt me niet echt een sterk argument. 'Wiskunde is voor iedereen hetzelfde omdat we dat afdwingen'. De afgedwongen illusie van objectiviteit, koren op de molen van de postmodernisten. Sterker nog, als ik jouw definitie van objectiviteit gebruik Confusion, is er geen enkele garantie dat de wiskunde objectief is. Is dat wat je wil zeggen?

Over hoeveelheden: je bedoelt waarschijnlijk 'aantallen'. Er is een experiment waarbij kinderen wordt gevraagd om één beker over te gieten in een lange, dunne beker, en één beker in een lage, brede beker. De twee bekers waar ze mee begonnen waren even groot, en bevatten evenveel vloeistof. Als nu wordt gevraagd in welke beker (de lange dunne of de lage brede) meer vloeistof zit, wijzen kinderen tot een jaar of drie (IIRC) naar de lange dunne.

Over aantallen: om aantallen te kunnen bepalen, moet je eerst onderscheid kunnen maken. Als ik mieren moet tellen, maar ik kan de mieren niet uit elkaar houden, dan kan ik ze ook niet tellen. (In de filosofie heet dat dat er een 'identiteitscriterium' moet zijn). Kleine kinderen kunnen bijvoorbeeld, uhm, de ene knuffel niet van de andere knuffel onderscheiden, en kunnen daarom (filosofisch!) onmogelijk tellen.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 18 september 2005 @ 16:00:
Als er geen mensen waren, waren er geen getallen, alleen de zaken die je met getallen concreet zou kunnen maken zouden bestaan, bijvoorbeeld 'een hoeveelheid' planeten in de ruimte of 'een hoeveelheid' grasprietjes op een grasveld.

Dus wat? Als er geen mensen zouden zijn, dan zou er toch ergens om een ster een hoeveelheid planeten kunnen draaien, die één planeet groter is dan een andere hoeveelheid planeten die om een ster draaien, die op zijn beurt weer één planeet groter is dan weer een andere hoeveelheid planeten die om een ster draaien, waar weer één planeet meer is, dan bij een ster waar géén planeten om draaien?

Of het waar IS is een loze vraag. Het is waar binnen de set regels die we verzonnen hebben en daarbuiten is de vraag irrelevant.

Maar het heeft een hele tijd geduurd voordat de normale rekenkundige operatoren netjes gedefinieerd waren. Hadden we daarvoor de regels 'onbewust' verzonnen? En wat voor garantie is er dat we die bewust gedefinieerde regels vólgen nu we ze hebben? Vraag aan je juf of meester van de basisschool of 2+12=14. Vraag dan of ze dat kunnen bewijzen. Vast niet, maar wil dat zeggen dat ze niets uitrekenen?

[Opi]

Verwijderd schreef op zondag 18 september 2005 @ 01:56:
Toch een stelling om de boel wat spannender te maken:

"De visie dat getallen een geestelijk construct zijn, is onacceptabel omdat wiskunde (misschien wel het laatste bastion!) objectief is (of, zou moeten zijn)."

Is het mogelijk dat onafhankelijk van het wel of niet een geestelijk construct zijn van getallen, de wiskunde zelf objectief is? Volgt uit de rede/logica, gegeven een bepaald geestelijk construct van getallen niet, een bepaald type wiskunde waarvan de precieze structuur enkel afhankelijk is van de set van getallen?

Verwijderd schreef op maandag 19 september 2005 @ 00:19:
Over aantallen: om aantallen te kunnen bepalen, moet je eerst onderscheid kunnen maken. Als ik mieren moet tellen, maar ik kan de mieren niet uit elkaar houden, dan kan ik ze ook niet tellen. (In de filosofie heet dat dat er een 'identiteitscriterium' moet zijn). Kleine kinderen kunnen bijvoorbeeld, uhm, de ene knuffel niet van de andere knuffel onderscheiden, en kunnen daarom (filosofisch!) onmogelijk tellen.

Confusion schreef op zondag 18 september 2005 @ 21:02:
Geen enkel getal is aan een fysieke structuur te koppelen. 'Drie stenen' is niet hetzelfde als 'drie'. Het probleem zit hem in de eenheden, niet in de getallen.

Desalniettemin zijn de fysieke structuur en het getal in jouw voorbeeld één op één aan elkaar gerelateerd op deze manier. Alleen door de objecten op andere manieren te classificeren, zou er een ambiguïteit geïntroduceerd worden. Hier uit kan je enkel concluderen dat het getal dat aan de fysieke structuur gekoppeld is, afhangt van het uitgangspunt. Of het daarmee iets is wat niet langer objectief is, betwijfel ik.

[Verwijderd]

OpifexMaximus schreef op maandag 19 september 2005 @ 00:42:
Is het mogelijk dat onafhankelijk van het wel of niet een geestelijk construct zijn van getallen, de wiskunde zelf objectief is?

Getallen lijken mij een onderdeel van de wiskunde. Dus als getallen (wat ze ook mogen zijn) vrij te construeren zijn (dus niet zelf al objectief), is, al volgt de rest van de wiskunde uit die constructie, de wiskunde niet objectief. Staat het huis op een stevige fundering als de muren heel sterk zijn? Wat ook nog maar de vraag is natuurlijk. Want hoe 'objectief' is de logica? Als we toch aan het twijfelen zijn..

Maar dit is interessant wel. Wat zou het betekenen eigenlijk om een getal te construeren? Kun je een 23 consturen die geen priem is? Is dat wel een 23 dan? Zit in dat concept (of ding) waar met het cijfer '8' naar verwezen wordt, niet al besloten dat het even is, groter dan 7, kleiner dan 9, deelbaar door 2 en 4, het verschil van 29 en 21, etc. etc.

Vortex2 zegt -- behalve steeds 'welke' waar hij 'die' moet zeggen -- wel zo gemakkelijk dat als 'we' regels definieren pas de wiskunde onstaat, maar als je ook maar een cursory glance werpt op de geschiedenis van de wiskunde, zie je dat het zo niet ging. Formalisaties van 'intuitieve wiskunde' als Euclidische meetkunde en Peano aritmetiek zijn allemaal post-hoc, ontstaan nadát mensen al met vlakken en vermenigvuldiging aan het rommelen waren. Als je dat wiskunde pas ontstaat naar de formalisaties 'ergens van', doe je aan geschiedvervalsing. En daarbij, wát wordt er dan geformaliseerd (in regels gevat).

Hier uit kan je enkel concluderen dat het getal dat aan de fysieke structuur gekoppeld is, afhangt van het uitgangspunt. Of het daarmee iets is wat niet langer objectief is, betwijfel ik.

Precies. 'We kunnen niets weten van het Ding an Sich, dus anything goes'. Maar wat er dan 'goes' is toch afhankelijk van het Ding an Sich? Waar komt het anders vandaan?

[Lord Daemon]

Goed topic.

Verwijderd schreef op zondag 18 september 2005 @ 01:56:
Toch een stelling om de boel wat spannender te maken:

"De visie dat getallen een geestelijk construct zijn, is onacceptabel omdat wiskunde (misschien wel het laatste bastion!) objectief is (of, zou moeten zijn)."

Ik neem de handschoen op. Tegen-stelling: "Wiskunde is niet objectief, wat zich onder andere uit in het feit dat getallen een geestelijk construct zijn."

Wat betekent het voor gretallen om objectief te zijn? Laten we ons voor het gemak even beperken tot de natuurlijke getallen zoals zij in de rekenkunde voorkomen; en laten we ook zeggen dat deze getallen door de rol die ze in de rekenkunde spelen geheel gedefinieerd worden. Dan kunnen we zeggen dat getallen objectief zijn, en geen constructen van de geest, wanneer de rekenkunde objectief is. En de rekenkunde is objectief (dit lijkt mij althans een aanvaardbare definitie) wanneer ieder subject dat zich in een ideale epistemische situatie bevindt gerechtvaardigd is om precies dezelfde stellingen in de rekenkunde te accepteren en precies dezelfde stellingen te verwerpen.

Dan zou iemand kunnen zeggen dat getallen objectief zijn omdat iedereen toch altijd zal moeten accepteren dat 1 + 1 = 2, dat er oneindig veel priemgetallen zijn en dat 25 groter is dan 13. Niemand kan het daar mee oneens zijn wanneer hij nu eens goed naar de rekenkunde kijkt.


Een tegenargument dat niet werkt maar wel inzicht verschaft is het volgende: Stel dat er een wereld is waarin telkens wanneer iemand twee gelijkende voorwerpen bij elkaar in de buurt brengt, er spontaan eentje bijkomt. En wanneer iemand bij die drie voorwerpen dan weer een nieuw voorwerp brengt, ontstaan er onmiddellijk nog twee extra voorwerpen - alle getallen volgens onze eigen definities begrepen. Dan zal men op die wereld toch zeker zo rekenen: 1 + 1 = 3, 1 + 3 = 6, enzovoorts.

Dit kan heel wel het geval zijn: misschien dat zij deze activiteit 'optellen' noemen, en van ons optellen nog nooit gehoord hebben. Maar wij zouden toch geneigd zijn te zeggen dat dit niet bewijst dat er mogelijke werelden zijn waarin de rekenkunde niet geldt. Misschien dat voor deze mensen de rekenkunde niet zo nuttig is, omdat de relaties die erin zijn gedefinieerd niet fysisch voorkomen in hun wereld; maar de rekenkunde geldt wel degelijk. 1 + 1 = 3 is simpelweg onwaar, hoe de fysieke wereld zich ook gedraagt, omdat de betekenis van 1, +, = en 3 garandeert dat 1 + 1 = 3 onwaar is. Al wie toch 1 + 1 = 3 zegt begrijpt gewoon niet wat wij met die woorden bedoelen.

Het lijkt dus zinvol om argumenten die aangeven waarom wij tellen zoals we tellen vanuit onze concrete activiteiten terzijde te schuiven als nogal dubieus; als er objectiviteit in de wiskunde ligt heeft die meer te maken met betekenis.


Goed, zou men kunnen zeggen, de waarheid van wiskunde is puur een linguistische conventie. Als wij die woorden anders zouden gebruiken, zouden er andere waarheden zijn.

Dit is een nogal zwak argument: natuurlijk worden er andere zinnen waar zodra je woorden anders gaat gebruiken, maar de proposities die door de zinnen worden uitgedrukt zijn waar of onwaar onafhankelijk van hoe wij, mensen, de conventies van onze taal wensen in te richten. Wiskunde kan dus niet zomaar als conventioneel worden gebrandmerkt, want in laatste instantie richt zij zich op de proposities. Het zijn de van de taal en ons handelen onafhankelijke proposities die een eeuwige en objectieve waarheidswaarde hebben, en die proposities zijn wat wij onderzoeken in de wiskunde.

Zo komen we wel dicht bij een Platonisme, want proposities zijn abstract en ideeel.


Dus rijst de vraag of er wel zoiets als een propositie bestaat - alle afkeer tegen metafysische, non-empirische entiteiten zou zich hier toch tegen moeten richten. Wat is de propositie? Een kern van betekenis: datgene wat alle uitspraken ( in welk medium, in welke taal, in welke context dan ook) met dezelfde betekenis met elkaar gemeen hebben. Er bestaan dus proposities omdat uitspraken in groepen geordend kunnen worden waarin alle leden van een groep dezelfde betekenis hebben.

De wiskunde onderzoekt deze proposities, in laatste instantie door naar de (logische) relaties ertussen te kijken. Er zijn regels die op de proposities toegepast kunnen worden om andere proposities te krijgen (veelal worden zinnen als hulpmiddel gebruikt), en deze relaties blijken 'objectief' te zijn - wij vinden allen hetzelfde.

Maar dat betekent alleen de volgende dingen:
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over hoe we uitspraken willen groeperen naar 'betekenis'.
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over welke regels interessant zijn om te bestuderen.
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over wat het resultaat van het toepassen van een regel is.

Deze drie dingen zijn genoeg om de zogenaamde objectiviteit van de wiskunde te verklaren: als aan hen voldaan is, kan er een onderzoeksdomein ontstaan waarin iedereen, zelfs zonder naar de verschijnselen te kijken, het eens is over wat waar en wat onwaar is. Maar geen van deze drie punten garandeert werkelijke objectiviteit. Er is geen enkele reden om aan te nemen dat het onmogelijk is dat er een babylonische betekenisverwarring optreedt, waarin niet meer gecommuniceerd kan worden; of dat mensen hele andere regels interessant gaan vinden; of dat mensen die dezelfde regels gebruiken steeds op andere resultaten uitkomen; of dat zelfs een en dezelfde persoon met dezelfde regel steeds op andere resultaten uitkomt. Dat dit niet gebeurt is puur een empirisch feit. Het zou kunnen. Onze identiteitscriteria zouden kunnen verschillen van die van alle andere mensen - dag wiskunde! Toevallig is dat niet zo. Toevallig zijn wij het dus eens over wiskunde. Maar dat had niet gehoeven. En dus zijn getallen, gezien mijn criterium, niet objectief.


(Dit hele verhaal is een beetje uit een formalistisch standpunt geschreven, maar ik denk dat het mutatis mutandis net zo goed van toepassing is op wiskunde als manipulatie van imaginaire entiteiten in onze verbeelding.)

[Verwijderd]

Interessant verhaal Lord Daemon, je wijst heel terecht op betekenis en proposities. Alleen denk ik dat je je tegen-stelling niet goed verdedigt.

Je definieert eerst 'objectief':

En de rekenkunde is objectief (dit lijkt mij althans een aanvaardbare definitie) wanneer ieder subject dat zich in een ideale epistemische situatie bevindt gerechtvaardigd is om precies dezelfde stellingen in de rekenkunde te accepteren en precies dezelfde stellingen te verwerpen.
(emph. mine)

En dan nog een keer:

Er zijn regels die op de proposities toegepast kunnen worden om andere proposities te krijgen [..], en deze relaties blijken 'objectief' te zijn - wij vinden allen hetzelfde. (emph. mine)

Maar dat betekent alleen de volgende dingen:
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over hoe we uitspraken willen groeperen naar 'betekenis'.
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over welke regels interessant zijn om te bestuderen.
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over wat het resultaat van het toepassen van een regel is.

Deze drie dingen zijn genoeg om de zogenaamde objectiviteit van de wiskunde te verklaren: als aan hen voldaan is, kan er een onderzoeksdomein ontstaan waarin iedereen, zelfs zonder naar de verschijnselen te kijken, het eens is over wat waar en wat onwaar is. (orig. emph.)

En dan zeg je:

Maar geen van deze drie punten garandeert werkelijke objectiviteit.
(emph. mine)

Dus wat wil je nu eigenlijk laten zien? As it stands laat je zien dat je eerste definitie sterker is (blijkbaar wel 'werkelijk' objectief) dan de tweede definitie die je geeft, en op grond daarvan schiet je je tweede definitie af: de tweede definitie voldoet niet, want (gemakkelijk te bereiken) overeenstemming is geen werkelijke objectiviteit.

Nou ok, dan is het feit dat wij nú hetzelfde vinden (of gemakkelijk overeenstemming bereiken) geen garantie dat wij altijd hetzelfde zullen vinden (of gemakkelijk overeenstemming bereiken). Dat lijkt me geen verrassing. Maar volgt daar dan uit dat de wiskunde niet objectief is? Nee, tenzij je -- laat ik for the sake of argument maar meegaan met je eerste definitie -- OOK NOG aanneemt, dat we ons op dit moment, een moment waarop we zo gemakkelijk overeenstemming bereiken, in de (een) ideale epistemische situatie bevinden! En wat kan de ideale epistemische situatie anders zijn dan het weten van... alles (vooruit, alles wat wiskunde betreft).

Pas als we ons nu in een ideale epistemische situatie bevinden, zijn je beide definities gelijk aan elkaar, en betekent een verwerping van de tweede definitie een verwerping van de eerste. Quod non, dus non sequitur.

Wat is de propositie? Een kern van betekenis: datgene wat alle uitspraken ( in welk medium, in welke taal, in welke context dan ook) met dezelfde betekenis met elkaar gemeen hebben.

Alle tautologische uitspraken betekenen hetzelfde, right? (namelijk niets). A priori ware uitspraken zijn tautologieen, correct? Wiskundige stellingen die waar zijn, zijn a priori waar, dat klopt?

Dus: alle ware wiskundige stellingen betekenen hetzelfde, en dus, hebben ze -- tenminste -- 'een kern van betekenis' gemeen, en dus, drukken ze dezelfde propositie uit.

Maar ook contradictoire (a priori onware) uitspraken betekenen niets, en dus hetzelfde als de tautologieen.

Dus drukken álle wiskundige (welgevormde) stellingen (de onware en de ware) maar één, dezelfde, propositie uit: niets!

Hoe kan er dan verschil van mening bestaan in de wiskunde? Hoe kán de wiskunde dan niet objectief zijn? Iedereen vindt noodzakelijk hetzelfde!

Hihi.

We zijn van getallen naar rekenkunde naar proposities zijn gegaan, en nu komen we weer terug van die hopelijk leerzame excursie: waar gaat wiskunde (rekenkunde) over?

Over getallen? Dat kunnen we, op straffe van circulariteit, niet zeggen, als we gezegd hebben:

en laten we ook zeggen dat deze getallen door de rol die ze in de rekenkunde spelen geheel gedefinieerd worden.

Dus dit is het dilemma:
Zeggen we: 'Rekenkunde gaat over getallen', en leggen we uit wat getallen zijn,
of zeggen we: 'Getallen zijn gedefinieerd door hun rol in de rekenkunde', en leggen we uit wat rekenkundige stellingen betekenen?

Dit lijkt me een betrekkelijk hopeloos dilemma. Of kunnen we uitleggen 'wat voor rol getallen spelen' zónder ons te beroepen (of zonder ons problematisch te beroepen :-)) op de betekenis van dat waarín ze die rol spelen?

Sorry voor al die vraagtekens. Ik weet het werkelijk niet. Bij taal is het gemakkelijker, bij taal is er tenminste nog een werkelijkheid waar woorden naar verwijzen. Dus toch maar een ideeenrijk aannemen waar onze wiskundige uitspraken naar kunnen verwijzen? Het lijkt mij de beste oplossing tot nu toe. Denk ook aan de stelling van Gödel, bedoeld als argument in precies deze discussie. Als er stellingen bestaan die waar zijn, maar niet bewezen kunnen worden, dan MOETEN de constructivisten wel ongelijk hebben...

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op woensdag 21 september 2005 @ 04:13:
Dus wat wil je nu eigenlijk laten zien? As it stands laat je zien dat je eerste definitie sterker is (blijkbaar wel 'werkelijk' objectief) dan de tweede definitie die je geeft, en op grond daarvan schiet je je tweede definitie af: de tweede definitie voldoet niet, want (gemakkelijk te bereiken) overeenstemming is geen werkelijke objectiviteit.

Ik heb maar een definitie van objectiviteit gegeven - zoals je gezien zal hebben staat in het tweede stukje wat je van mij citeert 'objectief' tussen aanhalingstekens, en spreek is over 'zogenaamde objectiviteit'. Maar het had wel duidelijker gekund.

Wat ik wil laten zien is dat onze huidige situatie voldoende verklaard kan worden door dingen over wiskunde aan te nemen die geen objectiviteit garanderen. De praktijk van de wiskunde geeft ons dus geen reden om aan te nemen dat wiskunde objectief is. Daarmee is wat mij betreft de kous af: wanneer we Platoonse maatregelen niet nodig hebben om te begrijpen hoe de wiskunde werkt, dan vallen ze uiteraard af als onzinnige en fantastische hersenspinsels. Voor die instelling kan ik in laatste instantie geen argumenten geven; maar ik denk dat de meeste mensen met mij eens zijn dat een meer spaarzame ontologie beter is.

Nee, tenzij je -- laat ik for the sake of argument maar meegaan met je eerste definitie -- OOK NOG aanneemt, dat we ons op dit moment, een moment waarop we zo gemakkelijk overeenstemming bereiken, in de (een) ideale epistemische situatie bevinden!

Ik begrijp niet helemaal waarom ik hiertoe gecommiteerd zou zijn; en eigenlijk ook niet hoe het mij mogelijkerwijs zou kunnen helpen?

Alle tautologische uitspraken betekenen hetzelfde, right?

Nee. "2 + 2 = 4" betekent iets heel anders dan "er zijn oneindig veel priemgetallen", en alleen een of ander verificatiecriterium van betekenis kan ons iets anders laten denken. Tautologische uitspraken - voor zover er zoiets als een tautologie bestaat, waar mijn argument uiteraard vraagtekens bij zette - kunnen hele verschillende dingen betekenen.

Zeggen we: 'Rekenkunde gaat over getallen', en leggen we uit wat getallen zijn,
of zeggen we: 'Getallen zijn gedefinieerd door hun rol in de rekenkunde', en leggen we uit wat rekenkundige stellingen betekenen?

Maakt mij niet zoveel uit; wat het handigst is. Ik denk niet dat je een soort 'grondontologie' van de wiskunde kan ontdekken.

[Confusion]

Verwijderd schreef op maandag 19 september 2005 @ 00:19:
Will do. Al zou ik dat laatste deel willen schrappen. Wat precies een 'mogelijke wiskunde' is weet ik niet, en dat 'in dit universum' zou ik er ook niet bij willen zeggen. We willen toch niet zeggen dat, stel dat er een universum is waar 17 geen priemgetal is, dat aan dat universum ligt, m.a.w. dat plaats uitmaakt voor de waarheid van wiskunde.

Dat wil ik zeker zeggen. Onze wiskunde is alleen waar in ons universum. Naar het hele fysische universum uitbreiden is inductief te rechtvaardigen (dat doen we tenslotte met de natuurkunde ook), maar naar andere universa, no way. Er is veel te weinig over de mogelijke eigenschappen van een universum. In een universum waarin het opdelen van 17 stenen in 3 groepen je 3 groepen met 6 stenen oplevert (wie zegt dat massa behouden moet zijn?), is je wiskunde radicaal anders.

En wat is het verschil tussen de werkelijkheid, en de werkelijkheid zoals die zich aan ons voordoet? En wat heeft dat met wiskunde te maken?

Dat heeft met wiskunde te maken dat wij van nature de werkelijkheid in hoeveelheden aantallen indelen, terwijl dit vaak een arbitraire indeling is. Of 'de werkelijkheid' getalsmatig van aard is, is onbekend en dus kan je onmogelijk concluderen of getallen objectief zijn.

Maar I digress, in weze zeg je zoiets als wat Ranewen zegt?

Nee, want ik ontken dat je kan weten of wiskunde objectief is. Wiskunde kunnen we hooguit als objectief beschouwen door in de inductieval te trappen en dat doen we in feite met zijn allen, vrolijk en wel. Dit geldt overigens voor alles. Objectiviteit is net zoiets als het vat in Putnam's brain-in-a-vat. Ik heb Lord Daemons definitie nog niet goed bekeken, maar ik heb de indruk dat die dat probleem overwint, alleen kun je dan natuurlijk tot in de eeuwigheid doordiscussieren over 'de juiste' definitie van objectiviteit.

Kleine kinderen kunnen bijvoorbeeld, uhm, de ene knuffel niet van de andere knuffel onderscheiden, en kunnen daarom (filosofisch!) onmogelijk tellen.

OK, maar dat neemt niet weg dat ze het wel bijzonder makkelijk kunnen leren en dat suggereert dat er een soort aangeboren vermogen voor is, dat ze alleen moeten leren gebruiken. Maar dit was niet als argument vóór objectiviteit bedoeld. Meer als reden waarom het ons zo objectief voorkomt: het werkt.

[ Voor 3% gewijzigd door Confusion op 21-09-2005 15:09 ]

[Confusion]

OpifexMaximus schreef op maandag 19 september 2005 @ 00:42:
Desalniettemin zijn de fysieke structuur en het getal in jouw voorbeeld één op één aan elkaar gerelateerd op deze manier. Alleen door de objecten op andere manieren te classificeren, zou er een ambiguïteit geïntroduceerd worden.

Alleen de fysieke structuur zoals die ons voorkomt is één-op-één met een getal gekoppeld, in de taal. Ik ben ook geneigd te zeggen dat ergens 20 paddestoelen staan, terwijl het er technisch gezien maar één is. Hoe is het getal daar één op één aan een fysieke structuur gekoppeld in 'de werkelijkheid'? Volgens mij gewoon niet, of althans, indien zo, dan op onbekende en onkenbare wijze.

Hier uit kan je enkel concluderen dat het getal dat aan de fysieke structuur gekoppeld is, afhangt van het uitgangspunt. Of het daarmee iets is wat niet langer objectief is, betwijfel ik.

Volgens mij is dat zowat de definitie van subjectief: afhankelijk van het uitgangspunt.

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op woensdag 21 september 2005 @ 10:40:
De praktijk van de wiskunde geeft ons dus geen reden om aan te nemen dat wiskunde objectief is.

Nee, nee, maar nou en. Ook de natuurkunde geeft ons geen reden om aan te nemen dat morgen de hele boel ook nog klopt, dat wil toch niet zeggen dat we niet zouden willen dat de boel morgen nog klopt? Objectiviteit (volgens je eerste definitie) lijkt me een hele fijne eigenschap. Een eigenschap die best wel een extra aanname waard is. Maar daar verschillen we blijkbaar over van mening.

Ik begrijp niet helemaal waarom ik hiertoe gecommiteerd zou zijn; en eigenlijk ook niet hoe het mij mogelijkerwijs zou kunnen helpen?

Het ging om de equivalenties van je 2 (verschillende!) definities. Dat 'in een ideale epistemische toestand bevinden' was volgens mij het verschil (de tweede definitie had niet zo'n clausule). Dus, wil je kunnen zeggen dat een verwerping van de tweede definitie, een verwerping van 'werkelijke objectiviteit', betekent, dan moeten we ons in een situatie bevinden waarin de tweede definitie equivalent is aan de eerste (dan betekent in díe situatie, een verwerping van de 2e, een verwerping van de 1e), en dus, dat je moet aannemen, dat ook aan die extra clausule die de 1e definitie stelt, voldaan is .

Het gaat om hoeveel je wilt zeggen: of je wilt bewijzen dat de wiskunde niet 'werkelijk' objectief is, of of je alleen maar wilt laten zien dat we niet wéten of de wiskunde 'werkelijk' objectief is. Als je tevreden bent met dat laatste, ben je inderdaad niet gecommitteerd aan die extra aanname over 'ideale epistemische toestanden'.

Nee. "2 + 2 = 4" betekent iets heel anders dan "er zijn oneindig veel priemgetallen"

Dat zou je zeggen heh, maar zijn het tautologieen? En hoe kán het dat tautologieen verschillende dingen kunnen betekenen? Ze zéggen toch hetzelfde?

Maar natuurlijk, je kunt zeggen 'twee stellingen (formules) betekenen hetzelfde als ze naar elkaar om te schrijven zijn' (bv. of dacht je aan iets anders?). En als we de vraag wát ze dan betekenen, even uitstellen, zijn we er dan al niet? Dus: getallen, operatoren, etc. (?) zomaar, betekenen niets, formules betekenen hetzelfde als andere formules als die formules naar elkaar te herschrijven zijn... De rollen die getallen, operatoren vervolgens spelen in die formules, geeft ze hun betekenis (dus alleen binnen het systeem). En voordat we weten wat voor rol getallen en operatoren spelen, onderscheiden ze zich van elkaar, alleen maar doordat ze ánders zijn: de plus is anders dan de 6 is anders dan de 8.

Gelukkig, dank je wel :-) Ik wist dat ik wat mistte gisternacht, en een (soort van) betekenistheorie voor formules was het. En nu begrijp ik ook beter waarom er geen spanning is tussen Frege's contextbeginsel en zijn compositionaliteitsbeginsel: betekenis van zinnen is iets heel ánders (een ander sóórt betekenis) dan betekenis van woorden.

voor zover er zoiets als een tautologie bestaat, waar mijn argument uiteraard vraagtekens bij zette

Oh ja? Waarom?

[Verwijderd]

Confusion schreef op woensdag 21 september 2005 @ 13:51:
In een universum waarin het opdelen van 17 stenen in 3 groepen je 3 groepen met 6 stenen oplevert (wie zegt dat massa behouden moet zijn?), is je wiskunde radicaal anders.

Niemand zegt dat massa behouden moet zijn. Maar ten eerste gaat wiskunde niet over massa, en ten tweede, zoals Lord Daemon's vergelijkbare voorbeeldje liet zien, ik weet niet wat je doet als je 17 stenen in 3 groepen van 6 stenen verdeelt, maar delen is het niet.

En trouwens, ik kan, in dit universum, best operator definieren die Confusion-deelt.

Dat heeft met wiskunde te maken dat wij van nature de werkelijkheid in hoeveelheden aantallen indelen, terwijl dit vaak een arbitraire indeling is.

Die indeling is helemaal niet arbitrair. Er moet, in de werkelijkheid iets zijn, op basis waarvan we tellen/indelingen maken. Tenzij je gelooft dat uit ruis (geen informatie), informatie gemaakt kan worden, zul je moeten accepteren dat er een of andere structuur in de werkelijkheid is die zorgt voor de intersubjectiviteit en betrekkelijke stabiliteit van ons beeld van de werkelijkheid. Het is gewoon onvoorstelbaar dat, zoals de oude idealisten dachten, we 'onze werkelijkheid' ex nihilo verzinnen.

Ik ben ook geneigd te zeggen dat ergens 20 paddestoelen staan, terwijl het er technisch gezien maar één is.

Het is een beetje een Bill Clinton-isme, maar het hangt af van wat je met het woord 'paddestoel' bedoeld. Je kunt prima paddestoelen plukken, en als je dan één paddestoel plukt, dan is dat zo'n dingetje met een hoed en een steeltje. Een analogie met vruchten gaat voor een heel groot deel op.

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op woensdag 21 september 2005 @ 14:21:
Objectiviteit (volgens je eerste definitie) lijkt me een hele fijne eigenschap. Een eigenschap die best wel een extra aanname waard is. Maar daar verschillen we blijkbaar over van mening.

Het lijkt een fijne eigenschap, totdat je bedenkt dat je daarvoor Platonist moet worden. Laat wie tegenwoordig nog kan geloven dat de werkelijkheid de structuur van het denken spiegelt vooral zijn gang gaan en Platonist worden, maar voor mij is dat onmogelijk; zoals het voor mij ook onmogelijk is om nog in god te geloven. Dit is geen argument. Zoals ik al zei, ik denk ook niet dat je dit punt kan beslissen met argumenten.

Het ging om de equivalenties van je 2 (verschillende!) definities.

Ik heb geen twee definities gegeven. Ik heb 1 definities gegeven, en later in mijn post heb ik een lijstje gegeven van dingen die we volgens mij mogen concluderen uit een empirische beschouwing van de wiskundige praktijk. Mijn punt is dat dat lijstje niet genoeg is om aan de definitie te voldoen, terwijl het wel een voldoende verklaring voor de praktijk levert. Daaruit concludeer ik dat we Platonisme niet nodig hebben, en zeg ik good riddance.

Ik zou geen moment willen beweren dat mijn lijstje en mijn definitie hetzelfde zijn; sterker nog, dat zou mijn argument juist weerleggen.

Dat zou je zeggen heh, maar zijn het tautologieen? En hoe kán het dat tautologieen verschillende dingen kunnen betekenen? Ze zéggen toch hetzelfde?

Helemaal niet, hoe kom je daar bij? Een tautologie is waar van elke mogelijke wereld; maar dat betekent alleen maar dat hij niets zegt wanneer je betekenis definieert in termen van klassen van mogelijke werelden.

Betekenis lijkt mij echter ites veel concreters. Ik heb een voorstelling bij het getal 2, en bij het getal 4, en bij optellen en bij gelijkstellen - en het zijn die voorstellingen en hun relaties die de betekenis die de zin '2 + 2 = 4' voor mij heeft bepalen. De voorstellingen die een rol spelen bij het beschouwen van de zin 'er zijn oneindig veel priemgetallen' zijn hele andere, en dus is de betekenis van die zin heel anders.

Oh ja? Waarom?

Wanneer, conform mijn claim, de mogelijkheid van wiskunde niets meer dan een empirisch feit is, is ook de mogelijkheid om van een tautologie te spreken niets meer dan een empirisch feit. Alleen omdat mensen toevallig regels kunnen afspreken die ze allemaal hetzelfde kunnen toepassen, en steeds met hetzelfde resultaat, hebben wij zoiets als een tautologie: iets dat 'eeuwig' en 'niet-empirisch' en 'objectief' waar is. Maar wanneer het volgen van regels ineens die handige intersubjectiviteit en intertemporaliteit zou verliezen, zouden we ook geen tautologieen meer hebben.

Maar als de tautologischheid van een uitspraak een empirisch gegeven is, dan is er in strikte zin geen sprake meer van een tautologie.

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op donderdag 22 september 2005 @ 00:09:
Het lijkt een fijne eigenschap, totdat je bedenkt dat je daarvoor Platonist moet worden.

Ach... :-)

Mijn punt is dat dat lijstje niet genoeg is om aan de definitie te voldoen, terwijl het wel een voldoende verklaring voor de praktijk levert. Daaruit concludeer ik dat we Platonisme niet nodig hebben, en zeg ik good riddance.

Nee inderdaad, we hebben Platonisme niet nodig als we niet willen zeggen dat de wiskunde 'eerste-definitie-objectief' (dus met ideale epistemische toestanden) is. Dat lijkt me nogal logisch...

Mijn punt was, dat zeggen dat we Platonisme niet nodig hebben omdat de wiskundige praktijk geen aanleiding geeft om te denken dát de wiskunde objectief is, iets heel anders is dan je 'tegen-stelling':

Wiskunde is niet objectief, wat zich onder andere uit in het feit dat getallen een geestelijk construct zijn.

Volgens je stelling zou je moeten betogen:
"Wiskunde is niet objectief -> (o.a.) getallen zijn een geestelijk construct."

Je betoogt wérkelijk:
"Uit de praktijk volgt niet dat wiskunde per se objectief is -> Platonisme is niet nodig."

Dat wat je werkelijk betoogt zal wel waar zijn natuurlijk, maar ik verwachtte iets anders van een betoog dat begint met:

Ik neem de handschoen op. Tegen-stelling: "Wiskunde is niet objectief, wat zich onder andere uit in het feit dat getallen een geestelijk construct zijn."

Nou ja. Verder:

maar dat betekent alleen maar dat hij niets zegt wanneer je betekenis definieert in termen van klassen van mogelijke werelden.

Of met behulp van 'states of affairs' zoals je weet. Of met een beroep op hun methode van verificatie. Of met behulp van falsificeerbaarheid. En er zijn nog wel meer trucs te bedenken, I suppose. Er zijn dus verschillende theorieen van betekenis waarin tautologieen helemaal niets zéggen. Dat is helemaal geen vergezocht of exotisch idee. Wat zou jij willen dat tautologieen betekenen?

Betekenis lijkt mij echter ites veel concreters. Ik heb een voorstelling bij het getal 2, en bij het getal 4, en bij optellen en bij gelijkstellen - en het zijn die voorstellingen en hun relaties die de betekenis die de zin '2 + 2 = 4' voor mij heeft bepalen.

Dat is een woordspelletje: 'voorstelling' en 'betekenis' zijn practisch synoniem. Wat een antwoord is op de vraag "Wat betekent '2'?" is een antwoord op de vraag "Wat stelt '2' voor?".

En los daarvan, maak je wiskundige betekenis volkomen idiosyncratisch. En niet eens idiosyncratisch omdat iedereen zijn eigen regels volgt, maar idiosyncratisch omdat de betekenis van de wiskunde volgt uit persoonlijke (presumably?) 'voorstellingen'! Man, je kunt het net zo goed over je 'gevoel' bij 2 hebben!

Alleen omdat mensen toevallig regels kunnen afspreken die ze allemaal hetzelfde kunnen toepassen, en steeds met hetzelfde resultaat, hebben wij zoiets als een tautologie: iets dat 'eeuwig' en 'niet-empirisch' en 'objectief' waar is.

Ik vind dit toch wel een rare opvatting hoor. Als de wiskunde mij meer kon schelen, zou ik het een fundamentele misvatting noemen zelfs.

Je zal het met me eens zijn dat áls we iets een tautologie vinden, die tautologie niet contingent is (want anders hebben we een contradictio in terminis). Blijft over: iets als p \/ ~p géén tautologie vinden. En op grond waarvan? Op grond van de mogelijkheid dat iemand op een ochtend wakker wordt en een waarheidstabel random invult? Zo bijvoorbeeld:

p	\/	~	p
#	@	!	%
*	W	x	@
&	Q	:	#
~	!	*	w

Punt is, om die 'empirische mogelijkheid' -- als je een random ingevulde waarheidstabel zo wilt noemen -- gáát het helemaal niet in de wiskunde! En als je denkt dat een random ingevulde waarheidstabel voor íets wiskundigs ook maar mógelijk een bewijs is, wel, dan uhm, vind ik dat toch wel erg, uhm, gek.

Is er misschien een wiskundige in de zaal?

[Confusion]

Verwijderd schreef op donderdag 22 september 2005 @ 00:01:
Niemand zegt dat massa behouden moet zijn. Maar ten eerste gaat wiskunde niet over massa

Wiskunde gaat over het opdelen in gelijke eenheden van (onze waarneming van) de werkelijkheid. De werkelijkheid bevat, buiten een concept in de menselijke hersenen, geen getallen. Wat voor zijnsstatus zouden die in vredesnaam moeten hebben? Wiskunde gaat daarom welzeker over fysieke voorwerpen. Daarom kunnen we tellen, om die te ordenen in categorieën van 'deze zijn hetzelfde en het zijn er zoveel'.

En trouwens, ik kan, in dit universum, best een operator definieren die Confusion-deelt.

Prima, dan verzinnen we een complexer voorbeeld. Welke reden heb jij om aan te nemen dat er geen pathologisch universum denkbaar is, waarin wiskunde iets totaal anders is dan het hier is? Je bent het toch met me eens dat het betekenisloos is te spreken over een absolute werkelijkheid, dat je nooit kan aantonen dat 'de werkelijkheid' getalsmatig van aard is -- wat dat ook precies moge betekenen -- en dat getallen dus niet aantoonbaar méér zijn dan een menselijke constructie? Dan is het is dan toch je reinste antropocentrisme om onze wiskunde tot de wiskunde van alle mogelijke universa te verheffen?

Die indeling is helemaal niet arbitrair. Er moet, in de werkelijkheid iets zijn, op basis waarvan we tellen/indelingen maken.

Tjah, dat is begging the question. Nee, er is in de werkelijkheid niets op basis waarvan tellen en indelingen. Je kan tafels tellen, terwijl ondefinieerbaar is wat een tafel is. Wat is het iets in de werkelijkheid dat voor ons een tafel afbakent? Tenzij je nu wilt beweren dat er voor bijvoorbeeld een fundamenteel deeltje iets anders geldt dan voor een tafel, iets waarmee ik het pertinent oneens moet zijn, hoe schijnbaar identiek fundamentele deeltjes ook zijn, zijn zelfs fundamentele deeltjes niet noodzakelijk telbaar.

Tenzij je gelooft dat uit ruis (geen informatie)

Ontkennen dat er iets concreet aanwijsbaars is op basis waarvan geteld wordt impliceert nog niet dat er dan alleen maar ruis is. Er is ongeordende informatie en wij ordenen die, op totaal arbitraire wijze, door te tellen. Tenzij je nu wilt beweren dat er fundamentele eenheden van informatie zijn die identiek zijn, iets waarvan ik niet inzie hoe je het in vredesnaam hard kan maken, kunnen we niet anders dan concluderen dat de ordening arbitrair is.

Het is gewoon onvoorstelbaar dat, zoals de oude idealisten dachten, we 'onze werkelijkheid' ex nihilo verzinnen.

Wat is daar onvoorstelbaar aan? Dat doen allerlei hallucinerende mensen toch ook? Wie ben jij om jouw waarneming boven die van een hallucinerend persoon te verkiezen? Alleen omdat de meeste andere mensen hetzelfde menen waar te nemen? Onze hersenen zijn niet gemaakt voor interpretatie van de wereld.

Het is een beetje een Bill Clinton-isme, maar het hangt af van wat je met het woord 'paddestoel' bedoeld. Je kunt prima paddestoelen plukken, en als je dan één paddestoel plukt, dan is dat zo'n dingetje met een hoed en een steeltje.

Dat neemt niet weg dat er op geen enkele manier een bepaald getal aan de fysieke structuur gekoppeld is. Je kan er net zo goed het getal 1 als het getal 20 aan verbinden, met een ander opvolgend woord. Ik begrijp niet wat dat zou moeten betekenen, een getal één-op-één koppelen met een fysieke structuur. Vortex2 beargumenteerde dat het getal 'drie' een andere zijnsstatus dan het getal 'Pi' zou hebben en ik bestrijd dat op grond hiervan.

[ Voor 3% gewijzigd door Confusion op 22-09-2005 05:51 ]

[Verwijderd]

Confusion schreef op donderdag 22 september 2005 @ 05:50:
De werkelijkheid bevat, buiten een concept in de menselijke hersenen, geen getallen. Wat voor zijnsstatus zouden die in vredesnaam moeten hebben?

Dat is dus de vraag.

Wiskunde gaat daarom welzeker over fysieke voorwerpen.

Nee! We kunnen fysieke voorwerpen tellen, maar dat maakt het onderwerp van de wiskunde nog niet de fysieke voorwerpen!

Daarom kunnen we tellen, om die te ordenen in categorieën van 'deze zijn hetzelfde en het zijn er zoveel'.

Preciezer: deze zijn van dezelfde soort en verschillen van elkaar.

Dan is het is dan toch je reinste antropocentrisme om onze wiskunde tot de wiskunde van alle mogelijke universa te verheffen?

'Onze' wiskunde? Wij 'hebben' helemaal geen wiskunde. We zijn misschien op de hoogte van een aantal delen van de wiskunde, en we vinden bepaalde delen interessanter dan andere, maar dat maakt dat wat we weten nog niet alles, en al helemaal niet van 'ons'. Dát is antropocentrisme, inderdaad.

Wat is het iets in de werkelijkheid dat voor ons een tafel afbakent?

Het is grappig, want hier ging mijn scriptie over. Wist je dat daar maar heel weinig over geschreven is? De oude discussie gaat tussen mensen die zeggen: 'objecten zijn in de werkelijkheid' en mensen die zeggen: 'objecten zijn menselijke verzinsels.'

Er staan maar weinig mensen stil bij de vraag of er een basis nodig is om objecten te kunnen construeren, en wat die basis dan kan zijn. Brian Cantwell Smith is misschien een uitzondering met zijn boek 'On the Origin of Objects', maar omdat ik bang was dat hij dingen zou zeggen die ik zou willen zeggen heb ik dat nog niet gelezen (even door de conclusie gebladerd; ik geloof niet dat we hetzelfde doen). Trouwens, erg goed ontvangen was het boek dus, dus veel zal ik er niet aan gemist hebben. Ho-hum, scientist me.

Daar zal ik het maar bij laten, want niet alleen gaan we anders teveel off-topic, ik ben ook een beetje huiverig om teveel origineel onderzoek op een internetforum te verklappen.

Alleen nog even een Wittgenstein citaat:

4.0412 For the same reason the idealist's appeal to 'spatial spectacles' is inadequate to explain the seeing of spatial relations, because it cannot explain the multiplicity of these relations.

hoe schijnbaar identiek fundamentele deeltjes ook zijn, zijn zelfs fundamentele deeltjes niet noodzakelijk telbaar.

Jeah, maar dat is deels het punt dus: identieke dingen kun je niet tellen.
Hoe dan ook, wees maar niet bang, extra fundamentele deeltjes zijn niet nodig :-).

Er is ongeordende informatie en wij ordenen die

Ongeordende informatie is een contradictio in terminis. Tenzij, je informatie hébt over op welke manier geordend moet worden, maar dan is de manier van ordening niet meer arbitrair.

Dat doen allerlei hallucinerende mensen toch ook?

Nee nee! Hallucinaties hebben een *basis*, een basis in de verlangens van de mens, een basis in de emotionele toestand van iemand, etc. etc. maar vooral ook een basis in de werkelijkheid. Denk aan een fata morgana: dat iemand een oase ziet, komt door zijn dorst, dat iemand een oase ziet, komt door trillende lucht.

Onze hersenen zijn niet gemaakt voor interpretatie van de wereld.

Je schreef eerder:

Waar komt dat kenvermogen vandaan? Blijkbaar is het evolutionair gunstig in hoeveelheden te denken.

Denk je dan ook niet dat het evolutionair gunstiger is om een leeuwig deel van de werkelijkheid te interpreteren dan te verzinnen?

Als onze hersenen niet zo ontwikkeld zijn dat ze de wereld interpreteren, wat in 's hemelsnaam doen ze dan de hele (ok, halve) dag?

Dat neemt niet weg dat er op geen enkele manier een bepaald getal aan de fysieke structuur gekoppeld is. Je kan er net zo goed het getal 1 als het getal 20 aan verbinden,

Nee, niet 2 getallen aan één fysieke structuur, maar 2 getallen aan 2 fysieke structuren.
Je bent volgens mij trouwens de eerste idealist die het woord 'fysieke structuur' gebruikt.

Vortex2 beargumenteerde dat het getal 'drie' een andere zijnsstatus dan het getal 'Pi' zou hebben en ik bestrijd dat op grond hiervan.

Ok, nu moeten we even precies zijn over wie met wie waarover discussieert.

Ik denk niet dat de betekenis van getallen in de 'fysieke structuur' ligt. Ik denk dat die fysieke structuur (soms) aanleiding geeft om daar getallen op toe te passen. Dat is waar mijn discussie met jou nu over gaat, volgens mij: jij denkt dat die toepassing van getallen arbitrair is, ik denk van niet.

Ik denk ook niet dat het voor de ontologische status van getallen uitmaakt dat sommige getallen wél, en andere níet toegepast kunnen worden op de werkelijkheid. Nou ja, het maakt in zoverre uit, dat als e, pi en i geen fysieke representatie hebben, dat je niet meer kan zeggen dat de wiskunde verwijst naar de werkelijkheid, immers, een deel van de wiskunde verwijst dan niet naar de werkelijkheid.

[Verwijderd]

Even wat (schijnbaar) losse opmerkingen. Ik vind dit een lastige vraag, onontwarbaar verbonden met een aantal andere kwesties die ik niet heb opgelost, i.h.b.de status van voorwerpen, eigenschappen en relaties.

Stellen we dat voorwerpen telbaar zijn, ook zonder verder identificatiecriterium: Onderscheiden wij voorwerpen, dan is daarmee ook de mogelijkheid van tellen gegeven, of die voorwerpen nu 'geestelijke constructen' zijn, dan wel... 'objectief'. Tellen van voorwerpen veronderstelt zowel de mogelijkheid van de tautologie als de onmogelijkheid van de contradictie. We kunnen dus goed (tautologisch) of fout (contradictoir) tellen. Waar of onwaar volgen uit de vorm van de 'telkundige' propositie (maar zijn in eerste instantie ook te herleiden tot de voorwerpen zelf).

De vraag naar de objectiviteit van de rekenkunde betreft dus op het eerste gezicht een categoriefout. De rekenkunde is een stelsel van (tel-)regels en van regels kunnen we niet zeggen dat ze subjectief of objectief zijn. Die termen gebruiken we alleen relatief aan (een stelsel van) regels. Objectief is dan de waarheid van iedere propositie waarvan die waarheid onafhankelijk van het subject kan worden bepaald - overeenstemming met de regels dus, en niet met (het oordeel van) andere subjecten, zoals LD's objectiviteitscriterium lijkt te suggereren zolang hij 'gerechtvaardigd' niet uitwerkt.

Maar met de objectiviteit van getallen zoals in de topicstart, wordt iets anders bedoeld dan dat de proposities van de rekenkunde gevormd zijn a.h.v. bepaalde regels waardoor de waarheid van een propositie is te bepalen onafhankelijk van het (kennende, metende, tellende etc.) subject. Men bedoelt (vermoedelijk) dat de rekenkunde onafhankelijk van de menselijke geest bestaat, dat getallen en operatoren geen conventies zijn, maar 'bestaan' in de werkelijkheid (in Platonië, of een ander ideeënrijk). Metafysisch restafval dat alleen archeologische nieuwsgierigheid zou moeten kunnen wekken, dunkt me.

Maar daarmee is het probleem van de ontologische status van de rekenkunde niet opgelost. Want wanneer we de mogelijkheid van tellen (dus rekenen etc.) beschouwen als eigenschap van voorwerpen, en voorwerpen niet zien als 'menselijke constructen' (deze vraag laten we maar even open), dan is het tellen (dus het rekenen) een eigenschap (mogelijkheid) van het universum. We kunnen ons ook geen buitenaardse intelligentie voorstellen die wel rekenkunde kent (kan tellen en getallen manipuleren), maar niet 1+2=3 kan zeggen.

Dit wil niet zeggen dat getallen niet abstract en ideeel zijn. Maar menselijke constructen, zoals middeleeuwen, liefde of landsgrenzen zijn het evenmin (en wiskundig onderzoek leert ons ook niets over de menselijke geest) Hun ontologische status is misschien vergelijkbaar met die van kleuren (en uitbreidbaar tot die van proposities?)

[Lord Daemon]

bashj

Dat mijn betoog niet is afgerond, is uiteraard waar. Ik heb dan ook geen essay of artikel geschreven, maar meng mij in een gesprek - en in een gesprek hoef je niet onmiddellijk alles te zeggen en uit te werken; sterker nog, het is eerder een teken van respect wanneer je de ander aan het woord laat tijdens je eigen uiteenzetting, want daarmee geef je aan dat het juist de dialoog is waar de beste gedachten uit voort komen.

Ik heb het idee dat wij allemaal teveel gewend zijn aan het essay, de verhandeling, het artikel en het boek om nog een goede dialoog te kunnen voeren; maar we kunnen het allicht proberen. Laten we dus verder ingaan op de punten waar jij de aandacht op vestigde. Dat zijn er volgens mij vier: 1) de vraag hoe mijn verhaal tot nu toe tot een verwerping van de wiskunde als objectief leidt; 2) de vraag of 'voorstelling' iets anders is dan 'betekenis'; 3) de vraag naar de betekenis van een tautologie; en 4) de noodzakelijke waarheid van de tautologie.

Verwerping van de objectieve wiskunde

Jouw reconstructie van mijn stelling is natuurlijk niet correct: als ik wil betogen dat de wiskunde niet objectief is (en dat dit zich onder andere uit in het feit dat getallen mentale constructen zijn), dan is dat iets heel anders dan betogen dat uit de niet-objectiviteit van wiskunde volgt dat getallen mentale constructen zijn.

In de tweede plaats misinterpreteer je mijn claim dat voor een verklaring van de wiskundige praktijk geen Platonisme nodig is, doordat je hem weergeeft als "wanneer we geen objectieve wiskunde willen hebben we gene Platonisme nodig". Het laatste is triviaal, het eerste is dat absoluut niet: het argument dat voor Platonisme wordt aangevoerd door haar aanhangers is dat alleen het Platonisme begrijpelijk maakt hoe de wiskunde werkt. Als je met me eens bent dat we de wiskunde kunnen begrijpen zonder een transcendent rijk van wiskundige entiteiten aan te nemen, dan heb ik volgens mij de Platonist al zo goed als verslagen. Zijn beste argument is weg; en wat heeft hij verder nog over om mij te overtuigen van zoiets onwaarschijnlijks als transcendente entiteiten?

Wat ik doe is de bal terugspelen naar degenen die objectiviteit willen verdedigen. Met inference to the best explanation kom je er niet!, zeg ik ze. Waarmee kom je er dan wel?

Voorstelling en betekenis

Je claim dat 'voorstelling' en 'betekenis' practisch synoniem zijn; dit vind ik een hele bizarre claim. Een voorstelling is mentaal 'voorwerp', dat ik kan hebben of niet kan hebben, dat ik kan veranderen, waar ik transformaties op kan toepassen om tot andere voorstellingen te komen, dat ik met de werkelijkheid kan vergelijken, en dergelijke. Een betekenis is - tja, dat is lastig te zeggen, maar in ieder geval is het niet een mentaal 'voorwerp'; het is een eigenschap die een taaluiting heeft (gedeeltelijk) door zijn inbedding in een praktijk van communicatie.

Laat ik een voorbeeld geven. Stel je eens een huis en een boom voor, die naast elkaar staan. Heb je die voorstelling? Ja? Ok, vertel mij dan nu: staat het huis links of recht van de boom?

Dat is een vraag die je kan beantwoorden. Maar het is volkomen duidelijk dat er niets in de betekenis van 'huis' of 'boom' of 'huis naast een boom' is dat iets met links of rechts te maken heeft. Een voorstelling is dus iets heel anders dan een betekenis. (Ik wil met dit voorbeeld trouwens niet de indruk wekken dat elke voorstelling de vorm van een visuele indruk heeft. Dat hebben alleen sommige voorstellingen.)

Betekenis van de tautologie

Wanneer iemand mij vraagt of ik begrijp dat '2 + 2 = 4' waar is, zeg ik 'ja', omdat ik een bepaalde voorstelling kan oproepen waar dit onmiddellijk uit blijkt. Wanneer iemand mij vraagt of ik begrijp dat '1 + 3 = 4' waar is, zeg ik ook 'ja', en om dezelfde reden - maar er speelt hier een andere voorstelling een rol! En dus kunnen deze twee dingen niet hetzelfde betekenen. Als hetzelfde hadden betekend hadden ze toch moeilijk een andere mentale inhoud bij mij kunnen opwekken.

Stel dat elke tautologie hetzelfde betekent. Dan ben je gecommiteerd aan de volgende claim: elke wiskundige stelling die waar is, maar waarvan wiskundigen dat nog niet weten, is een stelling waarvan ze de betekenis niet snappen.

Immers, zodra ze inzien dat het Goldbach-vermoeden dezelfde betekenis heeft als "2 + 2 = 4" (stel dat dit theorema waar is) zullen ze toch ook wel zien dat de stelling waar is. Maar ze zien nog niet dat dat vermoeden waar is, dus ze begrijpen simpelweg niet wat het betekent.

En dat lijkt me volkomen onwaar. Het is overduidelijk wat het vermoeden van Goldbach betekent: niets meer en niets minder dan dat elk even getal groter dan twee als de som van twee priemgetallen geschreven kan worden. Simpel. Helder. Duidelijk. Ik weet niet of het waar is, maar ik snap wat het vermoeden zegt. Ik zit er niet naar te kijken en me af te vragen "wat betekent dit in godsnaam?". En vooral betekent het niet hetzelfde als "2 + 2 = 4", en ook niet hetzelfde als "1 = 0".

Noodzakelijke waarheid van de tautologie

Ik claim een van de volgende twee dingen; welke maakt me niet uit, dat hangt ervan af wat je het mooiste taalgebruik vindt. "Niets is een tautologie." "De waarheid van elke tautologie is contingent."

Wij hebben bepaalde gronden om iets een tautologie te noemen; om precies te zijn hebben wij bepaalde procedures die we op een zin toepassen om te kijken of het een tautologie is of niet. Die procedures zijn causale processen in onze wereld. Dat ze werken zoals ze werken is contingent. Maar ze zijn de enige reden die we hebben om aan te nemen dat iets een tautologie is.

Hoe je dan ooit kan besluiten dat iets een noodzakelijke waarheid is ontgaat me. (Hoe zelfs maar de notie van 'noodzakelijkheid' een rol gaat spelen ontgaat me.)


PS.

Waarom wordt er op een Nederlands forum Wittgenstein geciteerd in het Engels?

[ Voor 4% gewijzigd door Lord Daemon op 23-09-2005 14:38 ]

[Verwijderd]

Confusion schreef op donderdag 22 september 2005 @ 05:50:

[...]

Dat neemt niet weg dat er op geen enkele manier een bepaald getal aan de fysieke structuur gekoppeld is. Je kan er net zo goed het getal 1 als het getal 20 aan verbinden, met een ander opvolgend woord. Ik begrijp niet wat dat zou moeten betekenen, een getal één-op-één koppelen met een fysieke structuur. Vortex2 beargumenteerde dat het getal 'drie' een andere zijnsstatus dan het getal 'Pi' zou hebben en ik bestrijd dat op grond hiervan.

Ik kan even niet achterhalen wat ik in deze context geschreven heb maar op gevoel af heb ik, dacht ik, iets anders gezegd. Maar goed, de discussie is inmiddeld boven mijn hoofd uitgestegen vanwege de logische formaliteiten die er gebruikt worden.

Wat betreft de getallen 3 en pi zie ik ze alleen als verschillend in de zin dat pi trancedentaal is en 3 niet. Als een getal passen beide op de numberlijn, en behoren ze in deze familie.

Zonder er al te diep in te duiken stel ik dat 3 als binair getal 11 fundamenteel niet veranderd en als je pi in binaire vorm gaat schrijven . . . 11,1.100.10.xxxxxx. . . (Gaat dat zo? Ik weet even niet meer hoe dat gaat), dan blijft het trancedentaal. Het is naar zover ik weet zo dat getallen hun fundamentele karakter niet verliezen als ze getransformeerd worden naar een andere basis. . .Als we als gemiddelde ( ) * * * * * * * * vingers zouden hebben dan hadden we een octaal getallenstelsel bedacht. . .ik heb pas nog een reportage gezien over een man die 12 functionele vingers had. Of ie op school een probleem had met tellen werd voor zover ik weet niet gemeld. Het lijk me overigens wel logish dat alle getallen hun eigenschappen behouden als je ze naar een andere basis transformeerd zodat D2^1/2 en B10^1/2 volledig identiek zijn. . . toch?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 22 september 2005 @ 23:06:
Tellen van voorwerpen veronderstelt zowel de mogelijkheid van de tautologie als de onmogelijkheid van de contradictie. We kunnen dus goed (tautologisch) of fout (contradictoir) tellen.

Ik begrijp dat je bedoelt dat als er vier knikkers zijn, en ik tel ze: 'vier', dat dat 'tautologisch tellen' is, en dat als er vijf knikkers zijn, en ik tel ze: 'vier', dat ik dan 'contradictoir tel'? Is dit geen categoriefout? Of iets een tautologie is of een contradictie lijkt mij -- per definitie -- afhangen van alleen de propositie, niet van een overstemming (oid) van de propositie met de werkelijkheid. Om a posteriori waar/onwaar gelijk te stellen aan tautologisch/contradictoir vind ik wat ver gaan, en is in ieder geval een grotere stap dan je doet vermoeden als je alleen maar zegt 'tellen van voorwerpen veronderstelt zowel de mogelijkheid van tautologie als de onmogelijkheid van de contradictie'. Sure, tellen veronderstelt de mogelijkheid van waarheid en onwaarheid, maar zegt, volgens mij, niets over de mogelijkheid van a priori waarheid (wat ik voor het gemak maar even gelijkstel aan 'tautologie').

De rekenkunde is een stelsel van (tel-)regels en van regels kunnen we niet zeggen dat ze subjectief of objectief zijn. Die termen gebruiken we alleen relatief aan (een stelsel van) regels.

Hmm, is dat zo? Maar surely ieder stelsel van regels bestaat relatief aan een ander stelsel van regels dat regelt hoe de regels geinterpreteerd moeten worden.

Men bedoelt (vermoedelijk) dat de rekenkunde onafhankelijk van de menselijke geest bestaat, dat getallen en operatoren geen conventies zijn, maar 'bestaan' in de werkelijkheid (in Platonië, of een ander ideeënrijk). Metafysisch restafval dat alleen archeologische nieuwsgierigheid zou moeten kunnen wekken, dunkt me.

Ach 'in Platonië' is alleen maar een antwoord op de vraag "Als getallen niet 'in' de menselijke geest bestaan, waar bestaan ze dan?". En omdat je heel goed kunt twijfelen aan de zin van 'in de menselijke geest' als plaatsbepaling, en/of aan de relevantie van een waar-vraag in het geval van abstracta (al is het handig om dingen 'abstract' te kunnen noemen, omdat ze in een ideeenrijk bestaan), is jouw soort scepticisme mbt ideeenrijken wel een beetje gemakkelijk. Dan kom je dus uit op iets zoals dat wat je beschrijft in je laatste paragraaf.

Maar daarmee is het probleem van de ontologische status van de rekenkunde niet opgelost.

Dit wil niet zeggen dat getallen niet abstract en ideeel zijn. Maar menselijke constructen, zoals middeleeuwen, liefde of landsgrenzen zijn het evenmin (en wiskundig onderzoek leert ons ook niets over de menselijke geest) Hun ontologische status is misschien vergelijkbaar met die van kleuren (en uitbreidbaar tot die van proposities?)

Ja, de dichotomieen abstract/concreet en geest-afhankelijk/geest-onafhankelijk lijken me eigenlijk ueberhaupt niet zo houdbaar. Objecten bestaan niet simpelweg 'in' of 'buiten' mij. Kleuren idd ook niet, evenmin als getallen. Er wordt door de menselijke geest her en der geabstraheerd, geconstrueerd en misschien ook wel geconcretiseerd. Uiteindelijk, denk ik, wél op basis van structuur in (of 'van') de werkelijkheid. Het verbaasde me wel een beetje dat we zo snel op 'algemene' metafysica uitkwamen trouwens.

[Verwijderd]

LD, je hebt gelijk hoor, ik had wel toegeeflijker kunnen zijn. Ik begrijp best dat een berichtje op een forum geen essay is, of hoeft te zijn. Goed, verder met de dialoog:

Jouw reconstructie van mijn stelling is natuurlijk niet correct

Ok.

In de tweede plaats misinterpreteer je mijn claim dat voor een verklaring van de wiskundige praktijk geen Platonisme nodig is[.] [..] [H]et argument dat voor Platonisme wordt aangevoerd door haar aanhangers is dat alleen het Platonisme begrijpelijk maakt hoe de wiskunde werkt.

Ah ja, ik had er, uhm, minder retorisch (maar duidelijker) op moeten wijzen dat 'de wiskundige praktijk' absoluut niet hetzelfde is als 'hoe de wiskunde werkt'. De wiskundige praktijk is uit te leggen (al is het niet de béste uitleg, obv.) door te zeggen dat willekeurige idioten in willekeurige boeken met willekeurige namen willekeurige dingen roepen. De kans dat er uit dat willekeurige complex iets ontstaat dat we nu 'wiskunde' noemen is ontzettend klein, maar >0. Apen en typemachines dus. Maar als we willen uitleggen hoe de wiskunde werkt, moeten we wiskundigen worden: van binnenuit moeten we ons afvragen waar 'we' mee bezig zijn, wat voor eigenschappen we zouden willen dat ons 'studieobject' heeft en wat voor filosofische constructies we nodig hebben om onze intuities hierover te expliciteren of te verdedigen.

Als je zegt zegt dat we de wiskunde kunnen begrijpen zonder een trascendent rijk van wiskundige entiteiten aan te nemen, hoeft een Platonist dat niet met je eens te zijn, maar dat we de wiskundige praktijk kunnen verklaren zonder een trascendent rijk van wiskundige entiteiten aan te nemen, lijkt me boven twijfel verheven.

Het is een kwestie van perspectief. Vragen we ons van buitenaf af, "Wat doen die wiskundigen toch, en hoe kunnen we dat gedrag verklaren?" of vragen we ons van binnenaf af, "Wat denken we te doen, en wat voor filosofie is daar voor nodig?"

De eerste vraag is misschien een vraag voor de sociologie, de tweede vraag een vraag voor de filosofie van de wiskunde.

Ik ben dus ook geen taalfilosoof (meer).

Je claim dat 'voorstelling' en 'betekenis' practisch synoniem zijn; dit vind ik een hele bizarre claim.

Hmm, en toch geef je een voorbeeldje waarin, lijkt mij, de voorstelling van het huis, de (een specifieke, de prototypische, etc.) betekenis van het woord 'huis' is, of niet? Betekenis is echter ruimer (een voorstelling van een vogel is waarschijnlijk geen pinguin, maar een pinguin is wel een vogel) en daarom schreef ik 'practisch synoniem'. En zoals je voorbeeldje laat zien, gaan betekenis en voorstelling verder uit elkaar lopen in zinnen: immers, bij een voorstelling moeten keuzes worden gemaakt, onbekenden ingevuld, etc.

Ik had beter een ander woord kunnen gebruiken, maar ik kon niet zo snel op iets beters komen.

Hoe dan ook, als een voorstelling een specifiek afspect van 'een' betekenis is, dan -- zou je kunnen zeggen -- gaat betekenis aan de voorstelling vooraf: of ten minste, de voorstelling is een deel van de betekenis. En als dat zo is, kun je niet niet-triviaal zeggen dat:

De voorstellingen die een rol spelen bij het beschouwen van de zin 'er zijn oneindig veel priemgetallen' zijn hele andere, en dus is de betekenis van die zin heel anders.

En ómdat de betekenis anders is, is, volgens mijn interpretatie van 'betekenis' en 'voorstelling', de voorstelling anders. Als je het andersom zegt, draai je de logica van betekenis en voorstelling om. (Alhoewel, je zou kunnen zeggen dat de betekenis van een woord, de som van de alle mogelijke voorstellingen van dat woord is, misschien. Zo gek klinkt dat trouwens niet)

Maar we moeten hier woord- en zinsbetekenis goed uit elkaar houden. Zeg je niet in feite niet meer dan dat de betekenis van '2' , '+', '=' en '4' anders is dan de betekenis van de elementen van 'er zijn oneindig veel priemgetallen', en dat daarom '2+2=4' iets anders dan 'er zijn oneindig veel priemgetallen' betekent? Maar wat betekent '2' dan? En net zoals 'de betekenis van 2' of 'dat wat twee betekent' geen antwoord op die vraag is, is 'de voorstelling van 2' dat -- denk ik -- ook niet.

Als hetzelfde hadden betekend hadden ze toch moeilijk een andere mentale inhoud bij mij kunnen opwekken.

(Oh sorry, ik had een stukje van je post laten staan zonder erop te reageren. Maar het is een heel goed punt.)
Ik denk dat we voorzichtig moeten zijn om betekenis gelijk te stellen aan iemands 'mentale inhoud' (of: te zeggen: identiteit van betekenis <-> identiteit van mentale inhoud, wat 'mentale inhoud' ook is. Ik neem aan 'gedachte'? Niet dat dat veel helpt, maar goed). Een soort solipsisme van betekenis lijkt me absoluut niet wenselijk. Ook niet als wiskunde niet meer objectief hoeft te zijn. Ook niet als we de wiskundige praktijk zouden willen beschrijven. Communicatie over wiskunde moet toch mogelijk blijven immers (of wil je dat ook ontkennen?). Als je zegt: "ik dénk dat deze twee formules iets anders betekenen, dáárom betekenen ze iets anders, want als ze hetzelfde zouden betekenen, zou ik niet dénken dat ze iets anders betekenen", bega je volgens mij een enorme denkfout.

Stel dat elke tautologie hetzelfde betekent. Dan ben je gecommiteerd aan de volgende claim: elke wiskundige stelling die waar is, maar waarvan wiskundigen dat nog niet weten, is een stelling waarvan ze de betekenis niet snappen.

Nee, waarvan ze de betekenis (nog) niet kennen. Er is toch een wezenlijk verschil tussen iets weten en iets begrijpen.

Ik claim een van de volgende twee dingen; welke maakt me niet uit, dat hangt ervan af wat je het mooiste taalgebruik vindt. "Niets is een tautologie." "De waarheid van elke tautologie is contingent."

De tweede stelling is een contradictio in terminis, de eerste niet. Ik begrijp wel wat je bedoelt, maar ik denk dat je vanwege de betekenis van het woord 'tautologie' toch voor de eerste stelling moet kiezen. Het zou je in ieder geval iets moeten uitmaken.

om precies te zijn hebben wij bepaalde procedures die we op een zin toepassen om te kijken of het een tautologie is of niet.[..] Maar ze zijn de enige reden die we hebben om aan te nemen dat iets een tautologie is.

Een Platonist hoeft natuurlijk niet te erkennen dat of we kunnen ontdekken of iets een tautologie is, hetzelfde is als of iets een tautologie is. En dan zegt contigentie van het een, niets over contigentie van het andere.

Waarom wordt er op een Nederlands forum Wittgenstein geciteerd in het Engels?

Such is the nature of the internet.

[ Voor 13% gewijzigd door Verwijderd op 24-09-2005 19:13 ]

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op dinsdag 20 september 2005 @ 17:53:
Het lijkt dus zinvol om argumenten die aangeven waarom wij tellen zoals we tellen vanuit onze concrete activiteiten terzijde te schuiven als nogal dubieus; als er objectiviteit in de wiskunde ligt heeft die meer te maken met betekenis.

Mee eens. Ook als de werkelijkheid anders is, blijft de wiskunde waar. Wiskunde heeft immers niets met de werkelijkheid te maken.

Goed, zou men kunnen zeggen, de waarheid van wiskunde is puur een linguistische conventie. Als wij die woorden anders zouden gebruiken, zouden er andere waarheden zijn.

Dit vind ik niet zo'n heel zwak argument. De stellingen die waar zijn, volgen wel degelijk uit conventies. Als die conventies anders zijn, zijn er andere waarheden. Jouw tegenwerping (die neerkomt op: het gaat niet om de proposities, maar om hun betekenis) veronderstelt dat wiskundige stellingen, naast een analytische waarheid (die ze verkrijgen doordat ze juist zijn afgeleid) ook nog een betekenis hebben onafhankelijk van de taal waarin ze geformuleerd zijn. De manier waarop je die betekenis vervolgens "definieert" is door alle stellingen met dezelfde betekenis te identificeren, hoe ze ook geformuleerd zijn en te zeggen: dat wat ze gemeenschappelijk hebben is precies de essentie van hun betekenis.

Ten eerste is dit natuurlijk een beetje circulair (betekenis = alles wat dezelfde betekenis heeft), maar wat ik veel interessanter vind is dat dit een techniek is die enorm veel in de wiskunde (vooral in de algebra) gebruikt wordt. Je bekijkt stellingen in feite "modulo" de taal op "op de taal na". Betekenis = Stellingen / Taal, waar de breukstreep "modulo een equivalentieklasse" betekent.

Dat is natuurlijk wel leuk en aardig, maar mijns inziens is dat wat je overhoudt als je wiskunde modulo taal bekijkt volstrekt onduidelijk (en bovendien vaag en metaphysisch). De kracht van wiskunde is nu juist haar rigoureuze exactheid, haar genadeloze ondubbelzinnigheid en haar precieze formulering in een duidelijk afgebakende taal. Een punt is gewoon een punt. Dat we in ons hoofd altijd met een grote verzameling aan equivalente ideeen zitten en de ene keer bij een punt denken aan een atoom en de andere keer aan de positie van een ruimteschip doet daar niets aan af.
In ons hoofd zullen we altijd werken met het idee van een punt, met het meetkundige plaatje, met de vage identificatie van alle dingen die erop lijken, maar als we een stelling opschrijven, doen we dat in een concrete ondubbelzinnige taal.

De betekenis van die stelling (de betekenis die de stelling heeft) is dan ook alleen de betekenis binnen deze taal. Andere taal, stelling betekenisloos. De betekenis die wij aan de stelling geven is echter wel degelijk een heel belangrijk fenomeen. De wereld die wiskundige zich voorstelt bij zijn wiskunde is precies datgene wat de wiskunde voor hem levendig maakt. In die wereld is x^2+y^2=1 de ene keer een meetkundig plaatje van een cirkel, dan weer een algebraische vergelijking en dan weer het topologisch equivalent van een gesloten kromme zonder zelfdoorsnijding. Wat is nu de wiskunde? Is het de taal of is het het vage idee in het hoofd van een wiskundige? Het antwoord is natuurlijk: beide.

[Verwijderd]

Nogmaals in reactie op LD. Ik ben het niet helemaal met hetvolgende wat je zegt:

De wiskunde onderzoekt deze proposities, in laatste instantie door naar de (logische) relaties ertussen te kijken. Er zijn regels die op de proposities toegepast kunnen worden om andere proposities te krijgen (veelal worden zinnen als hulpmiddel gebruikt), en deze relaties blijken 'objectief' te zijn - wij vinden allen hetzelfde.

De wereld van de ideeen van een wiskundige en dus van de niet-talige betekenis van wiskunde is verre van objectief. Deze hoeft zelfs niet consistent te zijn. Ik kan best het idee hebben: "Er maar eindig veel priemgetallen". Sterker nog, wiskundigen maken voortdurend fouten in hun hoofd en hebben dus voortdurend allerlei inconsistente wiskundige ideeen. Deze horen echter ook bij het proces van wiskunde. Zonder deze mogelijkheid, zouden mensen nooit buiten de grenzen van een afgebakend stukje wiskunde kunnen denken en zouden ze nooit op het idee gekomen zijn dat er behalve reele ook nog complexe getallen zijn. Bovendien vinden we ook niet allemaal hetzelfde. Anders zou er perfect onderwijs plaats vinden als iemand iets waars op het bord schrijft. Anders had de logica strijd begin vorige eeuw nooit plaats gevonden. En anders zou wiskunde maar een saai verzamelingetje ware uitspraken zijn.

Over de wiskunde als opgeschreven verzameling van bewezen stellingen zijn "wij" het dan wellicht niet altijd eens, iemand die perfect de spelregels volgt, een perfect rationaal wezen, een wiskunde robot, ja, zulks volk is het natuurlijk wel altijd met elkaar eens. Wiskunde is dan ook alleen voor dit volk objectief (en voor ons als we het ons lukt deze entiteiten na te doen). Voor ons gewone stervelingen is en blijft ook de wiskunde dan ook hoogst subjectief. Gelukkig maar.

[Verwijderd]

Tot slot nog dit, wederom in reactie op de eerste post van LD:

Maar dat betekent alleen de volgende dingen:
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over hoe we uitspraken willen groeperen naar 'betekenis'.

Onzin. Als ik het over elliptische krommen heb, denken sommigen misschien aan het plaatje in het vlak, maar anderen misschien aan een dubbel periodieke functie op een complex rooster. Prima! Zolang het maar klopt als we er iets over opschrijven.

- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over welke regels interessant zijn om te bestuderen.

Onzin. Ik vind numerieke wiskunde helemaal niet interessant, maar anderen misschien wel. Er zijn ook vast wiskundigen bezig met onderzoek, waarvan ze zelf de enige ter wereld zijn die het interessant vindt.

- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over wat het resultaat van het toepassen van een regel is.

Onzin. Een Havo 4 leerling overtuigen van het feit dat de som van de termen op de n-de rij van de driehoek van Pascal 2^n is, is verre van gemakkelijk.

Deze drie dingen zijn genoeg om de zogenaamde objectiviteit van de wiskunde te verklaren: als aan hen voldaan is, kan er een onderzoeksdomein ontstaan waarin iedereen, zelfs zonder naar de verschijnselen te kijken, het eens is over wat waar en wat onwaar is.

Volgens mij is dit niet alleen te weinig om echte objectiviteit te krijgen, volgens mij is er zelfs geen sprake van echte objectiviteit, op welk gebied binnen de wiskunde dan ook. Laat staan op het gebied van de getallen, die voor mij wellicht eindige verzamelingen zijn, maar voor een ander misschien een rijtje cijfertjes.

Maar geen van deze drie punten garandeert werkelijke objectiviteit. Er is geen enkele reden om aan te nemen dat het onmogelijk is dat er een babylonische betekenisverwarring optreedt, waarin niet meer gecommuniceerd kan worden; of dat mensen hele andere regels interessant gaan vinden; of dat mensen die dezelfde regels gebruiken steeds op andere resultaten uitkomen; of dat zelfs een en dezelfde persoon met dezelfde regel steeds op andere resultaten uitkomt. Dat dit niet gebeurt is puur een empirisch feit.

Mijns inziens is het een empirisch feit dat er voortdurend babylonische spraakverwarring optreedt, maar dat dit nu juist de kracht is van de wiskunde. Op die manier is bijvoorbeeld ontdekt dat als je algebraische begrippen topologisch opvat, dat je Galois groepen kan zien als overdekkingsafbeeldingen.

[Verwijderd]

Sandalf, hoe rijm je:

De kracht van wiskunde is nu juist haar rigoureuze exactheid, haar genadeloze ondubbelzinnigheid en haar precieze formulering in een duidelijk afgebakende taal.

met

Volgens mij is dit niet alleen te weinig om echte objectiviteit te krijgen, volgens mij is er zelfs geen sprake van echte objectiviteit, op welk gebied binnen de wiskunde dan ook.

?

[Verwijderd]

bahsj schreef op zaterdag 24 september 2005 @ 14:31:
[...]
Ik begrijp dat je bedoelt dat als er vier knikkers zijn, en ik tel ze: 'vier', dat dat 'tautologisch tellen' is, en dat als er vijf knikkers zijn, en ik tel ze: 'vier', dat ik dan 'contradictoir tel'? Is dit geen categoriefout?

'Contradictoir tellen' blijkt natuurlijk niet uit een of ander empirisch feit, maar uit niet-overeenstemming met de regels van het tellen (en niet met de werkelijkheid). Maar ik probeerde op een ander niveau inderdaad tautologie en contradictie terug te voeren op het onderscheiden van voorwerpen, nl. (resp.) de vaststelling dat een object er is, en er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn. En uiteindelijk zou dan iets soortgelijks voor de rekenkunde moeten gelden.

Lord Daemon schreef op vrijdag 23 september 2005 @ 14:35:als ik wil betogen dat de wiskunde niet objectief is (en dat dit zich onder andere uit in het feit dat getallen mentale constructen zijn), dan is dat iets heel anders dan betogen dat uit de niet-objectiviteit van wiskunde volgt dat getallen mentale constructen zijn.

Wat bedoel je met 'uit zich onder andere in'? Is het feit dat getallen mentale constructen zijn nu een 'symptoom' o.i.d. van de niet-objectiviteit van de wiskunde? Kunnen getallen geen mentale constructen zijn, en de wiskunde toch niet-objectief?

Als je met me eens bent dat we de wiskunde kunnen begrijpen zonder een transcendent rijk van wiskundige entiteiten aan te nemen, dan heb ik volgens mij de Platonist al zo goed als verslagen. Zijn beste argument is weg; en wat heeft hij verder nog over om mij te overtuigen van zoiets onwaarschijnlijks als transcendente entiteiten?

Ter verdediging van de Platonist, hij heeft zijn ideeenrijk niet nodig om te verklaren hoe de wiskunde werkt, maar dat de wiskunde werkt. Natuurlijk kunnen we wiskunde 'begrijpen' zonder zo'n transcendent rijk (anders zou iedere wiskundige een Platonist zijn), maar daarmee is niet gezegd dat we ook de relatie van de wiskunde tot de werkelijkheid (i.e. het probleem dat de Platonist wil oplossen) hebben begrepen. Dus ehmm, hoe verklaarden we die relatie nou? Ah, hier:

- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over hoe we uitspraken willen groeperen naar 'betekenis'.
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over welke regels interessant zijn om te bestuderen.
- Wij bereiken gemakkelijk overeenstemming over wat het resultaat van het toepassen van een regel is.

Maar wat bedoel je met dat 'werken' van wiskunde? Iets als: dat de (tautologische) waarheden die we uit onze axioma's volgens onze regels extraheren, een schijnbare objectiviteit opleveren, omdat we (surprise!) allemaal hetzelfde vinden. Toch, nog altijd begrijp ik hieruit niet hoe die wiskunde zich verhoudt tot de werkelijkheid, i.e. waarom die tautologische waarheden die wij zo autistisch-zelfgenoegzaam extraheren uit ons idiosyncratische systeempje kunnen worden gebruikt om de werkelijkheid te beschrijven (en niet omgekeerd, en niet met een ander systeem, etc.)

Laat ik een voorbeeld geven. Stel je eens een huis en een boom voor, die naast elkaar staan. Heb je die voorstelling? Ja? Ok, vertel mij dan nu: staat het huis links of recht van de boom?

Eigenaardig, jij zegt, dat is een vraag die je kan beantwoorden. Maar toen ik het las realiseerde ik me dat die woorden (huis naast boom) wel iets als een beeld oproepen, maar niet een waaraan ik kan zien aan welke kant van het huis de boom staat. Ik stel me de relatie 'naast' voor, zonder verder te specificeren; het beeld van de relatie is abstracter dan dat. Nevertheless, 'beeld' is duidelijk een verwarrende metafoor voor 'betekenis' (al valt er in ieder geval etymologisch iets voor te zeggen)

Wanneer iemand mij vraagt of ik begrijp dat '2 + 2 = 4' waar is, zeg ik 'ja', omdat ik een bepaalde voorstelling kan oproepen waar dit onmiddellijk uit blijkt.

Welke voorstelling kan dit zijn? En is 2+2=4 dan een abstractie van die voorstelling? Zo ja, wat kan je dan zeggen over de betekenis van 2+2=4?

[Lord Daemon]

Er is hier veel waarop ik moet reageren en meer waarover ik moet nadenken. Dit is een inspirerend topic. Laat ik nu even een enkel dingetje aanstippen:

Verwijderd schreef op zaterdag 24 september 2005 @ 15:43:
Mee eens. Ook als de werkelijkheid anders is, blijft de wiskunde waar. Wiskunde heeft immers niets met de werkelijkheid te maken.

Wiskunde heeft wel degelijk iets met de werkelijkheid te maken: het is in de werkelijkheid. Zonder werkelijkheid geen wiskunde, want hoe zou er iets kunnen bestaan wanneer er van 'bestaan' geen sprake kon zijn? Hoe zou je kunnen zeggen dat wiskunde waar is, wanneer je de werkelijkheid - het zijnde - buiten beschouwing laat? Dat je iets over wiskunde kan zeggen zonder naar de werkelijkheid (ik zeg nog niet: wereld) te kijken lijkt me een misvatting.

Dit lijkt misschien pedanterie, maar volgens mij is het belangrijk je hier van bewust te zijn wanneer je deze discussie voert. Als wiskunde de werkelijkheid transcendeert is het onmogelijk te begrijpen hoe wij er iets over zouden kunnen zeggen, iets over zouden kunnen weten, ja, hoe er zelfs maar wiskunde zou kunnen zijn. Dus moeten we ons als eerste vraag de vraag stellen: wat is het verband tussen wiskunde en de werkelijkheid? Als we al een antwoord op de vraag naar wiskundige waarheid kunnen vinden, dan toch zeker vanuit dat uitgangspunt.

[Lord Daemon]

Ik wil nog even twee losse opmerkingen maken.

Ten eerste: ik heb het in dit topic gehad over dat de waarheden van de wiskunde 'subjectief' zijn, en niet 'objectief'. Bij nader inzien vind ik deze begrippen helemaal niet handig; sterker nog, eigenlijk begrijp ik niet goed wat ze zouden moeten betekenen. Mijn argumenten waren bedoeld om te tonen dat de waarheden van de wiskunde niet noodzakelijk zijn, tenminste niet wanneer een sterke notie van noodzakelijkheid in het spel is (sterker dan 'het tegendeel is ondenkbaar'); over objectiviteit heb ik weinig te zeggen.

Ten tweede wil ik iets opmerken ten aanzien van Sander, die volgens mij de moeilijkheid van het probleem onderschat.

quote: Sander

De kracht van wiskunde is nu juist haar rigoureuze exactheid, haar genadeloze ondubbelzinnigheid en haar precieze formulering in een duidelijk afgebakende taal.

Rigoreus; ondubbelzinnig; precies; duidelijk; afgebakend - al deze begrippen vooronderstellen procedures die correct en incorrect gevolgd kunnen worden, zoals de hele formalistische interpretatie van de wiskunde procedures vooronderstelt die correct en incorrect gevolgd kunnen worden. We moeten immers kunnen zeggen wanneer iemand buiten de taal treedt; wanneer hij een slordigheid begaat; enzovoorts.

Maar dan heb je het hele mysterie van de waarheid van de wiskunde afgewenteld op die notie van correctheid - want hoe kan het dan wij altijd overeenstemming bereiken over of een procedure correct is uitgevoerd? Wat is de grond van het onderscheid tussen correct en incorrect, en is het noodzakelijk dat een of andere handeling correct is, of zou diezelfde handeling in een andere werkelijkheid wel het correcte uitvoeren van precies dezelfde procedure kunnen zijn?

De waarheid van een formalistische wiskunde is nog net zo mysterieus als de waarheid van de wiskunde tout court.

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op maandag 26 september 2005 @ 12:44:
Er is hier veel waarop ik moet reageren en meer waarover ik moet nadenken. Dit is een inspirerend topic. Laat ik nu even een enkel dingetje aanstippen:
[...]
Wiskunde heeft wel degelijk iets met de werkelijkheid te maken: het is in de werkelijkheid. . . . Dat je iets over wiskunde kan zeggen zonder naar de werkelijkheid (ik zeg nog niet: wereld) te kijken lijkt me een misvatting.

Dit lijkt misschien pedanterie, maar . . . Als wiskunde de werkelijkheid transcendeert is het onmogelijk te begrijpen hoe wij er iets over zouden kunnen zeggen, iets over zouden kunnen weten, ja, hoe er zelfs maar wiskunde zou kunnen zijn. Dus moeten we ons als eerste vraag de vraag stellen: wat is het verband tussen wiskunde en de werkelijkheid? Als we al een antwoord op de vraag naar wiskundige waarheid kunnen vinden, dan toch zeker vanuit dat uitgangspunt.

Gelijk geef ik je! . . .maar wat is "pedanterie"?. . . oh, laat maar, . . .offtopic. . .ik zoek het later wel op. . .
Grappig hoe deze discussie zich ontwikkelde: als getallen en wiskunde niets met de werkelijkheid te maken zouden hebben wordt er toch verdacht veel tijd aan besteed. . .maar goed, tijd bestaat ook al niet, dus wat maakt het eigenlijk uit?

Als ik het getal 1287,56 op mijn factuur zet verschijnt er even later geheid het getal 1287,65 op mijn bankrekening (doorgaans). Die extra 9 cent verreken ik wel met de volgende factuur. Gebeurt er niets dan schuilt er een boef van vlees en bloed achter de opdracht welke ik voor 1287,56 uitgevoerd heb . . .er hangt heel wat werkelijkheid aan die factuur!. . . .wel, die factuur betstaat niet echt! Het was maar een voorbeeld voor de geest.

Nu even wat anders voor een verzetje, om uit zware logica die rondgestrooid wordt te ontsnappen,. . . misschien offtopic, maar misschien ook niet. . .in elk geval kunnen we het rijk van tautologieën, quod nons, pedanterieën, non sequiturs, a priores en dergelijke zaken even achter ons laten. . .bestaan die ondingen wel echt, of alleen in de geest?. . . .

Ik kwam gisteren in een discussie terecht met George over binaire getallen. . .ja ja, die bestaan echt hoor. . .(George trouwens ook) en ik uitte mijn frustratie met de complexiteit om binaire fracties c.q. binaire decimalen (welke achteraf binalen blijken te heten). . . uit te rekenen en toen zei hij: "Die bestaan niet!". We kwamen terecht in een welles-nietes reeks . . .achteraf gezien kunnen we die binalen beter banalen noemen!

Enfin, zo kwamen we bij de rekenmachines van Microsoft en Excel terecht, waarop hexadecimale, decimale, octale en banale. . .sorry. . .binaire getallen ingetikt konden worden. George dacht gelijk te krijgen omdat in de conversie van decimale getallen zoals 21, 523. . .naar de 16- en 8- en 2-getallenstelsels consequent de decimalen wegvielen: “Zie je wel! Fracties en Decimalen bestaan alleen in het decimale stelsel.” riep hij.

Uiteraard was ik niet voor een kleintje vervaart en hield ik stug vol: "Welles!. Als ik 2,5 naar een binair getal gaat converteren zal ik 10,1 moeten krijgen omdat 0,5 geschreven kan worden als 1*2^-1, net zoals 0,5 gelijk is aan 5*10^-1 . Fracties c.q. xxx-alen bestaan in elk getallenstelsel dat je maar bedenken kan. . . . . Dat is de kracht van de postbank. . .ehh. . .ik bedoel de "wiskunde" zei ik. Dat die stomme rekenmachines geen binaire decimalen kunnen uitrekenen is niet de schuld van de wiskunde maar de schuld van de Microsoft en Excel . . .ik wist toen nog niet dat die dingen binalen waren . . .of zijn, eigenlijk. . .ze bestaan dus echt!

George geloofde het niet echt maar was wel een ietwat onder de indruk van mijn betoog en werd even stil. Hij bedacht even iets diepzinnigs en ging verder met een vergelijking te maken tussen binaire getallen en computergeheugens waarin binaire getallen als magnetische bitjes aan/uit geschakeld werden. . ."je kan geen fractionele aan/uit bitjes hebben. . .het geheugen is een raster van magneten (c.q. schakelaars in het oude systeem) en er zijn geen fractionele schakelaars die 67,845. . . .% uit staan: het magnetenraster bestaat uit gehele velden, en daarom bestaan er geen binaire fracties”.

Toen begon het leuk te worden: ik dacht aan een raster met 100 vakjes waarin de getallen van 1 tot 100 paste en besefte dat de getallen 99,5 en 101,89 desondanks toch bestaan. Er is geen half vakje, noch een 0,89 vakje, terwijl een raster van 100 en een van 102 wel kunnen bestaan. So What? Wiskunde bestaat niet vanwege dat er vakjes bestaan! Het bestaat apart van stukjes materie. Voor een binair getal zou dat niet anders zijn. Een raster is geen getal maar een structuur van materie en zo niet van materie dan is het een Matrix "OK, wat denk je dan van dit: 1010/10= 110 ?" vroeg ik.

"Ha ha ha, dat is een makkie! Je hebt gewoon een stomme fout gemaakt! Het antwoord is 101

"Wel nee" zei ik, " het is gewoon een binaire representatie van 12/2=6, niet meer en niet minder. Binaire breuken bestaan: 1010/10 is een breuk. QED!"

"Wel nee, je lult uit je nek. Op jou manier is het gewoon een binaire vorm van een decimale fractie 6/1 dat een geheel getal is. Als je verdomme zo slim bent reken dan maar effe 10/3= 3,33333333. . . . uit in het binaire stelsel! . We zullen wel zien dat dat niet kan".

"Nu ben ik de pineut dacht ik. Hoe moet dat nu?. . . decimaal is dat 3*10⁰+3*10^-1+3*10^-2+etc., etc., dus moet het ook lukken met basis 2. Shit, hoe gaat dat? Even denken: 3 ----> 11 binair. . zou het eenvoudigweg 11,1111111111111. . . zijn? Lijkt er wel op, maar is het wel zo? In de wiskunde is er altijd een addertje onder het gras. . . .Even verder peinzen: 0,3333. . . moet dus gelijk zijn aan iets dat bestaat in het binaire systeem. . .het is geen hersenspinsel: het moet uit te rekenen zijn op een machine. . .elke computer doet het tenslotte ook. . . dus moet ik het kunnen doen op bierviltje:

0,3--->x*2^-1+y*2^-2+z*2^-3 +w*2^-4 etc., etc., etc., met x,y,z,w,p,. . . een 1 of een 0. . .andere opties zijn er niet.. . .simpel toch?

Tweede bierviltje:

1) eerste term zou 0,5 zijn als x=1 zou zijn. Kan niet: dus x=0. . . .11,111111. . .is dus bij voorbaat niet het juiste antwoord!
2) tweede term: 0,25 < 0,333. . .dus y=1 goed zo! We bereiken iets;
3) derde term: 0,125: 0,25+0,125 = 0,375. . .shit. . .z=0
Derde bierviltje:
4) vierder term: 0,0625: 0,25+0,0625= 0,3125. . . OK. . . w=1
5) vijfde term: 0,03125: 0,3125+0,03125=0,34375. . .Goed zo weer iets dat niet bestaat. . .een "p=0"
Vierde bierviltje:
6) zesde term: 0,015625: 0,3125+0,015625=0,32815 . . . .Yep! Weer een "1"
7) zevende term: 0,0078125: 0,32815 + 0,0078125=0,3359625 . . .OK, nu weer een "0"

Goed zo, op een dag in de toekomst kom ik er wel. . . .

OK, ik hou er mee op: zeven plaatsen achter de komma is goed genoeg voor iedereen. Het verschil met 0,3333333 en 0,3320562 (de volgende schatting) is maar ~0,128 % en dat moet goed genoeg zijn, zelf voor Gerrit Zalm.

10/3---->1010/11=11,0101010. . .QED. . .het zal wel een repeterende reeks zijn, toch?
Het lijkt er verdomd veel op!"

"Krijg nou wat", zei George.
"Binalen bestaan echt".

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 25 september 2005 @ 16:15:
'Contradictoir tellen' blijkt natuurlijk niet uit een of ander empirisch feit, maar uit niet-overeenstemming met de regels van het tellen (en niet met de werkelijkheid).

Dan begrijp ik niet wat je met 'niet-overeenstemming met de regels' óf met 'contradictoir' bedoelt. Een contradictie als p /\ ~p bijvoorbeeld is prima 'in overeenstemming met de regels'. Over welke regels hebben we het anders?

de vaststelling dat een object er is, en er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn.

Ok, maar willen tautologie en contradictie a priori begrippen zijn, dan mogen deze mogelijkheden (de mogelijkheid dat er iets -- altijd -- is / dat iets er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn) geen empirische feiten zijn.

Als je tautologie/contradictie 'wilt terugvoeren op het onderscheiden van voorwerpen', zoals je schrijft, zul je íets moeten doen. Of (de mogelijkheid van) het onderscheiden (het tegelijkertijd niet en wel, of, ueberhaupt voorkomen) van voorwerpen is niet a posteriori, óf tautologie/contradictie zijn geen a priori begrippen. Of, natuurlijk, je sleutelt aan wat 'a priori', 'a posteriori', 'tautologie' of 'contradictie' betekenen. Je opmerking over 'op een ander niveau' lijkt te wijzen op gerommel aan de begrippen 'a priori'/'a posteriori'. Care to elaborate, do you? :-) (in het kader van de uitwerking van wat ik nu maar even 'de derde weg' zal noemen)

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op maandag 26 september 2005 @ 16:53:
Mijn argumenten waren bedoeld om te tonen dat de waarheden van de wiskunde niet noodzakelijk zijn

Voor de duidelijkheid: met je 'sterke noodzakelijkheid' bedoel je 'wáár in iedere mogelijke wereld' ?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 26 september 2005 @ 20:21:
[...]
Dan begrijp ik niet wat je met 'niet-overeenstemming met de regels' óf met 'contradictoir' bedoelt. Een contradictie als p /\ ~p bijvoorbeeld is prima 'in overeenstemming met de regels'. Over welke regels hebben we het anders?

Wat maakt een rekenkundige propositie onwaar? Tegenspraak met de regels van de rekenkunde, zou ik zeggen - waarvan p /\ ~p de logische vorm is.

Ok, maar willen tautologie en contradictie a priori begrippen zijn, dan mogen deze mogelijkheden (de mogelijkheid dat er iets -- altijd -- is / dat iets er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn) geen empirische feiten zijn.

Niet wanneer we vasthouden aan een opvatting van 'empirisch feit' die aan waarneming verder geen enkele voorwaarde stelt. Maar is de vaststelling dat een object er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn een empirisch feit te noemen, of is dit a priori aan de waarneming? Is de activiteit van het waarnemen zelf niet ondenkbaar zonder deze aanname?

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op maandag 26 september 2005 @ 20:23:
Voor de duidelijkheid: met je 'sterke noodzakelijkheid' bedoel je 'wáár in iedere mogelijke wereld' ?

Ik ben er huiverig voor dat te zeggen, om twee redenen. Ten eerste dat 'wereld' soms gebruikt wordt om het domein van de objecten te benoemen, als iets waar bijvoorbeeld het subject (als subject) geen deel van uitmaakt. Zo'n restrictie wil ik zeker niet maken.

Ten tweede, en belangrijker, dat het me buitengewoon weinig informatief lijkt om 'noodzakelijkheid' te definieren in termen van 'mogelijkheid'. A is noodzakelijk als het niet mogelijk is dat niet A, jawel, maar dat is een tautologie van de modale logica en geen invulling van het begrip 'noodzakelijkheid'.

Ik zit hier nog een beetje mee. Eigenlijk komt het erop neer dat het hele raadsel naar de waarheid van de wiskunde zich in dat woord 'noodzakelijk' opnieuw stelt... dit is lastige materie. Ik ben vandaag begonnen een essay erover te schrijven in de hoop dat dat mijn idee erover verheldert.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 26 september 2005 @ 21:02:
Wat maakt een rekenkundige propositie onwaar? Tegenspraak met de regels van de rekenkunde, zou ik zeggen - waarvan p /\ ~p de logische vorm is.

Maar onwaarheid, zeg ik steeds, is nog geen contradictie.

Maar is de vaststelling dat een object er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn een empirisch feit te noemen, of is dit a priori aan de waarneming? Is de activiteit van het waarnemen zelf niet ondenkbaar zonder deze aanname?

Ja ja, zoiets kun je dus zeggen. Het is geen gekke aanname hoor, Kant zegt wel gekkere dingen. Anyway, maar het is goed om dit soort commitments te expliciteren. Al hou ik er niet van om metafysische kennis (ha!) als 'dingen zijn er niet: én wel, én niet' in een theorie van de waarneming te moeten vooronderstellen. (Helemaal niet als die theorie van de waarneming een theorie van abstracta moet onderbouwen.)

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op maandag 26 september 2005 @ 21:17:
Ten tweede, en belangrijker, dat het me buitengewoon weinig informatief lijkt om 'noodzakelijkheid' te definieren in termen van 'mogelijkheid'.

Waarom niet? Stel dat ik, wat ik ook doe, een spelletje schaak verlies. Dan is het noodzakelijk (binnen de context van het schaken) dat ik het spelletje verlies. De noodzakelijkheid van het verlies is gegeven doordat ik verlies in álle mogelijke scenario's.

Blijft in het geval van werelden de vraag over: welke werelden zijn mogelijk? Het gemakkelijkste antwoord daarop is: "Alle denkbare". Maar dát is blijkbaar niet sterk genoeg voor je.

(Ik zou er tevreden mee zijn hoor -- je weet zeker dat als je alle denkbare werelden beschouwt, en je redeneringen kloppen, niemand een tegenvoorbeeld zal bedenken. ;-) )

Maar goed, dus zonder dat duidelijk is wat je met 'noodzakelijkheid' bedoelt, weet ik niet of het vervangen van 'objectief' door 'noodzakelijk' wel zo'n verhelderende stap is. Ook hier heeft de platonist weer een voordeel: wat objectief is, is in zijn geval (question begging bijna, maar ala) duidelijk. Dus wat denk je hiervan: als je geen platonist bent, kun je geen invulling geven aan de begrippen 'objectief ' en 'subjectief' (wat wiskunde betreft) en kun je dus niet eens zéggen dat je gelooft dat de wiskunde niet objectief is, maar subjectief. (Of iets dergelijks, mutatis mutandis voor 'noodzakelijk', als inderdaad de moeilijkheden zich herhalen)

A is noodzakelijk als het niet mogelijk is dat niet A, jawel, maar dat is een tautologie van de modale logica en geen invulling van het begrip 'noodzakelijkheid'.

Nee, dat is een définitie in de (of: een definitie binnen/bij een interpretatie van) modale logica. Dat je de noodzakelijkheids-operator in kan definieren in termen van de mogelijkheids-operator en andersom, maakt die definities niet zomaar al tautologieen.

Ik ben vandaag begonnen een essay erover te schrijven in de hoop dat dat mijn idee erover verheldert.

Nou, ben benieuwd.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 26 september 2005 @ 21:56:
[...]
Maar onwaarheid, zeg ik steeds, is nog geen contradictie.

Maar de contradictie, zeg ik steeds, is de logische vorm van onwaarheid

Het is geen gekke aanname hoor, Kant zegt wel gekkere dingen.

Dat Kant gekkere dingen zegt is op de een of andere manier geen geruststelling. Dat jij ze niet gek vindt trouwens evenmin. Wat jij mijn 'commitment' noemt is niet meer dan een bescheiden, common sense opvatting van de activiteit van waarnemen. Een opvatting die in de eerste plaats de primitieve dichotomie 'a priori-idealistisch' en 'a posteriori-empiristisch' moet nuanceren. Want de 'gekste' claim ligt toch wel bij hen die er vanuit gaan dat waarnemingsoordelen volledig a posteriori kunnen zijn. Vergeleken met zo'n aanname is het uitgangspunt dat de activiteit van het waarnemen een zekere werkelijkheidsstructuur veronderstelt (die slechts specificeert dat een object er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn) een summum van hygienisch redeneren - nog afgezien van de vraag of die aanname eigenlijk wel kennis betreft die we metafysisch zouden noemen.

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op maandag 26 september 2005 @ 22:16:
Waarom niet? Stel dat ik, wat ik ook doe, een spelletje schaak verlies. Dan is het noodzakelijk (binnen de context van het schaken) dat ik het spelletje verlies. De noodzakelijkheid van het verlies is gegeven doordat ik verlies in álle mogelijke scenario's.

Dan zeg je gewoon tweemaal hetzelfde. Ik vind dat niet verhelderend. De vraag wat noodzakelijkheid is, is in principe identiek aan de vraag wat mogelijkheid is. Heb je de een, dan heb je de ander. (En, maar dit wordt wel erg off-topic: elke stelling van de logica is een tautologie, dus ook definities.)

Maar goed, dus zonder dat duidelijk is wat je met 'noodzakelijkheid' bedoelt, weet ik niet of het vervangen van 'objectief' door 'noodzakelijk' wel zo'n verhelderende stap is. Ook hier heeft de platonist weer een voordeel: wat objectief is, is in zijn geval (question begging bijna, maar ala) duidelijk. Dus wat denk je hiervan: als je geen platonist bent, kun je geen invulling geven aan de begrippen 'objectief ' en 'subjectief' (wat wiskunde betreft) en kun je dus niet eens zéggen dat je gelooft dat de wiskunde niet objectief is, maar subjectief. (Of iets dergelijks, mutatis mutandis voor 'noodzakelijk', als inderdaad de moeilijkheden zich herhalen)

Ik zie al helemaal niet in hoe een Platonist over objectieve en subjectieve waarheid kan spreken. Aangezien voor de Platonist de Rede, de grond van de waarheid, iets is waar alle subjecten deel aan hebben, een deelhebben waardoor zij pas de mogelijkheid krijgen tot kennen, lijkt het me dat hij niets kan met de woordgroep 'subjectieve waarheid'.

Ik kan ook niet zoveel met die woordgroep. Wat mij interesseert is de relatie tussen wiskunde en werkelijkheid, en hoe die relatie de waarheid van de wiskunde fundeert. Met de termen 'objectief' en 'subjectief' kom ik dan volgens mij nergens. (Maar misschien kan je mij van het tegendeel overtuigen.)

[Verwijderd]

DrStrange schreef op maandag 26 september 2005 @ 22:35:
Maar de contradictie, zeg ik steeds, is de logische vorm van onwaarheid

Wat zoveel betekent als: iedere onwaarheid is uiteindelijk een contradictie. Of: iedere stelling die onwaar is, spreekt een stelling tegen.

Vergeleken met zo'n aanname is het uitgangspunt dat de activiteit van het waarnemen een zekere werkelijkheidsstructuur veronderstelt (die slechts specificeert dat een object er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn) een summum van hygienisch redeneren -

Hihi. Je zal natuurlijk wel meer dingen moeten veronderstellen hoor, zoals (wat je ook noemt) de telbaarheid van voorwerpen en daarmee, het 'pre-tellen'-bestaan van voorwerpen. Niet dat ik denk dat je denkt dat je een volledige theorie van de waarneming en de rekenkunde hebt voorgesteld, ik merk alleen op dat je 'slechts' een beetje misleidend is.

nog afgezien van de vraag of die aanname eigenlijk wel kennis betreft die we metafysisch zouden noemen.

Ja ja, daar was de 'ha!' voor.

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op dinsdag 27 september 2005 @ 00:00:
Dan zeg je gewoon tweemaal hetzelfde. Ik vind dat niet verhelderend.

Oh? Ik vind het wel degelijk zinnig om 'noodzakelijkheid' te zien als een universele quantificatie over 'toekomstige toestanden', 'werelden' of 'mogelijkheden', etc. Mogelijkheid is dan existentiele quantificatie, en inderdaad, existentiele en universele quantificatie zijn (met de wet van de uitgesloten derde) in elkaar te vertalen. Let wel: ik gebruikte 'mogelijkheid als existententiele quantificatie' niet in mijn schaakvoorbeeld. Ik quantificeerde, universeel, over alle resultaten van alle zetten. Mogelijkheid, als modale operator (als in: X is mogelijk), was helemaal niet im Frage. Mogelijkheid, als iets over waarover gekwantificeerd kan worden (als in: mogelijkheid x) wél, maar dat zijn twee verschillende dingen.

elke stelling van de logica is een tautologie, dus ook definities.

Maar definities zijn geen stellingen.

lijkt het me dat hij niets kan met de woordgroep 'subjectieve waarheid'.

Daar had ik het dan ook niet over. Ik had het over 'subjectieve' en 'objectieve' wískunde. Subjectieve wiskunde is dan óf het verkeerde bééld dat iemand heeft van het ideele (objectieve) object, óf een ideel object waar maar één persoon toegang tot heeft. Dan kun je gaan nadenken over of je kunt wéten of de wiskunde die je beoefent subjectief of objectief is, maar we hebben dan iig een redelijke definitie.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zaterdag 24 september 2005 @ 17:36:
Sandalf, hoe rijm je:

[...]

met

[...]

?

Ik maak een duidelijk onderscheid tussen wiskunde op papier en wiskunde in het hoofd van een wiskundige. Wiskunde op papier (of beter: als formeel systeem) is exact, objectief etc., maar alleen voor perfect rationele wezens te begrijpen (en voor ons indien het ons lukt om dit soort wezens goed na te doen). Wiskunde in de hoofden van wiskundigen is een vage verzameling ideeen die niet eens consistent hoeft te zijn. Het is deze wereld waarin wiskundigen denken, waarin ze communiceren en waarvan ze bij tijd en wijle leven. Dit is de menselijke vorm van wiskunde en deze is niet objectief. De wiskunde zelf is objectief, maar wiskundigen staan in een vreemde, niet directe relatie tot deze wiskunde. Het is denk ik de taak van filosofen om deze relatie te onderzoeken.

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op maandag 26 september 2005 @ 12:44:
Er is hier veel waarop ik moet reageren en meer waarover ik moet nadenken. Dit is een inspirerend topic. Laat ik nu even een enkel dingetje aanstippen:

Wiskunde heeft wel degelijk iets met de werkelijkheid te maken: het is in de werkelijkheid. Zonder werkelijkheid geen wiskunde, want hoe zou er iets kunnen bestaan wanneer er van 'bestaan' geen sprake kon zijn? Hoe zou je kunnen zeggen dat wiskunde waar is, wanneer je de werkelijkheid - het zijnde - buiten beschouwing laat? Dat je iets over wiskunde kan zeggen zonder naar de werkelijkheid (ik zeg nog niet: wereld) te kijken lijkt me een misvatting.

Eigenlijk is mijn uitspraak "Wiskunde heeft niets met de werkelijkheid te maken" meer een schertsende opmerking die vooral humoristisch bedoeld is. Toch sta ik genoeg achter deze stelling om haar nog even te verdedigen. Ik denk dat een Platonische visie op de wiskunde heel zinvol is. De wiskunde bestaat als ideeënwereld. In deze wereld bestaan dingen als "de cirkel" en ook "het geheel van alle ware stellingen in de getaltheorie". Deze wereld bestaat onafhankelijk van onze wereld.

Op die manier kunnen wiskundige objecten en stellingen eenvoudig een aparte zijnsstatus en waarheidswaarde gegeven worden: ze bestaan en zijn waar in die ideeënwereld. Dit is zeer praktisch voor de werkende wiskundige, omdat hij zo over dingen kan spreken, zonder eerst het bestaan of de waarheid van deze dingen in de werkelijkheid te hoeven bewijzen. Daardoor zijn de problemen van "existentie" en "waarheid" opgelost. Er zijn echter ook weer problemen bijgekomen.

De problemen van een Platonische wiskunde (waarmee wiskundigen liever filosofen opzadelen dan er zelf al te veel over na te denken) zijn:
- Het probleem van hoe de wiskundige in relatie treedt met deze "ideeenwereld" en
- Het probleem van de waarheidswaarde van stellingen in onze wereld.

De oplossing die ik hiervoor heb (en die erg lijkt op die van Plato) is dat wij als mensen heel eenvoudig schaduwen van deze perfecte wereld kunnen waarnemen en kunnen creëren. We kunnen cirkels op papier tekenen, we kunnen stellingen formuleren en deze communiceren naar anderen en als we ons maar genoeg aan de spelregels houden, oftewel als we genoeg een perfect rationeel wezen imiteren dan krijgen onze cirkels een existentie en onze stellingen een waarheidswaarde die een vrij goede afspiegeling zijn van de existentie en waarheidswaarde in de ideeënwereld.

Dit lijkt misschien pedanterie, maar volgens mij is het belangrijk je hier van bewust te zijn wanneer je deze discussie voert. Als wiskunde de werkelijkheid transcendeert is het onmogelijk te begrijpen hoe wij er iets over zouden kunnen zeggen, iets over zouden kunnen weten, ja, hoe er zelfs maar wiskunde zou kunnen zijn.

Dit is een probleem dat alleen optreedt als je het belangrijk vindt dat alle dingen in onze werkelijkheid moeten bestaan. Of, met andere woorden, als je al het zijnde met alle geweld in onze werkelijk wilt proppen . Als je deze drang los laat en eenvoudig gelooft in die ideeënwereld heb je dit probleem helemaal niet.

Het probleem dat je hier nu oppert is dus in weze al bevat in het probleem van de keuze tussen een wiskunde binnen onze werkelijkheid en een wiskunde die onze werkelijkheid transcendeert.

Dus moeten we ons als eerste vraag de vraag stellen: wat is het verband tussen wiskunde en de werkelijkheid? Als we al een antwoord op de vraag naar wiskundige waarheid kunnen vinden, dan toch zeker vanuit dat uitgangspunt.

Mijn antwoord is heel duidelijk: de wiskunde als systeem, als geheel van stellingen, functies etc. staat volledig los van onze werkelijkheid. Zij is perfect objectief. De wiskunde die wij doen, die in onze hoofden leeft, deze wiskunde bestaat in onze werkelijkheid, deze wiskunde bestaat als ideeën in ons hoofd, als krabbeltjes op papier met een zekere betekenis*, als dictaat dat voor E 9,95 te koop is bij de studievereniging. Deze wiskunde is niet altijd consistent, wij zijn het heel vaak oneens over haar inhoud en wat interessant is is al helemaal aan speculatie en subjectiviteit onderhevig.

Dit is echter ook de wiskunde waarin met een vreemde gedachtekronkel Galois groepen plotseling overgaan in symmetriegroepen van Platonische veelvlakken, dan weer veranderen in groepen automorfismengroep op het splijtlichaam van een polynoom en dan weer wonderbaar overgaan in een groep permutaties. Een zeer mooie wereld dus . Een ander deel van haar schoonheid ligt echter ook in het feit dat zij erg lijkt op de perfecte wiskundige ideeënwereld. Door ons succes deze wereld te immiteren hebben we nu een wiskunde die uitmunt in haar rigoureuze exactheid, haar genadeloze ondubbelzinnigheid en die zeer precies geformuleerd is in een duidelijk afgebakende taal.

De wiskunde die we nu hebben is dan ook gebouwd naar een ideaal. Of dit ideaal, dit Walhalla van objectiviteit en perfectie, nu werkelijk bestaat of niet, we hebben als mens een wiskunde gecreëerd met dit ideaal ons achterhoofd. Ik geloof dat dit ideaal bestaat. Ik geloof dat de wiskunde bestaat in een aparte wereld. Dat als de aarde vergaat dat dan de stelling van Pythagoras nog steeds waar is, sterker nog, als het heelal niet was ontstaan, dat dan nog steeds de stelling van Pythagoras waar zou zijn geweest. Niemand waar ook ter wereld kan mij dit geloof ontnemen. Om haar te ontkrachten heb je immers een theorie nodig die iets zegt over de werkelijkheid en over de wiskunde die deze werkelijkheid al transcendeert. Deze theorie moet dus zowel de werkelijkheid als de wiskunde transcenderen. Iemand die zich met zulke transcendente theorieën bezighoudt en vervolgens mij verwijt in transcendentie van de wiskunde te geloven kan ik natuurlijk nauwelijks serieus nemen .

* De betekenis die wij aan wiskunde in onze werkelijkheid toekennen kan je best definiëren "modulo de taal" (zie één van mijn vorige posts). Dit is zelfs zeer zinvol, omdat de betekenisvraag zeer veel te maken heeft met de aard van de menselijke ideeën over wiskunde. Het is dus zinvol om de betekenis van een lijn te zien als de equivalentieklasse van alle "elkaar gelijkende" ideeën die mensen hebben van een lijn.

[ Voor 20% gewijzigd door Verwijderd op 28-09-2005 18:40 ]

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op maandag 26 september 2005 @ 16:53:
Ten tweede wil ik iets opmerken ten aanzien van Sander, die volgens mij de moeilijkheid van het probleem onderschat.

[...]

Rigoreus; ondubbelzinnig; precies; duidelijk; afgebakend - al deze begrippen vooronderstellen procedures die correct en incorrect gevolgd kunnen worden, zoals de hele formalistische interpretatie van de wiskunde procedures vooronderstelt die correct en incorrect gevolgd kunnen worden. We moeten immers kunnen zeggen wanneer iemand buiten de taal treedt; wanneer hij een slordigheid begaat; enzovoorts.

Maar dan heb je het hele mysterie van de waarheid van de wiskunde afgewenteld op die notie van correctheid - want hoe kan het dan wij altijd overeenstemming bereiken over of een procedure correct is uitgevoerd? Wat is de grond van het onderscheid tussen correct en incorrect, en is het noodzakelijk dat een of andere handeling correct is, of zou diezelfde handeling in een andere werkelijkheid wel het correcte uitvoeren van precies dezelfde procedure kunnen zijn?

De waarheid van een formalistische wiskunde is nog net zo mysterieus als de waarheid van de wiskunde tout court.

Hoe kom je erbij dat we altijd overeenstemming bereiken? Ik heb de grootste moeite om overeenstemming met mijn klas te bereiken als ik een lastig idee uitleg.

Deze hele discussie wordt veel duidelijker als we het onderscheid tussen wiskunde als systeem, als Platonische ideeënwereld, waarin perfecte objectiviteit bestaat, waarin alleen perfect rationele wezens (of foutloze robots) praten over wiskunde en onze wereld waarin mensen voortdurend fouten maken, wiskundigen inconsistente ideeën in hun hoofd hebben en waarin een cirkel een met potlood geschetst tekeningetje is.

De reden dat we meestal toch redelijk overeenstemming bereiken (zoals jij zegt, maar wat ik betwijfel), kan alleen verklaard worden door het succes waarmee mensen wiskunde gemaakt hebben, doordat we in zeer hoge mate erin geslaagd zijn het ideaal van de Platonische ideeënwereld te immiteren, door onze zeer geslaagde queeste naar het Walhalla van de perfecte objectiviteit.

[Verwijderd]

Sinds de vorige keer dat ik keek is er niets nieuws verschenen, maar ik kan het toch niet laten nogmaals iets te posten.

Het grootste probleem van het verwerpen van een Platoonse visie op de wiskunde, is dat je de wiskunde met alle geweld in de werkelijkheid wilt proppen, maar dat ze er niet in past .

In de wiskunde bestaan oneindige verzamelingen, maar er is niets in de (acutele) werkelijkheid dat oneindig is. Om te kunnen zeggen dat de natuurlijke getallen als geheel "bestaan" in onze werkelijkheid, moet je het dus doen met zoiets als "de natuurlijke getallen zijn een mentale constructie". Er is echter niets in onze gedachten dat deze oneindigheid ook maar enigszins benadert. Het enige wat we hebben is een voorstelling van de natuurlijke getallen. Maar wat is dan het object van deze voorstelling? Wat stellen we ons dan eigenlijk voor als we denken aan |N? Als je hiervoor iets uit de werkelijkheid pakt, doe je mijns inziens de wiskunde te kort.

Het probleem van een niet-Platoonse visie op wiskunde is dus dat je in feite finitist moet worden en de werkende wiskundige beperkingen op moet leggen, omdat je deze verwijt dat hij bezig is dingen te bestuderen die helemaal niet bestaan. Of dat je moet accepteren dat er in onze werkelijkheid oneindigheden bestaan, wat mijns inziens veel gruwelijker is, dan geloven in een Platoonse ideeënwereld.

Als ik opschrijf 1,2,3,4, enzovoortst. Dan is 5383945 en element in dit rijtje, maar dat was het ook al voordat ik het noemde. Pas toen ik het getal 5383945 noemde werd het denk ik enigszins in onze werkelijkheid geactualiseerd (misschien wordt het nog wel meer geactualiseerd als ik het uit zou schrijven als som van enen). Tot die tijd was het rijtje alleen volledig in een Platoonse ideeënwereld. Hoe zou jij dit willen verklaren vanuit een niet-Platoonse visie op de wiskunde?

Misschien dat je (als je per se geen Platonist wilt worden) iets kunt met potenties. Potentiële oneindigheden zijn echter mijns inziens ook geen echte oplossing, omdat het toch nog steeds onmogelijk is (ook potentieel) om de gehele verzameling natuurlijke getallen in de werkelijkheid te actualiseren. Daar is de werkelijkheid gewoonweg te klein voor.

Ik ben het volledig eens met de definitie van betekenis van LD, maar zijn verwerping van het Platonisme is mijns inziens een verwerping van een zeer wezenlijke verschijningsvorm van de wiskunde: de wiskunde als abstract systeem dat los staat van de werkelijkheid. Je beperken tot de werkelijkheid is in feite de beperking tot de menselijke vorm van wiskunde: de wiskunde in de hoofden van mensen.

[Verwijderd]

Hoi Sandalf, omdat je anders zo met jezelf praat...

Je onderscheid tussen 'subjectieve' en 'objectieve' wiskunde is een beetje raar. Over liever gezegd, overbodig. Stel dat je als wiskundige bezig bent met wiskunde, met welke wiskunde ben je dan bezig? Je zou toch willen zeggen, met de óbjectieve wiskunde. Als je de stelling van pythagoras bewijst, dan bewijs je dé stelling van pythagoras en niet een of ander gedachtenspinsel van jezelf of de schaduw van de stelling van pythagoras.

Want daar zit, zoals je schrijft, inderdaad het probleem: de verbinding tussen wat in het hoofd van de wiskundige zit, en de 'objectieve' wiskunde. Je maak je daar met je 'Het is denk ik de taak van filosofen om deze relatie te onderzoeken' een beetje makkelijk vanaf. Het is, om een voorbeeldje van Dennett te lenen (dat ging over iets anders), het is alsof filosofen bij het verklaren van een goocheltruc zeggen: "Er vindt een illusie plaats!" en als dan wordt gevraagd hoe die illusie dan wérkt, zeggen ze: "Dat is de taak van de goochelaars!". Ik bedoel, áls je je bezig houdt met de ontologische status van wiskunde, dan bén je filosoof en dan ben je verplícht de moeilijkheden die volgen uit je positie te proberen te verklaren.

Dat weet je ook wel, en sterker nog, dat doe je wel in je opeenvolgende posts, maar helemaal lekker zit het nog niet volgens mij.

De oplossing die ik hiervoor heb (en die erg lijkt op die van Plato) is dat wij als mensen heel eenvoudig schaduwen van deze perfecte wereld kunnen waarnemen en kunnen creëren.

Dit is borderline onbegrijpelijk. Over wat voor schaduwen heb je het? Waarom is dat eenvoudig? Wat doen wij als wij schaduwen creeren? Creeren we dan objecten in het ideenrijk? Hoe kan dat dan?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 27 september 2005 @ 00:51:
[...]
Wat zoveel betekent als: iedere onwaarheid is uiteindelijk een contradictie. Of: iedere stelling die onwaar is, spreekt een stelling tegen.

Nou, zoveel (of liever zo weinig) betekent het niet. Natuurlijk spreekt iedere stelling die onwaar is, een andere stelling tegen; en dit geldt ook voor alle stellingen die waar zijn. Ik begrijp eerlijk gezegd je probleem niet helemaal

Hihi. Je zal natuurlijk wel meer dingen moeten veronderstellen hoor, zoals (wat je ook noemt) de telbaarheid van voorwerpen en daarmee, het 'pre-tellen'-bestaan van voorwerpen. Niet dat ik denk dat je denkt dat je een volledige theorie van de waarneming en de rekenkunde hebt voorgesteld, ik merk alleen op dat je 'slechts' een beetje misleidend is.

Ik had het zo gedacht dat het onderscheiden van voorwerpen al de mogelijkheid van het tellen impliceert. Er is maar een rekenkunde denkbaar. Is die nu een eigenschap van intelligentie of van de werkelijkheid? Misleidende vraagstelling. Intelligentie is hier niet zinvol te isoleren van de werkelijkheid (de neiging zelf komt me platonisch voor)

Bestaan getallen? Ja, 'in' (menselijke) intelligenties, als abstractie van een objectrelatie. Is hun ontologische status gelijk aan die van objecten? Nee, ze zijn verbonden met de mogelijkheid van waarnemen (en niet met waarnemingsuitspraken zelf) Is hun ontologische status gelijk aan die van ideeen? Nee, want de telbaarheid is gegeven door de onderscheidbaarheid van objecten, niet (zoals andere eigenschappen) door de objecten zelf. Tafelheid of roodheid zijn mogelijke eigenschappen van een object, maar 1-heid is dat niet, want met ieder willekeurig object is 1-heid al gegeven.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 30 september 2005 @ 15:02:
Ik begrijp eerlijk gezegd je probleem niet helemaal

Het is een detail misschien, en niet zo'n erg interessant detail daarbij, maar je opmerking

Maar ik probeerde op een ander niveau inderdaad tautologie en contradictie terug te voeren op het onderscheiden van voorwerpen

zit me (nog steeds) niet lekker. Je zegt dat je de naieve scheiding tussen a priori/idealistisch en a posteriori/empirisch wilt nuanceren, en ok, dat is een nobel streven. Maar dat betekent niet dat je niet kunt afgeleiden naar een van beide kanten, en bij een opmerking als 'op een andere niveau' gaan al mijn slippery slope-detectoren af. Want wát is dat niveau? En waarom zou de scheiding empirisch/idealistisch niet ook op dát niveau gelden? En waarom zou je dan nog spreken over verschillende niveau's?

Daarbij vind ik logische vorm in deze discussie een vaag begrip. Ik weet niet -- en probeerde uit te vinden -- hoe je dat wilt verbinden aan (het onderscheiden van) objecten. Normaal gesproken hoef je de ontologisch status van de logische vorm -- wat mij betreft -- niet te specificeren, maar nu we inderdaad (bijna) spreken over de ontologische status van proposities, wordt zoiets toch belangrijk.

Nee, want de telbaarheid is gegeven door de onderscheidbaarheid van objecten, niet (zoals andere eigenschappen) door de objecten zelf.

En hoe zit het met de eigenschap 'onderscheidbaarheid' ('zichtbaarheid', 'tastbaarheid', 'roodheid', etc.)?

Je kunt getallen niet zomaar als (naieve) eigenschappen behandelen. Dwz, niet als je denkt dat je objecten kunt maken door willekeurig een aantal eigenschappen bij elkaar te gooien. Want hoewel ik wou dat ik twee hondjes was, zou ik gemakkelijker een hond worden, dan twee. Op z'n minst supervenieren aantallen ('telheden'?) daarom op andere eigenschappen, en op die eigenschappen supervenieert ook 'onderscheidbaarheid'. 'Onderscheidbaarheid' zelf kan dus ook geen fundamentele eigenschap zijn: iets is altijd onderscheidbaar door (een of meerdere) eigenschappen; dat is de triviale kant van de wet van Leibniz. Daarom lijkt, 'met ieder willekeurig object is 1-heid al gegeven' mij een enorme tautologie, maar geen argument om 'telheden' niet als (supervenierende) eigenschappen te behandelen.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 30 september 2005 @ 19:35:
Maar dat betekent niet dat je niet kunt afgeleiden naar een van beide kanten, en bij een opmerking als 'op een andere niveau' gaan al mijn slippery slope-detectoren af. Want wát is dat niveau? En waarom zou de scheiding empirisch/idealistisch niet ook op dát niveau gelden? En waarom zou je dan nog spreken over verschillende niveau's?

Dat het tellen een basis heeft in de werkelijkheid, wil niet zeggen dat we de waarheid van een telkundige uitspraak moeten verifieren met iets als correspondentie met de werkelijkheid. Dat is nu juist precies het punt dat ik probeer te maken, weliswaar wat onbeholpen met dat 'andere niveau'.

Daarbij vind ik logische vorm in deze discussie een vaag begrip. Ik weet niet -- en probeerde uit te vinden -- hoe je dat wilt verbinden aan (het onderscheiden van) objecten. Normaal gesproken hoef je de ontologisch status van de logische vorm -s- wat mij betreft -- niet te specificeren, maar nu we inderdaad (bijna) spreken over de ontologische statu van proposities, wordt zoiets toch belangrijk.

Ik probeer het tellen van objecten te beschrijven als de fundamentele objectrelatie. Ietwat overmoedig probeer ik bovendien de onwaarheid van een contradictie (en niet de contradictie zelf, zoals jij scheen te denken) af te leiden uit de mogelijkheid van die objectrelatie. Maar dat heb ik blijkbaar niet zo duidelijk gezegd.

Op z'n minst supervenieren aantallen ('telheden'?) daarom op andere eigenschappen, en op die eigenschappen supervenieert ook 'onderscheidbaarheid'. 'Onderscheidbaarheid' zelf kan dus ook geen fundamentele eigenschap zijn: iets is altijd onderscheidbaar door (een of meerdere) eigenschappen; dat is de triviale kant van de wet van Leibniz. Daarom lijkt, 'met ieder willekeurig object is 1-heid al gegeven' mij een enorme tautologie, maar geen argument om 'telheden' niet als (supervenierende) eigenschappen te behandelen.

Onderscheidbaarheid is geen eigenschap (fundamenteel of niet) van een object. Een object is precies dat: een deel van de werkelijkheid dat onderscheiden kan worden (voor zover het onderscheiden kan worden) Hoe dat onderscheiden plaatsvindt (a.h.v. welke eigenschappen) is niet van belang. En wat een object verder ook is, het heeft altijd een getal, d.w.z. een relatie met andere objecten. We hoeven, om te tellen, dus alleen de mogelijkheid van eigenschappen aan te nemen. Eigenschappen zijn voor onze discussie eigenlijk irrelevant, net als (dus) de wet van Leibniz.

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op zaterdag 24 september 2005 @ 15:29:
Such is the nature of the internet.

Misschien dat ik morgen toekom aan een wat meer substantieel inhoudelijk verhaal. Maar vooralsnog wil ik er even op wijzen dat hernieuwde activiteit van mijn redigeerder mij zojuist in de gelegenheid gesteld heeft de aard van het internet te wijzigen: Logisch-filosofische verhandeling.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 30 september 2005 @ 22:21:
Dat is nu juist precies het punt dat ik probeer te maken,

Dat weet ik wel, maar dat is wat ik niet geloof. Want, vind ik, zelfs al hoeft er geen onmiddelijke waarneming gedaan te worden om een telkundige uitspraak te evalueren, dan wordt, als het tellen een basis heeft in de werkelijkheid, die uitspraak toch op basis van de werkelijkheid geevalueerd. Als ik mij herinner dat het gisteren mooi weer was, en ik zeg 'Gisteren was het mooi weer!' dan is dat een uitspraak die geverifieerd kan worden door iets als correspondentie met de werkelijkheid, al is er geen onmiddelijke waarneming (meer) mogelijk om die uitspraak te verifieren.

Ietwat overmoedig probeer ik bovendien de onwaarheid van een contradictie (en niet de contradictie zelf, zoals jij scheen te denken) af te leiden uit de mogelijkheid van die objectrelatie. Maar dat heb ik blijkbaar niet zo duidelijk gezegd.

Ah nee, dat had ik niet begrepen. Maar ik begrijp ook niet wat 'de onwaarheid van een contradictie' is. Ik zou werkelijk niet weten waar ik ook maar zou moeten beginnen met het proberen te beantwoorden van een vraag als 'Waarom is de contradictie onwaar?'. My bad, waarschijnlijk.

Hoe dat onderscheiden plaatsvindt (a.h.v. welke eigenschappen) is niet van belang.

Niet? Ik vind dat toch een heel interessant metafysisch vraagstuk. Mijn commentaar was alleen dat 'ieder object is onderscheidbaar, en daarom 1' een tautologie is, geen (of nauwelijks) een stap op de weg naar een grounding van rekenkunde in werkelijkheid.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 30 september 2005 @ 02:16:
Hoi Sandalf, omdat je anders zo met jezelf praat...

Je onderscheid tussen 'subjectieve' en 'objectieve' wiskunde is een beetje raar. Over liever gezegd, overbodig. Stel dat je als wiskundige bezig bent met wiskunde, met welke wiskunde ben je dan bezig? Je zou toch willen zeggen, met de óbjectieve wiskunde. Als je de stelling van pythagoras bewijst, dan bewijs je dé stelling van pythagoras en niet een of ander gedachtenspinsel van jezelf of de schaduw van de stelling van pythagoras.

Ik ben van mening dat mijn onderscheid heel wezenlijk is. Een wiskundige die de stelling van Pythagoras bewijst is in feite altijd met de subjectieve vorm van wiskunde bezig. Hij heeft gedachten in zijn hoofd. Deze zijn subjectief. De stelling van Pythagoras zelf is echter een stelling in de vlakke Euclidische meetkunde. Deze theorie bestaat niet volledig in het hoofd van de wiskundige. Alleen al het feit dat de theorie oneindig veel stellingen, punten, cirkels etc. bevat en het hoofd van de wiskundige maar eindig veel gedachten maakt dat volstrekt onmogelijk. Daarom is het onderscheid tussen de wiskunde zelf, die een ideeënwereld is (of die in een ideeënwereld bestaat) en de wiskunde waar de wiskundige mee bezig is in zijn hoofd onmisbaar en zeer wezenlijk.

Hoe kan de wiskundige dan in contact komen met deze ongrijpbare, onmogelijk volledig te bevatten ideeënwereld? Ik geef toe dat mijn verhaal over "eenvoudige toegang tot schaduwen van de ideeënwereld" vaag en onbegrijpelijk was. Daarom een nieuwe poging. De vraag wordt weerspiegeld in het probleem: Als ik opschrijf: {0,1,2,3, etc.}, waar ben ik dan mee bezig?

De natuurlijke getallen bestaan niet in mijn hoofd. Wel in een ideeënwereld en wel in de theorie die door de axioma's van Peano wordt vastgelegd. In mijn hoofd bestaat een (redelijk) duidelijk idee bij de eerste paar elementen van dit rijtje en een vaag idee van een "vervollediging" van dit proces en een nog vager idee van de "theorie van de rekenkunde" die bestaat uit alle ware stellingen over getallen. Dit samen vormt mijn beeld van de natuurlijke getallen. Ik zie heel duidelijk een verschil tussen de ideeën in mijn hoofd en de volledige rekenkunde die door Peano's axioma's wordt vastgelegd. Het verschil zit hem welicht hierin: De vervollediging wordt niet "uitgevoerd" in mijn hoofd. Het blijft bij het vage idee ervan. Alleen in de ideeënwereld is het rijtje compleet en bestaan alle elementen zowel afzonderlijk als als geheel. Het vage idee van het volledige rijtje natuurlijke getallen of van de gehele rekenkunde als verzameling ware stellingen over getallen, kan worden gezien als de schaduw van het complete rijtje of als de schaduw van de rekenkunde die voor mensen waarneembaar is.

Het probleem van het contact is in feite heel lastig op te lossen. In feite is er ook helemaal geen contact. Mensen hebben immers alleen subjectieve ideeën in hun hoofd en kunnen op geen enkele manier zich "tussen de getallen" begeven. De theorie der natuurlijke getallen blijft daardoor geheel vrij van menselijke inmenging en mensen bereiken nooit de volledige kennis van de gehele rekenkunde. We zullen als mensen moeten leren leven met het feit dat onze kennis van de oneindige wiskunde slechts eindig is (en dus 0%).

[ Voor 6% gewijzigd door Verwijderd op 03-10-2005 19:20 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zaterdag 01 oktober 2005 @ 16:57:
[...]
Dat weet ik wel, maar dat is wat ik niet geloof. Want, vind ik, zelfs al hoeft er geen onmiddelijke waarneming gedaan te worden om een telkundige uitspraak te evalueren, dan wordt, als het tellen een basis heeft in de werkelijkheid, die uitspraak toch op basis van de werkelijkheid geevalueerd. Als ik mij herinner dat het gisteren mooi weer was, en ik zeg 'Gisteren was het mooi weer!' dan is dat een uitspraak die geverifieerd kan worden door iets als correspondentie met de werkelijkheid, al is er geen onmiddelijke waarneming (meer) mogelijk om die uitspraak te verifieren.

Als het tellen een basis heeft in de werkelijkheid, dan betekent dat niet dat telkundige proposities te vergelijken zijn met waarnemingsuitspraken. Ik bedoelde (natuurlijk) dat als de axioma's van een systeem een basis in de werkelijkheid hebben, we de waarheid van een propositie van dat systeem niet hoeven te verifieren a.h.v. correspondentie met de werkelijkheid, alleen uit iets als consistentie met de axioma's.

Ah nee, dat had ik niet begrepen. Maar ik begrijp ook niet wat 'de onwaarheid van een contradictie' is. Ik zou werkelijk niet weten waar ik ook maar zou moeten beginnen met het proberen te beantwoorden van een vraag als 'Waarom is de contradictie onwaar?'. My bad, waarschijnlijk.

Your bad indeed. Het principe van non-contradictie als 'law of thought' is zelfs (zij het noodzakelijkerwijs circulair) te bewijzen. Parmenides schijnt het geformuleerd te hebben, inderdaad met een beroep op de onmogelijkheid van iets om tegelijkertijd wel en niet te bestaan Het is ook te ontkennen, Heraclitus doet dat ergens, natuurlijk m.b.v de dubieuze rol die gelijktijdigheid hier inneemt.

Niet? Ik vind dat toch een heel interessant metafysisch vraagstuk.

Jaja heel interessant metafysische vraagstuk maar niet relevant voor deze discussie, die gaat over getallen. Voor een fundering van getallen kunnen we zoals gezegd zonder eigenschappen.

Mijn commentaar was alleen dat 'ieder object is onderscheidbaar, en daarom 1' een tautologie is, geen (of nauwelijks) een stap op de weg naar een grounding van rekenkunde in werkelijkheid.

Wat is het, niet of nauwelijks? Als ik zeg dat het tellen is gefundeerd in het onderscheiden van objecten, dan is een wereld waarin objecten (kunnen) worden onderscheiden, een wereld waar de rekenkunde geldt. Daarmee is de vraag naar de 'ontologische status' van getallen zo goed als opgelost. Het is dus niet of wel, en niet nauwelijks...

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 04 oktober 2005 @ 15:56:
Als het tellen een basis heeft in de werkelijkheid, dan betekent dat niet dat telkundige proposities te vergelijken zijn met waarnemingsuitspraken. Ik bedoelde (natuurlijk) dat als de axioma's van een systeem een basis in de werkelijkheid hebben, we de waarheid van een propositie van dat systeem niet hoeven te verifieren a.h.v. correspondentie met de werkelijkheid, alleen uit iets als consistentie met de axioma's.

Ik ben van mening dat de axioma's op geen enkele wijze te relateren zijn aan dingen in de werkelijkheid. Een axioma als x+0=x=0+x is een wezenlijk onderdeel van de definitie van optelling, maar om nu te zeggen dat we ergens in de werkelijkheid een aanwijzing kunnen vinden dat dit "waar" is, vind ik erg vreemd. Zo'n axioma is waar in de rekenkunde (de theorie die door de axioma's van Peano wordt gegenereerd). Daarmee is de waarheid van een axioma heel duidelijk te begrijpen. De zijnsstatus van dit axioma is ook eenvoudig te begrijpen als we zeggen dat dit axioma bestaat als propositie in de rekenkunde. Naar mijn mening zijn de waarheid en de ontologie (de zijnsleer) van de wiskunde verreweg het eenvoudigst te begrijpen als we de wiskunde buiten de werkelijkheid plaatsen in een Platoonse ideeenwereld.

De moeilijkheden komen altijd op de proppen als we de wiskunde willen gaan funderen in de werkelijkheid. Je moet dan zoeken naar aanwijzingen en verbanden die op z'n minst discutabel zijn. Volgens mij is de enige wiskunde die in onze werkelijkheid bestaat dan ook de wiskunde als ideeen in de hoofden van wiskundigen. Als dictaat of boek dat te koop is. Als mooie theorie waar iemand vreugdevol over kan vertellen wellicht, maar nooit als werkelijk formele theorie. De perfecte cirkel bestaat niet. Niet in ons hoofd en niet op papier. En toch is het mijn geloof (een bewijs geven is onmogelijk) dat de perfecte cirkel bestaat in de vlakke Euclidische meetkunde, oftewel in een Platoonse ideeenwereld.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 03 oktober 2005 @ 19:15:
Een wiskundige die de stelling van Pythagoras bewijst is in feite altijd met de subjectieve vorm van wiskunde bezig. Hij heeft gedachten in zijn hoofd. Deze zijn subjectief. De stelling van Pythagoras zelf is echter een stelling in de vlakke Euclidische meetkunde.

Dan zal ik het direct vragen. Bewijst de wiskundige 'de' stelling van Pythagoras?

Het probleem van het contact is in feite heel lastig op te lossen. In feite is er ook helemaal geen contact.

Dan maakt het niet uit of je ideenrijk bestaat of niet. En als het niet uitmaakt, is het volgens Occam's razor beter om zo min mogelijk aan te nemen; en je ideenrijk dus niet.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 04 oktober 2005 @ 15:56:
Als het tellen een basis heeft in de werkelijkheid, dan betekent dat niet dat telkundige proposities te vergelijken zijn met waarnemingsuitspraken.

Dan verschillen we van mening. Het zinnetje 'Gisteren regende het' is ook alleen maar te verifieren a.h.v. wat andere mensen zeggen. Dat lijkt mij -- wat a priori/a posteriori verificatie betreft -- prima te vergelijken met consistentie met de axioma's.

Het principe van non-contradictie als 'law of thought' is zelfs (zij het noodzakelijkerwijs circulair) te bewijzen. [..] Het is ook te ontkennen

Hmmpf, circulaire bewijzen die (dus) even goed ontkend kunnen worden. Ik geloof niet dat ik veel gemist heb.

Wat is het, niet of nauwelijks?

Niet. Tellen tot en met '1' gets you nowhere. Waarom zouden twee objecten + twee objecten vier objecten zijn? Waarom niet drie? Of zes? Er is tenslotte zes keer een onderscheid tussen twee objecten te maken.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 14:25:
[...]
Ik ben van mening dat de axioma's op geen enkele wijze te relateren zijn aan dingen in de werkelijkheid. Een axioma als x+0=x=0+x is een wezenlijk onderdeel van de definitie van optelling, maar om nu te zeggen dat we ergens in de werkelijkheid een aanwijzing kunnen vinden dat dit "waar" is, vind ik erg vreemd.

In de werkelijkheid zijn toch genoeg 'aanwijzingen' te vinden dat dit waar is (als we aan een object geen ander object toevoegen, houden we alleen het object over, etc.) We zouden zelfs wat nonchalant kunnen zeggen dat de waarheid van dit axioma zelf-evident is. Waarom zouden we doen alsof dergelijke axioma's door ons zijn verzonnen for the sake of argument? Ze zijn toch allerminst arbitrair te noemen. Daarom ook stel ik dat ze au fond berusten op objectrelaties die zijn gegeven door de mogelijkheid van waarneming, i.e. het onderscheiden van objecten. A priori is hier dus niet een object, een axioma of een of andere propositie, maar slechts de onderscheidbaarheid van objecten. Door die onderscheidbaarheid is de 'waarheid' van x+0=x=0+x en van Peano's axioma's zelf-evident, d.w.z zonder grond in enig axiomatisch systeem, en ook niet in een of andere specifieke waarneming, maar in de mogelijkheid van waarneming (i.e. uiteindelijk, in de activiteit waarmee een organisme interageert met zijn omgeving)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 15:28:
[...]
Dan verschillen we van mening. Het zinnetje 'Gisteren regende het' is ook alleen maar te verifieren a.h.v. wat andere mensen zeggen. Dat lijkt mij -- wat a priori/a posteriori verificatie betreft -- prima te vergelijken met consistentie met de axioma's.

Logische afleiding is een andere methode van verificatie dan empirie, right? De waarheid van 2+2=4 berust op de definities en axioma's van de rekenkunde, die van 'gisteren regende het' op... ja, whatever. Make your point (clear), want dit argumentloze haarkloven levert niets op. Hetzelfde geldt trouwens dat zijpad over contradictie, waarop jij volgens mij probeert te stellen (beargumenteren zou een overstatement zijn) dat contradictie en waarheid niet in termen van elkaar gedefinieerd kunnen worden, of althans dat een uitspraak als 'alle contradicties zijn onwaar' zinledig is, oid.

Niet. Tellen tot en met '1' gets you nowhere. Waarom zouden twee objecten + twee objecten vier objecten zijn? Waarom niet drie? Of zes? Er is tenslotte zes keer een onderscheid tussen twee objecten te maken.

Ik heb het nooit gehad over tellen tot 1. Er kan niet maar 1 object zijn in de wereld. Wat je verder bedoelt met die laatste zin is me volstrekt duister.

Mag ik overigens bij verstek aannemen dat je het nu met me eens bent dat eigenschappen buiten de discussie kunnen blijven?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 16:04:
Logische afleiding is een andere methode van verificatie dan empirie, right?

Oh maar natuurlijk. Maar het gaat erom dat jij blijkbaar vindt dat als iets een 'basis' heeft in de empirie, dat dat niet betekent dat alle uitspraken met die basis empirische uitspraken zijn, en ik dat met evenveel argumenten (ahum) bestrijd. Je hebt geen enkel argument gegeven waarom jouw 'nuancering' van de tegenstelling empirisch/idealistisch noodzakelijk is (en daarmee een zinnige nuancering), je hebt (uiteindelijk) enkel gezegd "dit is gewoon iets anders".

Dat uitstapje over contradicties heeft daar mee te maken omdat dát nu juist een punt is waar de scheiding tussen empirie en idealisme op scherp staat. Want is de contradictie algemeen, en daardoor in iedere onware uitspraak manifest, of is de contradictie algemeen, en daardoor niet af te leiden uit een eindig aantal waarnemingen. Ik dacht dat ik begreep dat je het eerste wilde doen, maar ben na het verhaal over de onwaarheid van de contradictie, daar niet meer zo zeker van.

Over de zinledigheid van een uitspraak als 'alle contradicties zijn onwaar' heb ik het niet willen hebben. Ik begrijp niet wat bewijzen dat de contradictie onwaar is, zou moeten zijn, maar zoals ik zei, kan dat helemaal aan mij liggen. Om dan maar meteen te beweren dat zo'n uitspraak zinledig is, is me wat al te aanmatigend.

Ik heb het nooit gehad over tellen tot 1. Er kan niet maar 1 object zijn in de wereld. Wat je verder bedoelt met die laatste zin is me volstrekt duister.

Ik bedoelde natuurlijk, dat als je zegt dat een object onderscheidbaar is, je de voorwaarden geschapen hebt om te tellen tot één: één object, dat is onderscheidbaar. Waarom er, als er 2 + 2 objecten zijn, er daarna víer objecten te onderscheiden zijn, is dan nog allerminst duidelijk.

Stel (zomaar) dat 'onderscheidbaarheid' een twee-plaatsige relatie is tussen objecten (wat trouwens circulair is, gegeven jouw begrip van 'object' en 'onderscheidbaar'), dan is er bij vier objecten (A,B,C,D) op zes manieren een onderscheid te maken (AB, AC, AD, BC, BC, CD). Ik zeg niet dat dat de enige manier is, maar dat is 'n manier. (Al is 'onderscheidbaarheid' kennelijk geen twee-plaatsige relatie)

Mag ik overigens bij verstek aannemen dat je het nu met me eens bent dat eigenschappen buiten de discussie kunnen blijven?

Ik twijfelde nog of ik aan de laatste paragraaf van mijn vorige post zou moeten toevoegen: "En daarom is de wet van Leibniz wél van belang; immers, je bent gehouden aan de waarheid van de stelling dat ieder object onderscheidbaar moet zijn van ieder ander object. Je kunt veronderstellen dat onderscheidbaarheid bevat is in het begrip 'object', maar dat maakt wat je zegt over de onderscheidbaarheid van objecten alleen maar tautologisch, en geeft geen antwoord op de vraag waarom 2*2=4, en niet 6, of gewoon weer 2." Bij deze dus. Je zult toch íets moeten zeggen over wat voor soort relatie (?) onderscheidbaarheid is?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 16:40:
[...]
Oh maar natuurlijk. Maar het gaat erom dat jij blijkbaar vindt dat als iets een 'basis' heeft in de empirie, dat dat niet betekent dat alle uitspraken met die basis empirische uitspraken zijn, en ik dat met evenveel argumenten (ahum) bestrijd.

We kunnen heel goed stellen dat de axioma's van de Euclidische meetkunde een basis hebben in de 'werkelijkheid, zonder daarmee te beweren dat de meetkunde een empirische wetenschap zou zijn, en haar stellingen empirisch geverifieerd moeten kunnen worden (maar omdat en zolang de axioma's zelf-evident zijn (in de zin waarin ik het hierboven gebruik), kan dat natuurlijk wel)

Dat uitstapje over contradicties heeft daar mee te maken omdat dát nu juist een punt is waar de scheiding tussen empirie en idealisme op scherp staat. Want is de contradictie algemeen, en daardoor in iedere onware uitspraak manifest, of is de contradictie algemeen, en daardoor niet af te leiden uit een eindig aantal waarnemingen. Ik dacht dat ik begreep dat je het eerste wilde doen, maar ben na het verhaal over de onwaarheid van de contradictie, daar niet meer zo zeker van.

Dit onderscheid (inductie/deductie) is volgens mij niet zinvol. Zo is de stelling dat een object er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn zelf een waarnemingsuitspraak, maar een die niet kan worden weerlegd door welke waarneming dan ook. Toch is die stelling op te vatten als basis van het principe van non-contradictie, en in die zin verdwijnt hier het strikte onderscheid tussen logica en empirie.

Stel (zomaar) dat 'onderscheidbaarheid' een twee-plaatsige relatie is tussen objecten (wat trouwens circulair is, gegeven jouw begrip van 'object' en 'onderscheidbaar'), dan is er bij vier objecten (A,B,C,D) op zes manieren een onderscheid te maken (AB, AC, AD, BC, BC, CD). Ik zeg niet dat dat de enige manier is, maar dat is 'n manier. (Al is 'onderscheidbaarheid' kennelijk geen twee-plaatsige relatie)

Nee, nu probeer je onderscheidbaarheid toch weer te reduceren tot eigenschappen (dat lijkt mij tenminste de strekking van een tweeplaatsige relatie), wat ik natuurlijk niet wil. Ik wil zoals je al zegt een object uitsluitend definieren in termen van onderscheidbaarheid.

Ik twijfelde nog of ik aan de laatste paragraaf van mijn vorige post zou moeten toevoegen: "En daarom is de wet van Leibniz wél van belang; immers, je bent gehouden aan de waarheid van de stelling dat ieder object onderscheidbaar moet zijn van ieder ander object. Je kunt veronderstellen dat onderscheidbaarheid bevat is in het begrip 'object', maar dat maakt wat je zegt over de onderscheidbaarheid van objecten alleen maar tautologisch, en geeft geen antwoord op de vraag waarom 2*2=4, en niet 6, of gewoon weer 2." Bij deze dus. Je zult toch íets moeten zeggen over wat voor soort relatie (?) onderscheidbaarheid is?

Ik definieer object als datgene wat onderscheiden kan worden. Onderscheiden gebeurt aan de hand van een eigenschap, en dus is een object datgene waarvan wij kunnen zeggen dat het eigenschappen heeft (datgene wat eigenschappen kan hebben). 'Getal' is hier dan ook geen eigenschap, maar een fundamentele relatie tussen twee objecten (ongeacht hun eigenschappen). 2*2=4 omdat dit volgt uit de axioma's en definities van de rekenkunde. Het zijn die axioma's zelf die gegrond zijn in de werkelijkheid, i.e. zelf-evident in de betekenis als hierboven gegeven.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 14:48:
[...]

Dan zal ik het direct vragen. Bewijst de wiskundige 'de' stelling van Pythagoras?

[...]

Dan maakt het niet uit of je ideenrijk bestaat of niet. En als het niet uitmaakt, is het volgens Occam's razor beter om zo min mogelijk aan te nemen; en je ideenrijk dus niet.

Maar dan bestaat de stelling van Pythagoras niet als formele stelling! Dat is nu net het probleem. Ik wil graag dat proposities en wiskundige objecten zoals getallen ergens bestaan. Verder kan ik duidelijk een verschil zien tussen een getal en mijn beeld van een getal. Het getal 15 bestaat in mijn hoofd, dat is duidelijk, maar ik vind het vrij bizar om aan te moeten nemen dat het getal 15 alleen in mijn hoofd bestaat (en in dat van vele anderen). Volgens mij bestaat 15 ook ergens gewoon als 15. Als element van de natuurlijke getallen. Als object in een ideeënwereld.

Jij mag best een ander geloof hebben en niet geloven in die Platoonse ideeënwereld, maar mijns inziens is dit meningsverschil (of geloofsverschil) waar we niet uit kunnen komen. Noch kan ik bewijzen dat 15 los van de werkelijkheid bestaat, noch kan jij het ontkrachten.

[henkleerssen]

tja.. het is ondertussen ook filosofische discussie geworden over wiskunde he..
ik kan alleen maar bedenken dat een soortgelijke discussie een tijd geleden hier is gevoerd:
Is wiskunde een absolute waarheid?
maar het probleem is dat we in eigenlijk nu weer in VERSCHILLENDE discussies verzanden:
Wat is bestaan?
Wat is werkelijkheid?
Is wiskunde bedacht of de werkelijkheid?
Zijn axioma's er om ontdekt te worden (een werkelijkheid) of worden ze bedacht?
etc..etc..

Komen we een steek verder hier?
Keep it ot met andere woorden. Dus nog een keer: Wat zijn getallen? Bedacht of een werkelijkheid om ontdekt te worden? Iedereen haalt er van alles bij omdat het eigenlijk zo moeilijk is uit te leggen eigenlijk.
Ik wil niet de discussie "de nek omdraaien" eerder wat aanscherpen btw.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 15:41:
In de werkelijkheid zijn toch genoeg 'aanwijzingen' te vinden dat dit waar is (als we aan een object geen ander object toevoegen, houden we alleen het object over, etc.) We zouden zelfs wat nonchalant kunnen zeggen dat de waarheid van dit axioma zelf-evident is. Waarom zouden we doen alsof dergelijke axioma's door ons zijn verzonnen for the sake of argument? Ze zijn toch allerminst arbitrair te noemen. Daarom ook stel ik dat ze au fond berusten op objectrelaties die zijn gegeven door de mogelijkheid van waarneming, i.e. het onderscheiden van objecten. A priori is hier dus niet een object, een axioma of een of andere propositie, maar slechts de onderscheidbaarheid van objecten. Door die onderscheidbaarheid is de 'waarheid' van x+0=x=0+x en van Peano's axioma's zelf-evident, d.w.z zonder grond in enig axiomatisch systeem, en ook niet in een of andere specifieke waarneming, maar in de mogelijkheid van waarneming (i.e. uiteindelijk, in de activiteit waarmee een organisme interageert met zijn omgeving)

Goed, jij vindt dus blijkbaar x+0=x=0+x evident. Dan heb ik nog een axioma voor je: het keuze axioma. Dit axioma zegt: als we een (mogelijk oneindig) aantal verzamelingen hebben, dan kunnen we een verzameling maken die van elk van deze verzamelingen één element bevat.

Dit axioma klinkt ook heel logisch. Toch is er nogal wat gedoe om of we dit axioma zomaar mogen aannemen of niet. Het leidt namelijk tot zeer merkwaardige paradoxen, zoals de Banach Tarski paradox, die zegt dat we de bolschil kunnen openknippen in samenhangende stukjes (zonder deze te vervormen) en vervolgens deze stukjes weer aan elkaar kunnen plakken om er twee bolschillen van te maken. Alsof we een sinasappel kunnen schillen en uit de schillen twee sinasappels kunnen maken.

En neem de continuum hypothese. Dit is een stelling die niet eens voor de hand liggend is, maar wel onafhankelijk is van alle axioma's van de verzamelingsleer. We kunnen deze hypothese dus gewoon als axioma toevoegen aan de verzamelingsleer. We kunnen echter ook zijn negatie (CH is onwaar) toevoegen. Voor welke moeten we nu kiezen? Geen idee...

Mijn punt is dat het vreselijk moeilijk is om van alle axioma's zomaar te zeggen dat ze volgen uit feiten in de werkelijkheid. Bovendien beperken we ons daarmee tot het bestuderen van wiskunde die op "werkelijk ware" axioma's berust. Dat dit werkelijk een ongewenste beperking is, kan ik illustreren met het verhaal van de meetkunde.

De Euclidische meetkunde kent het zogenaamde parallellenpostulaat dat zegt dat als we een lijn L hebben en een punt P, niet op die lijn, dat er dan een lijn M bestaat die door P gaat en geen enkel punt gemeen heeft met L. De lijn M loopt dus parallel aan L, vandaar de naam.

Als we dit axioma (dat best logisch klinkt) eens overboord gooien, dan krijgen we een andere consistente meetkunde, namelijk de bolmeetkunde. Als we zijn negatie aannemen (zo'n lijn bestaat juist niet) dan krijgen we ook een consistente meetkunde: de projectieve meetkunde.

Beiden zijn zeer interessant en het zou zonde zijn als we dit soort axioma's niet zouden mogen verwerpen of weglaten, omdat het axioma gewoonweg waar is, omdat er "aanwijzingen" (wellicht zelfs een bewijs?) in de werkelijkheid voor dit axioma bestaat.

Projectieve meetkunde doet trouwens aan oneindige punten die buiten het "normale" vlak liggen. Als je dat in de werkelijkheid weet te funderen vind ik dat knap, maar ik denk dat je moet toegeven dat dit niet gaat. Toch is deze meetkunde buitengewoon interessant, omdat het "de missende" oplossingen biedt voor vergelijkingen die anders geen oplossing zouden hebben. Twee evenwijdige lijnen snijden elkaar opeens in het oneindige en precies 1 keer. Elke twee lijnen snijden elkaar zelfs precies 1 keer. Sterker nog, een n-de graads kromme en een m-de graads kromme snijden elkaar precies nm keer! In die zin is het toelaten van oneindige oplossingen (naast complexe en dubbele oplossingen) een zeer natuurlijke volgende stap in de theorie van het oplossen van vergelijkingen.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 18:10:
We kunnen heel goed stellen dat de axioma's van de Euclidische meetkunde een basis hebben in de 'werkelijkheid, zonder daarmee te beweren dat de meetkunde een empirische wetenschap zou zijn, en haar stellingen empirisch geverifieerd moeten kunnen worden (maar omdat en zolang de axioma's zelf-evident zijn (in de zin waarin ik het hierboven gebruik), kan dat natuurlijk wel)

Oneens. Zie mijn vorige post over de axioma's van de meetkunde.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 21:35:
[...]

Goed, jij vindt dus blijkbaar x+0=x=0+x evident.

Tja, ik heb natuurlijk niet gezegd dat deze zelf-evidentie geldt voor alle axioma's van alle takken van wiskunde. Bij mij weten is er geen consistente rekenkunde denkbaar waarin x+0=x=0+x niet houdt. En hoewel je bezwaren in zekere zin gerechtvaardigd zijn, lijkt het een beetje flauw om met (de verwerping van) het 5de postulaat van Euclides op de proppen te komen, juist een postulaat dat (al vrij snel trouwens) omstreden bleek, en zeker niet dezelfde graad van 'zelf-evidentie' heeft als de overige vier.

Dit vraagt wel weer een uitleg van zelf-evidentie. 'Logisch klinken' en zelfs 'bewezen door de waarneming' lijken hier niet te voldoen. Ik gebruik het hier losjes gedefinieerd als 'voorafgaand aan de mogelijkheid waar te nemen'.

De niet-projecteerbaarheid van sommige delen van de wiskunde in de werkelijkheid zoals wij die kunnen voorstellen (als in je voorbeeld van de oneindige punten in het normale vlak) betekent niet dat de gehele wiskunde geen basis heeft in de werkelijkheid. Uitgaande van de werkelijkheid zoals die zich voordoet zijn er blijkbaar werkelijkheden te construeren die zich niet voordoen, maar wel construeerbaar zijn. (maar dit geldt zeker niet voor alle axioma's van de Euclidische meetkunde)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 06 oktober 2005 @ 13:45:
Tja, ik heb natuurlijk niet gezegd dat deze zelf-evidentie geldt voor alle axioma's van alle takken van wiskunde. Bij mij weten is er geen consistente rekenkunde denkbaar waarin x+0=x=0+x niet houdt.

Wat dacht je van optellen binnen de verzameling N-{0} (alle natuurlijke getallen zonder 0)? Binnen deze verzameling bestaat er geen element O met de eigenschap dat x+O=x=O+x, dus is het axioma niet eens een goede zin, laat staan dat het waar is. Toch kan je alle getallen bij elkaar optellen, zonder contradicties. Eventueel kan je ook nog een vermenigvuldiging erbij definieren.

En hoewel je bezwaren in zekere zin gerechtvaardigd zijn, lijkt het een beetje flauw om met (de verwerping van) het 5de postulaat van Euclides op de proppen te komen, juist een postulaat dat (al vrij snel trouwens) omstreden bleek, en zeker niet dezelfde graad van 'zelf-evidentie' heeft als de overige vier.

Dit is niet het enige voorbeeld dat ik noem. Ook het keuze axioma is een omstreden axioma. Zelfs het principe van de uitgesloten derde (alle stellingen zijn waar of niet waar) is omstreden, terwijl de meeste mensen dit toch wel erg "evident" vinden. De continuum hypothese is een voorbeeld waarvan het zelfs volstrekt onduidelijk is of we deze moeten aannemen of zijn negatie. Bewijzen kunnen we hem niet...

Waarom zouden we onszelf nu met het ingewikkelde probleem opzadelen om bepaalde axioma's wel en andere niet aan te nemen, door te kijken of ze wellicht "vooraf gaan aan onze waarneming"? Laten we gewoon kijken wat er gebeurt met de theorie als we bepaalde axioma's verwerpen, weglaten of aannemen. Geen discriminatie van bepaalde axioma's! Deze houding heeft in de geschiedenis van de wiskunde tot zeer veel boeiende inzichten geleid.

Dit vraagt wel weer een uitleg van zelf-evidentie. 'Logisch klinken' en zelfs 'bewezen door de waarneming' lijken hier niet te voldoen. Ik gebruik het hier losjes gedefinieerd als 'voorafgaand aan de mogelijkheid waar te nemen'.

De niet-projecteerbaarheid van sommige delen van de wiskunde in de werkelijkheid zoals wij die kunnen voorstellen (als in je voorbeeld van de oneindige punten in het normale vlak) betekent niet dat de gehele wiskunde geen basis heeft in de werkelijkheid. Uitgaande van de werkelijkheid zoals die zich voordoet zijn er blijkbaar werkelijkheden te construeren die zich niet voordoen, maar wel construeerbaar zijn. (maar dit geldt zeker niet voor alle axioma's van de Euclidische meetkunde)

Je kan ook best een meetkunde definieren zonder punten, of zonder lijnen. Je kan zelfs een meetkunde definieren zonder axioma's (alle stellingen zijn onbewijsbaar) of eentje waarin alle stellingen waar zijn. Dat dit niet zo interessant is, is iets anders. Dit heeft echter veel meer met de complexiteit en de aard van de theorie te maken, dan met een vage relatie met dingen in de werkelijkheid. Voor dit laatste punt is de projectieve meetkunde een goed voorbeeld. Heel interessant voor de algebra, maar zonder fundament in de werkelijkheid.

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 06-10-2005 15:15 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 06 oktober 2005 @ 15:09:
Wat dacht je van optellen binnen de verzameling N-{0} (alle natuurlijke getallen zonder 0)? Binnen deze verzameling bestaat er geen element O met de eigenschap dat x+O=x=O+x, dus is het axioma niet eens een goede zin, laat staan dat het waar is. Toch kan je alle getallen bij elkaar optellen, zonder contradicties. Eventueel kan je ook nog een vermenigvuldiging erbij definieren.

Dat het geen goede zin is, is iets anders dan dat het onwaar is, dus dat 'laat staan' is hier wat eigenaardig. Maar dit is toch al niet echt een vruchtbaar zijpad.

Dit is niet het enige voorbeeld dat ik noem. Ook het keuze axioma is een omstreden axioma. Zelfs het principe van de uitgesloten derde (alle stellingen zijn waar of niet waar) is omstreden, terwijl de meeste mensen dit toch wel erg "evident" vinden.

Ja, nogmaals, ik houd ook helemaal niet vol dat alle axioma's zelf-evident zijn. Het principe van de uitgesloten derde is trouwens helemaal niet zo evident (zeker niet in het geval van objecten)

Waarom zouden we onszelf nu met het ingewikkelde probleem opzadelen om bepaalde axioma's wel en andere niet aan te nemen, door te kijken of ze wellicht "vooraf gaan aan onze waarneming"?

Dat wilde ik ook helemaal niet doen. Het ging mij om de vraag wat getallen zijn. Abstracties van objecten, was mijn antwoord, met het optellen als abstractie van de objectrelatie. En de mogelijkheid objecten te onderscheiden gaat vooraf aan de waarneming. Objecten, in deze zin, zijn werkelijk (zo werkelijk als iets kan worden) en doordat getallen daarin gefundeerd zijn (doordat de werkelijkheid zogezegd discreet is op te vatten), werken getallen, i.e. beantwoordt de wereld van objecten aan onze berekeningen.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 21:13:
Maar dan bestaat de stelling van Pythagoras niet als formele stelling!

Zucht. Ik vraag het nogmaals. Denk je dat ik, als ik de stelling van Pythagoras bewijs, 'de' stelling van Pythagoras bewijs, of bewijs ik een of andere afgeleide schaduw-stelling, een idee van de stelling van Pythagoras?

Jij mag best een ander geloof hebben en niet geloven in die Platoonse ideeënwereld, maar mijns inziens is dit meningsverschil (of geloofsverschil) waar we niet uit kunnen komen.

Het gaat niet om wat ik vind. Jij zegt gekke dingen: want of je accepteert dat je geloof strijdig is met Occam's razor (wat niet erg is) of je accepteert dat er op een of andere manier contact moet zijn met het ideeenrijk (wat ook niet erg is, Plato en Frege deden dat ook).

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 05 oktober 2005 @ 18:10:
(maar omdat en zolang de axioma's zelf-evident zijn [..] kan dat natuurlijk wel)

Dus we zijn klaar wat dit betreft?

Zo is de stelling dat een object er niet tegelijkertijd wel en niet kan zijn zelf een waarnemingsuitspraak, maar een die niet kan worden weerlegd door welke waarneming dan ook.

Dan is dit misschien de bron van mijn bezwaren. Ik dacht dat je op basis van specifieke waarnemingen onwaarheid wilde afleiden, en uit de onwaarheid de contradictie. Dat laatste kan op twee manieren, manieren die je inductief of deductief noemt. Maar als je 'een object kan er niet tegelijkertijd wel en niet zijn' al een waarnemingsuitspraak noemt, en op basis daarvan de contradictie afleidt, begrijp ik hoe de contradictie volgt uit een waarnemingsuitspraak. Al kan de waarheid 'een object kan er niet [nooit] tegelijkertijd wel en niet zijn' ook nooit empirisch aangetoond worden. Kennelijk bleef ik daar op hangen.

Ik definieer object als datgene wat onderscheiden kan worden. Onderscheiden gebeurt aan de hand van een eigenschap, en dus is een object datgene waarvan wij kunnen zeggen dat het eigenschappen heeft (datgene wat eigenschappen kan hebben).

'Onderscheiden' als intransitief werkwoord dus, niet als in 'onderscheiden van iets anders'. Onderscheidbaarheid (fundamenteel, of supervenieerend op eigenschappen) lijkt mij een eigenschap (?) die (numeriek verschillende) objecten noodzakelijk hebben. Maar onderscheidbaarheid alleen is onvoldoende om een object mee te definieren: ik kan een kleur onderscheiden, of een detail, of een raar geluid in de keuken, dat maakt een kleur, een detail of een geluid in de keuken nog geen object. Al zijn kleuren, details en geluiden te tellen. Maar dat onderscheidbaarheid geen noodzakelijk en voldoende voorwaarde is om te tellen heb ik nooit beweerd.

En als je het begrip 'object' oprekt zodat alles wat te tellen is er onder valt, zeg je uiteindelijk dat alle dingen die te tellen zijn, te tellen zijn, doordat je ze kunt tellen.

'Getal' is hier dan ook geen eigenschap, maar een fundamentele relatie tussen twee objecten

Tussen twee objecten?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 06 oktober 2005 @ 19:03:
[...]
Maar als je 'een object kan er niet tegelijkertijd wel en niet zijn' al een waarnemingsuitspraak noemt, en op basis daarvan de contradictie afleidt, begrijp ik hoe de contradictie volgt uit een waarnemingsuitspraak.

Precies. En als het geen waarnemingsuitspraak zou zijn, wat is het dan?

'Onderscheiden' als intransitief werkwoord dus, niet als in 'onderscheiden van iets anders'. Onderscheidbaarheid (fundamenteel, of supervenieerend op eigenschappen) lijkt mij een eigenschap (?) die (numeriek verschillende) objecten noodzakelijk hebben. Maar onderscheidbaarheid alleen is onvoldoende om een object mee te definieren: ik kan een kleur onderscheiden, of een detail, of een raar geluid in de keuken, dat maakt een kleur, een detail of een geluid in de keuken nog geen object. Al zijn kleuren, details en geluiden te tellen. Maar dat onderscheidbaarheid geen noodzakelijk en voldoende voorwaarde is om te tellen heb ik nooit beweerd.

Ik heb 'object' hier ruim opgevat. Je onderscheidt immers ook niet een kleur, maar iets met een kleur, iets maakt een geluid etc. Maar op dezelfde manier onderscheiden wij niet iets naar getal. Om een getal te hebben, telbaar te zijn, hoeft een object alleen maar onderscheidbaar te zijn, i.e. een eigenschap te hebben. Daarom is onderscheidbaarheid zoals ik het gebruik ook geen eigenschap, supervenierend of niet, maar de mogelijkheid van een eigenschap.

En als je het begrip 'object' oprekt zodat alles wat te tellen is er onder valt, zeg je uiteindelijk dat alle dingen die te tellen zijn, te tellen zijn, doordat je ze kunt tellen.

Hoewel dit niet precies is wat ik beweer, is mijn uitgangspunt grotendeels tautologisch. Alle begrippen - objecten, onderscheidbaarheid en telbaarheid - zijn in elkaar gedefinieerd, uiteindelijk gegrondvest in de mogelijkheid van waarneming. Toch meen ik hiermee het probleem te hebben opgelost wat getallen nu zijn, i.e. op welke wijze we kunnen zeggen dat ze bestaan. Ook is nu duidelijk waarom de wereld kwantificeerbaar is, waarom rekenkunde 'werkt' en waarom er maar een rekenkunde kan zijn.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 06 oktober 2005 @ 18:25:
Zucht. Ik vraag het nogmaals. Denk je dat ik, als ik de stelling van Pythagoras bewijs, 'de' stelling van Pythagoras bewijs, of bewijs ik een of andere afgeleide schaduw-stelling, een idee van de stelling van Pythagoras?

Een wiskundige die iets bewijst, bewijst altijd een schaduw-stelling. Hij begrijpt ook alleen de schaduw-stelling. Hij kan ook alleen een schaduwstelling communiceren naar een collega wiskundige. Mensen zijn immers eindige wezens die bestaan uit een klomp vlees en geen wezens die functioneren in een formeel systeem. De echte St. v. P. wordt alleen bewezen door de Euclidische meetkunde zelf, of beter gezegd, binnen de Euclidische meetkunde bestaat er een bewijs van de St. v. P..

Dit is overigens alleen de visie van een buitenstaander (een filosoof bijvoorbeeld) die naar de wiskundige kijkt en beoordeelt waar deze mee bezig is. De wiskundige zelf kan best het idee hebben dat hij werkelijk in contact staat met de wiskunde en dat hij de stelling van Pythagoras bewijst (net als een gelovige in contact met God kan staan, zonder dat dit echt mogelijk is), maar dit is altijd een illusie. De wiskundige heeft geen invloed op de wiskunde. Hij kan niet actief iets aan de wiskunde toevoegen. De wiskunde is een passief systeem waarin bepaalde dingen bestaan, waar zijn en te bewijzen zijn en andere dingen niet. Er treedt geen wisselwerking op tussen de wiskundige en de wiskunde.

Maar toch... Als ik een axioma opschrijf op een blaadje en met een paar eenvoudige stappen een stelling afleid... Dan is dit een verdomd goede afspiegeling van het bewijs binnen formele systeem zelf. De kracht van de wiskunde die mensen ontwikkeld hebben, is dat deze zo precies geformuleerd is, zo consequent, zo rigoureus, dat er haast geen speelruimte meer over is voor misinterpretaties, ambiguiteiten, inconsistenties en andere zaken die de theorie "vaag" maken. Daardoor is de wiskunde met stip de meest exacte en objectieve bezigheid van de mens. Maar toch ontkomen we er niet aan dat wij ook maar mensen zijn en dat we altijd bezig blijven met ideeen in ons hoofd die niet noodzakelijkerwijs gelijk hoeven te zijn aan de echte ideeen uit de wiskunde. Als ik de stelling van P. bewijs, is er altijd de mogelijkheid dat ik me vergist heb en dat ik door een redeneerfout onterecht overtuigd ben geraakt van een onware stelling.

Het gaat niet om wat ik vind. Jij zegt gekke dingen: want of je accepteert dat je geloof strijdig is met Occam's razor (wat niet erg is) of je accepteert dat er op een of andere manier contact moet zijn met het ideeenrijk (wat ook niet erg is, Plato en Frege deden dat ook).

Ik accepteer niet dat mijn geloof strijdig is met Occam's razor. Ik vind zelf een filosofie van de wiskunde waarin de waarheid van stellingen in de werkelijkheid gezocht moet worden veel moeilijker te begrijpen. Ik denk ook dat je daar veel meer voor moet aannemen. Daarom ben ik van mening dat mijn theorie de simpelste is en volgens OR is het dus de juiste theorie.

De andere mogelijkheid (anders dan wiskunde funderen in de werkelijkheid) is het verwerpen van mijn geloof in de ideeenwereld. Dit zou gelijk staan aan het opgeven van mijn geloof dat wiskunde stellingen, objecten, axioma's etc. bestaan. Dat vind ik echter onacceptabel uit esthetisch oogpunt. Een theorie die zegt dat wiskunde niet bestaat, daar kan ik onmogelijk tevreden mee zijn, wat Occam daar ook van gevonden zou hebben.

[ Voor 8% gewijzigd door Verwijderd op 07-10-2005 17:39 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 06 oktober 2005 @ 16:03:
Dat wilde ik ook helemaal niet doen. Het ging mij om de vraag wat getallen zijn. Abstracties van objecten, was mijn antwoord, met het optellen als abstractie van de objectrelatie. En de mogelijkheid objecten te onderscheiden gaat vooraf aan de waarneming. Objecten, in deze zin, zijn werkelijk (zo werkelijk als iets kan worden) en doordat getallen daarin gefundeerd zijn (doordat de werkelijkheid zogezegd discreet is op te vatten), werken getallen, i.e. beantwoordt de wereld van objecten aan onze berekeningen.

Als je dit omschrijft naar:

Vraag: Hoe begrijpen wij getallen?
Antwoord: Als abstracties van objecten, met optellen als abstractie van de objectrelatie.

Dan kan ik het met je eens zijn. Als je echter zegt dat getallen deze abstracties zijn, dan ben ik het geloof ik niet met je eens. Tenzij deze abstractie weer zo abstract wordt dat je deze geabstraheerde objecten buiten de werkelijkheid plaatst. Dan kan het wellicht zo zijn dat de getallenwereld (de rekenkunde) en de ideeenwereld die bestaat uit geabstraheerde objecten met zekere objectrealties, equivalente systemen zijn.

Het probleem is echter dat je mijns inziens altijd ergens het contact met de werkelijkheid verliest en wel op een discontinue manier: het ene moment hebben de objecten nog iets met de werkelijkheid te maken, het andere moment zijn het abstracte objecten geworden, waarvan de zijnsstatus niet meer gegrond hoeft te zijn in de werkelijkheid.

Bovendien heb je hier alleen aangetoond dat er een overeenkomst bestaat tussen eindige verzamelingen objecten met realties en rekenkunde tot een bepaalde grens (zonder getallen boven de 10^(10^10) bijvoorbeeld). Als de wereld discreet is op te vatten (waar ik ook stellig van overtuigd ben), dan is er in de werkelijkheid geen fundament voor oneindige verzamelingen te vinden.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 07 oktober 2005 @ 12:26:
En als het geen waarnemingsuitspraak zou zijn, wat is het dan?

Een metafysische aanname?

Je onderscheidt immers ook niet een kleur, maar iets met een kleur, iets maakt een geluid etc.

Er is toch zeker wel een verschil tussen het geluid dat een inbreker maakt, en de inbreker? Ik kan toch verschillende keren, verschillende geluiden van één inbreker onderscheiden? En ik toch ook in de verte iets roods onderscheiden, zonder te zien of het een shawl, een muts of een kapsel is, of alles tegelijk is? I.e. zonder het object te onderscheiden? Stel dat ik van een rood boek op een rode tafel bv (of een ijsbeer in de sneeuw) het 'rood' onderscheid, dan hoef ik niet noodzakelijk het boek van de tafel te onderscheiden. Al is dit punt niet meer zo belangrijk, nu je zegt een 'ruim' begrip van 'object' te hebben, en je zegt dat je

uitgangspunt grotendeels tautologisch [is].

Ook is nu duidelijk waarom de wereld kwantificeerbaar is, waarom rekenkunde 'werkt' en waarom er maar een rekenkunde kan zijn.

Voor hele kleine waardes van 'duidelijkheid'? Want hoewel ik denk dat er zeker iets te zeggen is voor je benadering, denk ik ook dat je een beetje lui bent als je er na twee stappen al een tautologie van maakt. (wacht daar liever even mee :-))

En al heb ik iemand horen zeggen dat Heidegger tautologieen prima vond, omdat het dan allemaal klopt, ben ik te hypocriet om zijn enthousiasme volledig te delen...

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 07 oktober 2005 @ 17:11:
Een wiskundige die iets bewijst, bewijst altijd een schaduw-stelling.

En omdat er geen contact is met het ideeenrijk, is er geen enkele garantie dat de schaduw-stelling ook maar in de buurt komt van het origineel?

Waar hebben we het dan nog over?

Als je dat ideenrijk alleen maar nodig hebt om stellingen waar we niets van weten (niet of ze waar zijn, niet hoe ze eruit zien, etc.) een waarheidswaarde te kunnen geven, hoe relevant is je theorie dan nog?