Dynamica: Probleem met Euler en gonio

[Toiletman]

Ik heb wat problemen bij het begrijpen van de oplossingen van vergelijkingen bij Dynamica 2. Het zit hem met name in de complexe getallen en de verbanden tussen e-machten met complexe coefficienten en goniometrische functies. Verder denk ik ook dat het omgaan met willekeurige constanten problemen oplevert. Nu kan ik de uitwerkingen natuurlijk wel uit m’n hoofd leren (maandag tentamen), maar daar schiet ik erg weinig mee op. Aan jullie dus de vraag of iemand me het gegoochel met e-machten, constantes en cosinussen kan uitleggen. Om het begrijpelijk te houden zal ik even een hele opgave doorwerken, dan zie je tenminste ook meteen waar het wordt toegepast en wat ik wel snap…
Een deel van deze uitwerking is van mezelf, een deel is overgenomen uit de uitwerkingen van de docent… dus het zou ook nog kunnen dat één van ons beide het gewoon brak uitwerkt, en iemand hier me dus zou kunnen vertellen hoe het wel moet.

Bij het vak dynamica 2 komen algemene bewegingsvergelijkingen van deze vorm voor:

Ik moet deze vergelijking op kunnen lossen voor f(x,t)=0, GJ(x)=GJ en I(x)=I, dus voor een homogene staaf waar verder geen externe momenten op worden aangebracht. Je houdt dan een homogene tweede-orde partiële differentiaalvergelijking over:

Deze is op te lossen met scheiding van variabelen:

Dan gaat de vergelijking, met gebruikmaking van en wat geschuif over in:

Hier begint wat mij betreft het eerste gegoochel, bij de ene vergelijking wordt wel een minteken voor de omega gezet, bij de ander niet… natuurlijk om het mooier uit te laten komen straks, maar hoe zit dit nou precies?
Anyway, verder met de uitwerking, er zijn nu twee vergelijkingen verkregen:

Uitwerken van 1) met behulp vanlevert op:

De A’s zijn hier willekeurige constanten en in mijn uitwerking gebruiken ze nu al naar gelang ze het beter uitkomt:

Het echte probleem ligt bij de stap naar deze laatste twee oplossingen… ik heb flink lopen zoeken in mijn wiskundeboeken en op internet, maar met behulp van de formule van Euler en de hoeksommatieformules kom ik er niet:


Maar dat i-tje voor de sinus raak ik dus niet kwijt, zoals dat in de uitwerking bij 3) wel gebeurt. Om van 3) naar 4) te komen zou je de hoeksommatieformule kunnen gebruiken:

Dan moet je dus aannemen dat:

Maar wordt dan niet een verband aangebracht tussen twee willekeurige constanten? Daarbij raak je toch de willekeur kwijt, of zie ik dat nou verkeerd?
Ik hoop dat m’n probleem een beetje duidelijk is en iemand ziet hoe het nou wel in elkaar zit.

[Toiletman]

M'n huisgenoot vertelde me net dat in een analyse boek van hem ze de i gewoon in de constante stoppen, dus dat zou beteken dat alleen het tweede probleem nog onduidelijk is.

[blobber]

Dan moet je dus aannemen dat:

Maar wordt dan niet een verband aangebracht tussen twee willekeurige constanten? Daarbij raak je toch de willekeur kwijt, of zie ik dat nou verkeerd?

Het zijn constanten, dus kun je ze noemen wat je wilt, zolang ze maar niet afhangen van de variabele waarnaar je differentieert, dus als ze maar verdwijnen als je naar t differentieert lijkt mij

[Anoniem: 124325]

Toiletman schreef op zaterdag 27 augustus 2005 @ 18:00:
Ik heb wat problemen bij het begrijpen van de oplossingen van vergelijkingen bij Dynamica 2. Het zit hem met name in de complexe getallen en de verbanden tussen e-machten met complexe coefficienten en goniometrische functies.
. . . .

Maar wordt dan niet een verband aangebracht tussen twee willekeurige constanten? Daarbij raak je toch de willekeur kwijt, of zie ik dat nou verkeerd?
Ik hoop dat m’n probleem een beetje duidelijk is en iemand ziet hoe het nou wel in elkaar zit.

Ik begrijp je vraag er over niet helemaal dus regeer ik in het algemeen:

De oplossing van de partiele differentiaalvergelijking door "separation of variables" geeft twee gewone differentiaal vergelijkingen:

Even uit mijn hoofd: De oplossing voor de geforceerde beweging welke verloopt volgende de aandrijvende kracht van een bronfunctie (kan een sinus functie zijn of iets geheel anders) en de "eigenwaarde" oplossing welke ontstaat vanuit de natuurlijke beweging (met natuurlijke resonantie frequentie). Deze beweging loopt exponentieel af vanwege frictie. De bewegingstransport karakteristiek wordt gegeven door de golffunctie waarin de c² een onderdeel van is.

De vraag die je stelt, zoals ik het begrijp, is: "Hoe kom ik van die 'i' af. . .Hoe kom ik van het imaginaire component van de oplossing af?"

De oplossing geeft de Algemene Oplossing aan. Complexe oplossingen zijn echte oplossingen van de wiskundige weergave van de probleemstelling. Net zo als de vergelijking

x²+1=0

twee echte oplossingen heeft, heeft een oplossing voor dynamica vraagstukken oplossingen in het "real" zowel als in het "imaginary" domein. Voor zover de oplossing complex is kan je in bepaalde gevallen de "imaginary" oplossing laten vervallen omdat het niet op fysieke zaken betrekking hoeft te hebben of niet kan hebben.

De oplossing van de dynamica-vraagstukken voor een bewegingsvorm los je op door initiele condities en grenscondities op te stellen. Daarmee krijg je de fysiek mogelijke oplossing door de Imaginary Solution" te laten vervallen. Het imaginaire component heeft een Pi/2 hoekverdraaiing met de “Real Solution” in het complexe xy-vlak

Maar dit is niet altijd reden om de imaginaire oplossing te laten vervallen:

In de elektriciteitsleer wordt de theoretische oplossing voor elektrische bewegingen ook met Ae^wt en Be^iwt voorgesteld. . .de vergelijking met de mechanica is frapant!. . . In dit geval zijn beide componenten werkelijk aanwezig in een elektrisch systeem: de een is Spanning(V) en de ander is Stroomstrekte.

Je kunt bij voorbaat niet zeggen dat "imaginaire" oplossingen niet echte oplossingen zijn. Afhankelijk van de toepassing is het imaginaire deel wel degelijk representief voor een fysiek fenomeen. Je moet dus wel of niet het 'i'-component “wegwerken” aan de hand van welke situatie je mee te maken hebt.

Om van de 'i' af te komen is geen wiskunde nodig maar inzicht in of de oplossing op de werkelijkheid slaat.

[ Voor 3% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 28-08-2005 12:58 ]

[Toiletman]

Het is niet zo dat ik dat i-tje wil weggooien ofzo, maar in de uitwerking is het i-tje ineens verdwenen... de meeste logische verklaring is dan idd dat ze die maar in de constante B hebben gestopt...
Dit kwam mij heel vreemd voor omdat constantes over het algemeen reeel zijn.... als ze daarna de hoeksommatieformule gebruiken en ook nog eens een verband tussen de twee constantes aanbrengen vond ik het helemaal vreemd. Het zit hem vooral in de omgang met constantes en hoe die de algemeenheid beinvloeden.... zoals blobber als zei mag je blijkbaar een hele hoop doen (het gaat niet over integratieconstantes, maar toch).
En idd leuk om de analogie met EL te zien, ik denk dat je dergelijke PDV's in nog wel meer vakgebieden zal tegenkomen.

[ Voor 9% gewijzigd door Toiletman op 28-08-2005 13:36 ]

[Anoniem: 124325]

Toiletman schreef op zaterdag 27 augustus 2005 @ 18:00:
Ik heb wat problemen . . . . [afbeelding]en wat geschuif over in:
[afbeelding]
Hier begint wat mij betreft het eerste gegoochel, bij de ene vergelijking wordt wel een minteken voor de omega gezet, bij de ander niet… natuurlijk om het mooier uit te laten komen straks, maar hoe zit dit nou precies?

In mijn vorige reactie heb ik deze vraag niet beantwoord. Het feit dat de golffunctie aan de negative waarde van omega² gelijk gezet wordt is een consquentie van de dynamica: Som der krachten =0 voor de ongeforceerde beweging.

Dit is een soortgelijk resultaat voor een representatie van een probleem welke gedefinieerd wordt door:

x²+1=0

zoals ik eerder liet zien.

Als je bijvoorbeeld een situatie heb waarin de differentiaalvergelijking er voor D"(x,y) - w² = 0 deze vorm ophoest dan is de oplossing niet meer met trigonometrische functies op te lossen maar wordt de algemene oplossing hyperbolisch met zoiets van

A(e^x-e^x) + B(e^y+e^y) = C*hypsin(x) + D*hypcos(y)


(Ik schrijf dit even vanuit mijn hoofd). Het kan zijn dat de formele representatie net iets anders is maar het geeft weer dat de oplossing fundamenteel verschilt met de trigionmetrische oplossing omdat het een ander probleem betreft.. Het punt is dat deze vorm geen imaginarie onderdelen heeft. Het is bijvoorbeeld een oplossing voor een vrij hangende ketting of een kabel zonder interne weerstand tegen buigen (caternary curve).

Het is dus niet "goochelen" met constanten om de -w² in de vergelijking tegen te komen maar een zaak van de opstelling van de differentiaalvergelijking zodanig te kiezen zodat het de dynamica van de beweging juist weergeeft.

Wel is het zo dat in de golffunctie de constante c² voor de voortplantingssnelheid van de beweging niet bij voorbaat een quadraat moet zijn. In de algemene oplossing weet je aanvankelijk niet wat de constante A=c² betekend in de oplossing. Dit herken je alleen uit ervaring en als je dan een "onbekende" golffunctie tegenkomt gebruik je uit gevoel direct een c² constante omdat je dan weet dat het om een constante transportsnelheid gaat.

Misschien lijkt dat op goochelen

[ Voor 7% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 28-08-2005 14:20 ]

[Zoijar]

Volgens mij denk je te moeilijk bij je tweede probleem. De functie Asin(x)+Bcos(x) is gelijkvormig met een cosinus in x. Aangezien alles ook netjes continu is, zijn er dus fase (phi) en amplitude (C)constanten te vinden, zodat Asinx+Bcosx = Ccos(x-phi). Hoe die er precies uitzien doet er niet toe: ze vallen toch weg bij differentiatie.

[Anoniem: 124325]

Toiletman schreef op zondag 28 augustus 2005 @ 13:27:
Het is niet zo dat ik dat i-tje wil weggooien ofzo, maar in de uitwerking is het i-tje ineens verdwenen... de meeste logische verklaring is dan idd dat ze die maar in de constante B hebben gestopt...

Dat is dus niet zo. De 'i' kan je niet verstoppen omdat het niet eenvoudigweg een constante is. Het is ook een kwalitatief symbool om aan te geven dat de variabele waar het aan gekoppeld word wezenlijk anders is.

In de complexe wiskunde stel je een complex getal op met Nc=a + ib speciaal omdat de getallen x en ib niet te verenigen zijn. Het gaat hier om een soortverschil zoals in:

Nf= 1 appel + 2 sinaasapples. . . . . .geen sinusapples !

Nf staat voor Fruit Nummer! Je kunt er niets ander mee dan het zo laten, of een vereenvoudigde vorm bedenken voor fruitcocktails . . . zoals Euler deed met getallen:

Nc=a + ib = Ae^iw = A(cos(w) + i[sin(w)])

Ik gebruik hier specifiek niet de uitdrukking i*b of i*sin(w) om aan te tonen dat het niet zozeer een vermenigvuldiging is maar een kwalificatie dat ib een ander soort getal is dan a.

In de uitwerking van de wiskunde is het uiteindelijke effect wel als een vermenigvuldiging gebruikt zodat als je i²b zou hebben het wel uiteindelijk (-1)*b betekend. Dit is een mooi voorbeeld dat in de wiskunde 'i' twee betekenissen heeft:

1) Louter als een getal (-1)^1/2 dat niet minder echt is dan elk ander getal;
2) Als een differentiatiemiddel voor verschillende soorten fysische eenheden zoals Spanning en Stroom welke in een enkelvoudige vergelijking opgesomd kunnen worden zonder hun eigen karakter te verliezen (stroom en spanning kan je niet zonder meer tot 1 getal opsommen)

Dit kwam mij heel vreemd voor omdat constantes over het algemeen reeel zijn....

Nee! Je kan in een vergelijking ook een complex getal als een voorgevoegde constante A krijgen:

A= i3

Wel is het zo dat dit weer op te splitsen is in het reele getal '3' en de 'i' kwalifier. In deze zin kan je zeggen dat constanten op te spiltsen zijn in een reeel deel en een imaginair deel, met gebruik van reële getallen welke fysische variabelen dan wel pure reële getallen vertegenwoordigen

als ze daarna de hoeksommatieformule gebruiken en ook nog eens een verband tussen de twee constantes aanbrengen vond ik het helemaal vreemd. Het zit hem vooral in de omgang met constantes en hoe die de algemeenheid beinvloeden.... zoals blobber als zei mag je blijkbaar een hele hoop doen (het gaat niet over integratieconstantes, maar toch).
En idd leuk om de analogie met EL te zien, ik denk dat je dergelijke PDV's in nog wel meer vakgebieden zal tegenkomen.

Ja, er zijn haast een oneindig veel voorbeelden te noemen waarin een bepaalde differentiaalvergelijking betrekking heeft op een meervoud van totaal verschillende zaken. Een mooi voorbeeld hiervan is de schuifspanning is een stalen balk vanwege een transversale belasting. Als je het profiel van de balkdoorsnede als een gat beschouwd kan je over het gat een superdun lineair flexibel membraan spannen en een constante luchtdruk (evenredig verdeeld) op dat membraan aanbrengen: het membraan gaat bol staan.

De mate van de bolling wordt gedefinieerd door een PDV(h,x,y) waarin 'h' de hoogte van de bolling is. Het is nu "toevallig" zo dat deze bolling numeriek gelijk is aan de schuifspanning in het staal van de balk. Twee verschillende problemen: 1 wiskundige weergave!

Schitterend toch dat een enkel "eenvoudig" stukje gereedschap zoals een wiskundige vergelijking een oneindig aantal technische vraagstukken kan oplossen!

Wetenschap en Techniek zijn niet alleen doelmatig; Ze zijn ook leuk!

[Anoniem: 8386]

probleem 1: (het i'tje)

De A₁'s en A₂'s zijn apriori willekeurige complexe constanten Er is echter een beperekende voorwaarde het gehele antwoord moet reeel zijn. (het is immers een physisch waarneembaar iets) Dit geeft de beperkingen:

A₁ + A₂ is reëel en
A₁ - A₂ is zuiver imaginair.

Dit heeft als resultaat de de consten A en B allebei als reëele getallen geschreven kunnen worden.

probleem 2: (Het geschuif met verschillende willekeurige constanten)

Hier creeer je problemen door een denk fout. De logische conclusie is dat

A = C sin phi en B = C cos phi,

wat gewoon twee vergelijkingen zijn met twee onbekenden en dus geen relatie legt tussen A en B het is alleen de uitdrukking van de parameters A en B in polaire coordinaten.

[Toiletman]

Anoniem: 124325 schreef op zondag 28 augustus 2005 @ 15:31:
[...]
Dat is dus niet zo. De 'i' kan je niet verstoppen omdat het niet eenvoudigweg een constante is. Het is ook een kwalitatief symbool om aan te geven dat de variabele waar het aan gekoppeld word wezenlijk anders is.

In de complexe wiskunde stel je een complex getal op met Nc=a + ib speciaal omdat de getallen x en ib niet te verenigen zijn. Het gaat hier om een soortverschil zoals in:

Nf= 1 appel + 2 sinaasapples. . . . . .geen sinusapples !

Nf staat voor Fruit Nummer! Je kunt er niets ander mee dan het zo laten, of een vereenvoudigde vorm bedenken voor fruitcocktails . . . zoals Euler deed met getallen:

Nc=a + ib = Ae^iw = A(cos(w) + i[sin(w)])

Ik gebruik hier specifiek niet de uitdrukking i*b of i*sin(w) om aan te tonen dat het niet zozeer een vermenigvuldiging is maar een kwalificatie dat ib een ander soort getal is dan a.

In de uitwerking van de wiskunde is het uiteindelijke effect wel als een vermenigvuldiging gebruikt zodat als je i²b zou hebben het wel uiteindelijk (-1)*b betekend. Dit is een mooi voorbeeld dat in de wiskunde 'i' twee betekenissen heeft:

1) Louter als een getal (-1)^1/2 dat niet minder echt is dan elk ander getal;
2) Als een differentiatiemiddel voor verschillende soorten fysische eenheden zoals Spanning en Stroom welke in een enkelvoudige vergelijking opgesomd kunnen worden zonder hun eigen karakter te verliezen (stroom en spanning kan je niet zonder meer tot 1 getal opsommen)


[...]


Nee! Je kan in een vergelijking ook een complex getal als een voorgevoegde constante A krijgen:

A= i3

Wel is het zo dat dit weer op te splitsen is in het reele getal '3' en de 'i' kwalifier. In deze zin kan je zeggen dat constanten op te spiltsen zijn in een reeel deel en een imaginair deel, met gebruik van reële getallen welke fysische variabelen dan wel pure reële getallen vertegenwoordigen

Yesh... mooi verhaal over dingen die ik allemaal al wist en waardoor ik het in eerste instantie ook zo vreemd vond dat de i dus verdwenen was.... Trias doet een poging dit uit te leggen, maar die snap ik niet... zal er nog eens goed naar kijken na het eten...

Betreffende de overgang naar cos(wt-phi) is het me nu wel duidelijk, dat was een stom denkfoutje...thx for pointing that out Trias

[Christiaan]

Heb de meta-tag uit de titel gehaald. Zie de policy; op W&L worden die niet gebruikt.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op zondag 28 augustus 2005 @ 16:29:
probleem 1: (het i'tje)

De A₁'s en A₂'s zijn apriori willekeurige complexe constanten Er is echter een beperekende voorwaarde het gehele antwoord moet reeel zijn. (het is immers een physisch waarneembaar iets) Dit geeft de beperkingen:

A₁ + A₂ is reëel en
A₁ - A₂ is zuiver imaginair.

Het feit dat het om een physich probleem gaat houdt niet bij voorbaat in dat de oplossing reel moet zijn. Uit de totale oplossing kiest men datgene wat de representieve oplossing is voor de physiche werkelijkheid. Zoals ik eerder opmerkte is een complexe oplossing voor een bepaalde PDV beschrijvend voor elektrische variabelen in een reactief circuit. In dat geval verdwijnt het i'je dus niet. . .tenzij er in de opstelling van de oplossing een fout gemaakt wordt

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op maandag 29 augustus 2005 @ 02:10:
[...]


Het feit dat het om een physich probleem gaat houdt niet bij voorbaat in dat de oplossing reel moet zijn. Uit de totale oplossing kiest men datgene wat de representieve oplossing is voor de physiche werkelijkheid. Zoals ik eerder opmerkte is een complexe oplossing voor een bepaalde PDV beschrijvend voor elektrische variabelen in een reactief circuit. In dat geval verdwijnt het i'je dus niet. . .tenzij er in de opstelling van de oplossing een fout gemaakt wordt

Je maar in dat geval representeerd je antwoord geen fysisch waarneembare grootheid. (maar een fysisch onwaarneembare combinatie van grootheden) Observabelen zijn altijd hermitisch en in het klassieke geval dus reëel.

PS. Hoe ging je tentamen?

[ Voor 3% gewijzigd door Anoniem: 8386 op 29-08-2005 12:45 ]

[Anoniem: 107308]

Jammer dat ik wat te laat ben voor de tentamen hulp maar even ik wil mijn eigen kennis ook weer een beetje aanscherpen.

De eerste min is een probleem waarom? Je hebt toch een vergelijking in de vorm F^"/F - c^1/2 O^"/O = 0? Dat levert voor mij toch echt F^"/F = c^1/2 O^"/O op en dat definieer je dan als minus omega kwadraat. Mijn vraag waarom kan dat ook al weer zo gedefinieerd worden binnen de natuurkunde.

Je uiteindelijke oplossing in de laatste vorm is de algemene oplossing vorm van een harmonische oscilator, ik weet niet hoe je randvoorwaarden deze algemene formule zullen aanpassen.

Je hebt gelijk dat die i staan blijft en kan je ook geen reden geven waarom het geheel niet terugkomt in je harmonische oscilator oplossing zonder vermelding van de randvoorwaarden gesteld aan je constanten. Een constante kan namelijk geen i bevatten daar dit alleen voor vectoren geld. De oplossing die Trias geeft is de juiste in interpretatie maar dan zou ik graag even een verwijzing hebben naar waar daar uitleg over staat want ik heb nu een conflict tussen mijn fysica en mathematica in mijn hoofd

Mathematisch oplossen met het gegeven dat cos(z) = 1/2 ( e^iz + e^-iz ) en sin(z) = 1/2i ( e^iz - e^-iz maakt het geheel trouwens redelijk inzichtelijk voor de Re-oplossing.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op maandag 29 augustus 2005 @ 10:51:
[...]
Je maar in dat geval representeerd je antwoord geen fysisch waarneembare grootheid. (maar een fysisch onwaarneembare combinatie van grootheden) Observabelen zijn altijd hermitisch en in het klassieke geval dus reëel.

PS. Hoe ging je tentamen?

Wil je hiermee serieus beweren dat elektrische stroom en elektrische spanning onwaarneembare grootheden zijn? Zo ja dan raad ik je aan eens lekker met blote natte handen de draden van een 220 Volt wisselstroombron beet te pakken en er flink in knijpen. Als je dan niets waarneemt besta je niet

Vervolgens raad ik je aan eens een meting uit te voeren in een LRC-circuit. Het waarneembare gedrag van dit soort circuits wordt prima met complexe variabelen voorspeld.

Welk tentamen bedoel je trouwens?

Ik ben met prachtige cijfers van de Universiteit van BC, Vancouver BC, Canada afgestudeerd in 1974. Ik heb aanvankelijk heel wat elektriciteitsleer en hogere fysica achter mijn kiezen maar heb uiteindelijk voor werktuigbouwkunde gekozen. Een belangrijke tak van mijn studie was complexe functies. Ik speelde dus met 'i'jes en wat ze betekende voordat je geboren was . . . niet dat dat perse betekend dat je ongelijk heb, maar ik vermoed dat je een enigszins een beperkte kijk hebt op complexe wiskunde, ondanks dat je er kennelijk goed mee kan futselen.

Er heerst nog altijd veel onbegrip over wiskunde en hoe het op de werkelijkheid betrekking heeft. Veel mensen menen nog steeds dat een imaginair getal niet bestaat en daarom geen betrekking heeft op de werkelijkheid. Niets is minder waar.

>
>
>

Mijn reactie op je opmerking is te lang voor dit forum. Lezers zouden er op in slaap vallen!
Iedereen kan het opvragen via [e-mail]. In principe bouw ik een argument op om aantoonbaar te maken dat het imaginaire deel van een complexe functie wel degelijk op meetbare en waarneembare grootheden betrekking kan hebben.

offtopic:
Je website is trouwens prachtig! Heb je zin om mijn belabberde website www.vortexcw.nl om te bouwen naar iets moois?

[Anoniem: 8386]

[quote]Anoniem: 124325 schreef op dinsdag 30 augustus 2005 @ 00:26:
[...]


Wil je hiermee serieus beweren dat elektrische stroom en elektrische spanning onwaarneembare grootheden zijn? Zo ja dan raad ik je aan eens lekker met blote natte handen de draden van een 220 Volt wisselstroombron beet te pakken en er flink in knijpen. Als je dan niets waarneemt besta je niet
[\quote]

Afzonderlijk zijn stroom en spanning perfect waarneembare grootheden. (wijs mij de eerste spanning of stroom meter maar aan die een complex getal als meet waarde geeft.) Zodra je ze complex gaat maken kan je er heel leuk mee rekenen, maar elke waarneembare voorspelling gaat hoe dan ook een reëel getal opleveren.

Ik ben met prachtige cijfers van de Universiteit van BC, Vancouver BC, Canada afgestudeerd in 1974. Ik heb aanvankelijk heel wat elektriciteitsleer en hogere fysica achter mijn kiezen maar heb uiteindelijk voor werktuigbouwkunde gekozen. Een belangrijke tak van mijn studie was complexe functies. Ik speelde dus met 'i'jes en wat ze betekende voordat je geboren was . . . niet dat dat perse betekend dat je ongelijk heb, maar ik vermoed dat je een enigszins een beperkte kijk hebt op complexe wiskunde, ondanks dat je er kennelijk goed mee kan futselen.

Ik ben momenteel hard opweg magna cum laude af te studeren in de mathematische fysica, dus ga nu ff niet zeggen, dat ik een beperkte kijk heb op complexe functies. Gezien jouw opleiding vermoed ik dat je goed heb spelen, met complexe getallen en hoe je er handig dingen mee uit kan rekenen, maar je nooit echt verdiept in de fundementele natuurkunde. Anders zou je misschien wel weten, dat observablen (zowel klassiek als quantum) altijd zelf geadjugeerde elementen van een C*-algebra zijn, wat in het geval van eenvoudige functies zoveel betekent als dat ze reëel moeten zijn.

offtopic:
Je website is trouwens prachtig! Heb je zin om mijn belabberde website www.vortexcw.nl om te bouwen naar iets moois?

Bedankt en sorry daar heb ik geen tijd voor.

[Toiletman]

tentamen ging wel redelijk... alles kunnen maken, maar waarschijnlijk wel fouten gemaakt: de vergelijkingen werden ontzettend lelijk :-S
Thx voor de hulp, ik snap het nu weer een stuk beter.

[blobber]

Ik speelde dus met 'i'jes en wat ze betekende voordat je geboren was . . .

Je wilt toch niet serieus beweren dat het feit dat je geboortejaar verschilt van anderen, jouw een groter inzicht verschaft in de wereld der complexe getallen?
( de allereerste mens, wat zal die een IQ gehad hebben )

[ Voor 124% gewijzigd door blobber op 30-08-2005 18:59 ]

[Anoniem: 107308]

Even twee persoonlijke zaken.

@Trias : Waar jij in afstudeert en of je dit Cum Laude bla bla doet maakt geen ene moer uit voor je ervaring met hoe "normale" mensen zaken in de werkelijkheid ervaren, je leeftijd wel. Jouw statements zijn puur mathematisch fysisch heel waar maar zoals Vortex aangeeft heb je weinig aan die interpretatie als jij dat stroomdraadje vastpakt, hoe je het ook noemt.

@Vortex : Wijsheid komt met de jaren, die wijsheid had je misschien even moeten inzetten. Trias heeft al menigmaal hier goede uitleg verschaft over zeer ingewikkelde physische problemen en ik weet dat je die gelezen hebt en dus ook dat ie gevoelig is over hoe zijn kennis niveau wordt ingeschat. Wat voortreffelijk is.


@Beide : Dus nu lief handjes schudden en mij even uitleggen wat ik mis in mijn uitleg want als er hier twee mensen aanwezig zijn die behoorlijk wat meer kennis hebben dan ik en een uitleg goed onder woorden kunnen brengen zijn jullie dat.

Vragen waren, waarom kun je de opgesplitste vergelijkingen als -w² definieren? En hoe zat het nu ook weer met de compleet reele en imaginaire representaite van die constanten. Ik heb namelijk altijd geleerd dat alleen vectoren een representatie in het complexe vlak kunnen hebben, een scalar niet.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op dinsdag 30 augustus 2005 @ 00:49:
[...]
Ik ben momenteel hard opweg magna cum laude af te studeren in de mathematische fysica, dus ga nu ff niet zeggen, dat ik een beperkte kijk heb op complexe functies. Gezien jouw opleiding vermoed ik dat je goed heb spelen, met complexe getallen en hoe je er handig dingen mee uit kan rekenen, maar je nooit echt verdiept in de fundementele natuurkunde. Anders zou je misschien wel weten, dat observablen (zowel klassiek als quantum) altijd zelf geadjugeerde elementen van een C*-algebra zijn, wat in het geval van eenvoudige functies zoveel betekent als dat ze reëel moeten zijn.

Hier ga er later nog effe op in maar nu wil ik (uit tijdgebrek) slechts opmerken dat er veel wetenschappers geweest zijn welke juist omdat ze erg diep ergens ingedoken zijn een beperkte kijk op de wereld hadden. Merk ook op dat ik je in principe niet ongelijk gegeven hebt. Ik denk eerder dat we dat we in het zelfde bootje zitten maar niet dezelfde gedachte hebben over of we wel of niet aan het varen zijn.

Wat betreft je "zelf geadjugeerde" denk ik dat je "zelf geadjungdeerde" bedoeld. Ik kan de Nederlandse tem niet direct thuis brengen. . .bedoel je hier het zelfde als het Engelse "conjugate pairs"? . . .ik kan het niet vertalen naar het Engels zonder er in te duiken. . .het woord zelf kan ik niet thuisbregen in de "conjugate pairs" definitie. Wel weet ik uiteraard dat de som of "conjugate pairs" een reeel getal is. Dat veranderd echter niet mijn eerdere visie. Misschien meer er over als ik het Nederlandse begrip "zelf xxxxx" uitgezocht heb.

Ik hou het even in de ijskast.

Ik wens je trouwens veel welgemeend succes met je studie.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 107308 schreef op woensdag 31 augustus 2005 @ 18:53:

....

Vragen waren, waarom kun je de opgesplitste vergelijkingen als -w² definieren? En hoe zat het nu ook weer met de compleet reele en imaginaire representaite van die constanten. Ik heb namelijk altijd geleerd dat alleen vectoren een representatie in het complexe vlak kunnen hebben, een scalar niet.

Even uit mijn hoofd: als je y''+yc=0 zet(c=constant) en je voor Y= Ae^ax neemt als potentiele oplossing voor y krijg je een functie in a:

a²Ae^ax+acAe^ax=0. . . .(de gegeven functie)

en dit wordt

a²+aC=0. . . . a(a+c)=0 als conditie voor een oplossing

Dit geeft 2 oplossingen voor a

1) a=0. . . (dit geeft y=A). . .de constante oplossing
2) a+c=0. . . .dit geeft c=-a. . .de functie oplossing
In de probeer-functie oplossing zet je a postiefve exponent als je eerste poging. Je kunt ook a is negatief proberen en a is complex. Voor elke poging krijg je al dan niet een oplossing voor c voor een willekeurige a.

De oplossing c=-a is dus een oplossing met reeele constanten. . .en -a kan je als - w² beschouwen.

Je kunt op deze manier allerlei functies als probeer-functies inzetten om oplossingen te vinden. Waar het voor mij even stopt is hoe je formeel uitsluit dat er niet nog andere oplossingen bestaan dan exponentiele functies en constanten

[ Voor 11% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 31-08-2005 22:44 ]

[eamelink]

Anoniem: 124325 schreef op dinsdag 30 augustus 2005 @ 00:26:
Wil je hiermee serieus beweren dat elektrische stroom en elektrische spanning onwaarneembare grootheden zijn? Zo ja dan raad ik je aan eens lekker met blote natte handen de draden van een 220 Volt wisselstroombron beet te pakken en er flink in knijpen. Als je dan niets waarneemt besta je niet

Ik denk dat hij slechts wil beweren dat hoewel de gangbare beschrijvingen van spannings en stroomfuncties in het complexe vlak gegeven worden vanwege de simpliciteit, dat het reëele deel daarvan in principe genoeg is om de werkelijke effecten te beschrijven!

Vervolgens raad ik je aan eens een meting uit te voeren in een LRC-circuit. Het waarneembare gedrag van dit soort circuits wordt prima met complexe variabelen voorspeld.

Klopt, maar als uiteindelijke verwachte meetwaarde neem je meestal het reëele deel van een complexe functie . Het gebruik van een tweedimensionale oplossingsruimte gebruik je slechts omdat het rekenen met complexe e-machten zo verdomd veel fijner is dan slechts met het reëele deel; sinussen en cosinussen. Zeg nou zelf, je meet uiteindelijk toch áltijd een scalair als stroomsterkte of als potentiaal? Of jij weleens een complex getal?

Ik ben momenteel hard opweg magna cum laude af te studeren in de mathematische fysica, dus ga nu ff niet zeggen, dat ik een beperkte kijk heb op complexe functies.

Hij zegt er ook heel netjes "vermoed" bij

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op woensdag 31 augustus 2005 @ 21:45:

Wat betreft je "zelf geadjugeerde" denk ik dat je "zelf geadjungdeerde" bedoeld. Ik kan de Nederlandse tem niet direct thuis brengen. . .bedoel je hier het zelfde als het Engelse "conjugate pairs"? . . .ik kan het niet vertalen naar het Engels zonder er in te duiken. . .het woord zelf kan ik niet thuisbregen in de "conjugate pairs" definitie. Wel weet ik uiteraard dat de som of "conjugate pairs" een reeel getal is. Dat veranderd echter niet mijn eerdere visie. Misschien meer er over als ik het Nederlandse begrip "zelf xxxxx" uitgezocht heb.

Zelf-geadjugeerd = self-adjoint. In wezen is dit de algemenere benaming voor hermitisch. (self geadjugeerde lineare operatoren worden ook wel hermitisch genoemd. In het algemenere kader van C*-algebra's wordt de term gebruikt voor elementen die invariant zijn onder de *-operatie (involutie). Belangrijke voorbeelden zijn hermitische operatoren in de C*-algebra van begrensde lineare operatoren (deze zijn invariant onder adjugatie oftewel hermitische conjugatie) EN de reëele getallen in de (triviale) C*-algebra van complexe getallen, welke invariant zijn onder complexe conjugatie)

Dit terverduidelijking.

Physische theorieen zijn over het algemeen te schrijven als C*-algebra, de physisch waarneembare grootheden zijn dan zelfgeadjugeerde elementen van de algebra.


Maar deze discussie begint erg af te dwalen van het oorspronkelijke punt dat de gezochte functie in de opgave reëel-waardig was. En volgens zijn we het daar ook helemaal niet over oneens. (ofwel?)

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op woensdag 31 augustus 2005 @ 22:38:

Even uit mijn hoofd: als je y''+yc=0 zet(c=constant) en je voor Y= Ae^ax neemt als potentiele oplossing voor y krijg je een functie in a:

kleine correctie het ging om y''-yc=0. Opzich een klein verschil, maar daardoor kon je net verkeert uit.

a²Ae^ax+acAe^ax=0. . . .(de gegeven functie)

en dit wordt

a²+aC=0. . . . a(a+c)=0 als conditie voor een oplossing

Dit geeft 2 oplossingen voor a

1) a=0. . . (dit geeft y=A). . .de constante oplossing
2) a+c=0. . . .dit geeft c=-a. . .de functie oplossing
In de probeer-functie oplossing zet je a postiefve exponent als je eerste poging. Je kunt ook a is negatief proberen en a is complex. Voor elke poging krijg je al dan niet een oplossing voor c voor een willekeurige a.

Eenvoudiger is om a vanaf het begin als complex te beschouwen. Dit levert zoals je aangeeft de vergelijking: (jouw vergelijking heeft overigens ten onrechte een lineare en geen constante term)
a² - c = 0

Dit heeft als oplossingen: a = +/-sqrt(c)

als c > 0, hebben we dus reëele e-machten als oplossing. Deze zijn onbegrensd, wat als het goed is een conflict oplevert met (niet gegeven) physische randvoorwaarden van het probleem.

als c < 0, dan krijgen we de oplossing zoals in de TS die waarschijnlijk wel voldoet aan de randvoorwaarden.

Op deze grond kan je dus concluderen c een negatieve constante moet zijn en dus te schrijven is als -w².

Je kunt op deze manier allerlei functies als probeer-functies inzetten om oplossingen te vinden. Waar het voor mij even stopt is hoe je formeel uitsluit dat er niet nog andere oplossingen bestaan dan exponentiele functies en constanten

Dit kan eenvoudig door de stelling toe te passen dat een tweede orde lineare differentiaal verglijking altijd twee linear onafhankelijke oplossingen heeft. Dus als je er eenmaal twee hebt gevonden, dan heb je ze allemaal.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op donderdag 01 september 2005 @ 17:42:
[...]


Zelf-geadjugeerd = self-adjoint. In wezen is dit de algemenere benaming voor hermitisch. (self geadjugeerde lineare operatoren worden ook wel hermitisch genoemd. In het algemenere kader van C*-algebra's wordt de term gebruikt voor elementen die invariant zijn onder de *-operatie (involutie). Belangrijke voorbeelden zijn hermitische operatoren in de C*-algebra van begrensde lineare operatoren (deze zijn invariant onder adjugatie oftewel hermitische conjugatie) EN de reëele getallen in de (triviale) C*-algebra van complexe getallen, welke invariant zijn onder complexe conjugatie)

Dit terverduidelijking.

Physische theorieen zijn over het algemeen te schrijven als C*-algebra, de physisch waarneembare grootheden zijn dan zelfgeadjugeerde elementen van de algebra.

Maar deze discussie begint erg af te dwalen van het oorspronkelijke punt dat de gezochte functie in de opgave reëel-waardig was. En volgens zijn we het daar ook helemaal niet over oneens. (ofwel?)

Ik moet bekennen dat deze formaliteit me (in het Nederlands zeker) boven het hoofd uitgaat. Het boeit wel maar momenteel heb ik niet genoeg tijd om er zo diep in te duiken. Ik heb de oplossingen voor PDV gestudeerd vanuit een engineering visie, waaronder vooral ook warmtetransport e.d. en de formaliteiten destijds ook grondig aangeboord maar niet uitgediept. Vanuit deze praktische aanpak zijn er routinematig voorbeelden langs gekomen waarin het imaginare component gekoppeld werd aan een fysisch meetbaar element. Uiteraard houdt dat niet in dat een complex of imaginair getal op zich meetbaar is. . . maar dat is evengoed waar voor elk ander getal. Het getal 0 is niet meetbaar; het getal 2 is niet meetbaar; het getal pi is niet meetbaar. Als we 2 koeien in de wei zien gebruiken we slechts een getallensysteem om wat we zien te definiëren. Met een meetlat meten we niet getallen maar we gebruiken getallen om een object relatief tot een referentie te kwantificeren. Het is dus niet terecht om te suggereren dat als we met een voltmeter geen complex getal kunnen meten dat daarom een imaginaire oplossing van een DV niet aan een meetbare fysieke grootheid gekoppeld kan worden.

Het is evengoed zo dat als we een beweging van een trillende massa meten en deze als een sinusfunctie definiëren dat de meting niet een sinus functie meet maar een snelheden en acceleraties in tijd, welke we wiskundig met gebruik van getallen als ongeveer een sinusfunctie kunnen weergeven, maar evengoed kunnen we de meting als een tabel registreren. Als je dan zou beweren dat je een tabel gemeten zou hebben zou het een beetje dom klinken. Van een Prins van Oranje zou je dat misschien verwachten maar van een ingenieur en een wiskundige zeker niet.

Hiermede kom ik terug op mijn visie welke ik hier misschien nog niet kenbaar gemaakt heb: In wezen heeft het getal i=-1^1/2 een identieke hoedanigheid als het getal 1: het zijn slechts getallen oplossingen zijn van x²+1=0 en x²-1=0

Elk"imaginair" getal heeft een gelijkwaardig bestaan. Dat er allerlei soorten getallen zijn maakt wiskunde alleen maar prachtiger dan het was toen bepaalde getallen nog niet bestonden. Het is vanuit deze visie dat ik stel dat complexe getallen betrekking kunnen hebben op waarneembare grootheden: een getal. . . complex of niet. . . zegt eenvoudig weg iets over die grootheid.

Een boer die 2 koeien heeft gebruikt het getal 2 voor hoeveelheid. Een boer kan ook aan iemand duidelijk maken dat de rode koe de 2_de koe is die hij gekocht heeft.. . .en of hij nu 2 of 100 koeien heeft is van geen belang. Het getal 2 heeft in dit laatste niets te maken met hoeveelheid maar specificeert rangorde.

Het "imaginaire" getal i5 heeft een ander soort hoedanigheid dan het getal 5 maar het is niet denkbeeldig. . .het is net zo echt als het getal 3. In deze zin kunnen complexe oplossingen betrekking hebben op waarneembare eenheden terwijl de eenheden op zich zelf staan zonder dat ze wiskunde voor hun bestaan nodig hebben.

Uiteraard is een uitdrukking 10(i-ampere) betekenisloos. . .stroom is sowieso niet een oplossing van een vergelijking maar wordt opgewekt door middel van energieomzetting. . . .getallen zijn daarvoor niet relevant. Ik vermoed dat we daarmee door 1 deur kunnen.

[Zoijar]

Anoniem: 124325 schreef op vrijdag 02 september 2005 @ 00:11:
Hiermede kom ik terug op mijn visie welke ik hier misschien nog niet kenbaar gemaakt heb: In wezen heeft het getal i=-1^1/2 een identieke hoedanigheid als het getal 1: het zijn slechts getallen oplossingen zijn van x²+1=0 en x²-1=0

Of een polynoom X uit R[X]/X^2+1 ... ik snap wel waar je naar toe wilt hoor (Pearson vs Keynes bv, de vereniging van het kwantitatieve met het kwalitatieve in de 15e eeuw, etc), maar dit klinkt erg als "filosofisch gelul", zeker mbt toegepaste wiskunde. En '1' is een fundamenteel ander getal/element; namelijk een eenheids element ten opzichte van de vermenigvuldigings operatie.

Elk"imaginair" getal heeft een gelijkwaardig bestaan. Dat er allerlei soorten getallen zijn maakt wiskunde alleen maar prachtiger dan het was toen bepaalde getallen nog niet bestonden. Het is vanuit deze visie dat ik stel dat complexe getallen betrekking kunnen hebben op waarneembare grootheden: een getal. . . complex of niet. . . zegt eenvoudig weg iets over die grootheid.

Als je dan toch filosofisch wilt doen: alle soorten getallen hebben altijd bestaan, en zullen altijd bestaan. Er is niet zo iets als het ontstaan van een nieuw getal soort; alles is er al.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op donderdag 01 september 2005 @ 18:04:
[...]

kleine correctie het ging om y''-yc=0. Opzich een klein verschil, maar daardoor kon je net verkeert uit.

In de TS-discussie staat iets dergelijks als y''/y=-w² en dat is y''+cy=0

Eenvoudiger is om a vanaf het begin als complex te beschouwen. Dit levert zoals je aangeeft de vergelijking: (jouw vergelijking heeft overigens ten onrechte een lineare en geen constante term)
a² - c = 0

Ja, ik had even een a-tje te veel . . .hamertje tik komt van pas!.

Dit heeft als oplossingen: a = +/-sqrt(c)

Maar dit is de oplossing voor a voor y''-cy=0.
Als we y''+cy=0 nemen zoals het in de TS stond,
krijg ik:

a= +/-i[sqrt(c)) .....imag. voor c>0
en
a=+/-sqrt(-c).....reeel. voor c<0

Dus dit is net omgekeerd van wat je hieronder stelt.

als c > 0, hebben we dus reëele e-machten als oplossing. Deze zijn onbegrensd, wat als het goed is een conflict oplevert met (niet gegeven) physische randvoorwaarden van het probleem.

als c < 0, dan krijgen we de oplossing zoals in de TS die waarschijnlijk wel voldoet aan de randvoorwaarden.

In mijn oplossing voor a is de oplossing voor de DV de sinus/cosinus oplossingen met c >0
en reeele exponentiele oplossingen(onbegrensde) voor c<0

Op deze grond kan je dus concluderen c een negatieve constante moet zijn en dus te schrijven is als -w².

Dus de oplossing voor de natuurlijke trillingen zijn de oplossingen voor c>0 en dus -c kunnen we schrijven als -w²

Dit is consquent met de typische trillingen van een massa-veer systeem waarin x''+v/mx'+k/mx=0 zonder damping(m=massa):

x''+k/mx=0. . . .met k/m= w² ----------> x''/x=-w²

Als je zoals jij stelt dat de bron-DV

x''-cx=0

beschrijf je een massa-veer systeem met een negatieve veerconstante met als gevolg dat als je de massa een "infinitesimal" klein stukje beweegt van de nul-positie de kracht op de massa groter wordt in de zelfde richting als de beweging. . .en dat wordt een onbegrense beweging. . . .totdat de veer breekt

Dit kan eenvoudig door de stelling toe te passen dat een tweede orde lineare differentiaal verglijking altijd twee linear onafhankelijke oplossingen heeft. Dus als je er eenmaal twee hebt gevonden, dan heb je ze allemaal.

Prachtig om deze eenvoud te kunnen onthouden! Dit zijn de essentiele zaken welke gemakkelijk te vergeten zijn als je je niet op de fundamentele zaken richt!

Shit. . . ik had 2 uur geleden iets anders moeten gaan doen om morgen iets klaar te hebben!

[ Voor 19% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 02-09-2005 01:13 ]

[Anoniem: 124325]

Zoijar schreef op vrijdag 02 september 2005 @ 00:59:

Als je dan toch filosofisch wilt doen: alle soorten getallen hebben altijd bestaan, en zullen altijd bestaan. Er is niet zo iets als het ontstaan van een nieuw getal soort; alles is er al.

Als je dan ook mee wilt doen in dit soort zaken moet je niet iets doms gaan zeggen. Als er niet zoiets was zoals het uitvinden van een nieuw getal(en allerlei ander nieuwe gedachten) en alles wat er bestaat altijd bestaan heeft dan was jij natuurlijk ook aanwezig tijdens de Oerknal. Ik bestond toen nog niet. Ik ben blij dat ik niet een eeuwig onveranderdlijke lul ben.

[Zoijar]

Anoniem: 124325 schreef op vrijdag 02 september 2005 @ 01:26:
Als je dan ook mee wilt doen in dit soort zaken moet je niet iets doms gaan zeggen. Als er niet zoiets was zoals het uitvinden van een nieuw getal(en allerlei ander nieuwe gedachten) en alles wat er bestaat altijd bestaan heeft dan was jij natuurlijk ook aanwezig tijdens de Oerknal. Ik bestond toen nog niet. Ik ben blij dat ik niet een eeuwig onveranderdlijke lul ben.

Ik als samenstelling van deeltjes was er nog niet, maar de wiskunde ontstond volledig na de bigbang, evenals de natuurwetten. Wij kunnen slechts structuren vinden binnen de wiskunde die er al zijn. En ja, dit is een filosofisch geloof, want je kan beargumenteren dat de mensheid juist de wiskunde heeft bedacht. Dat lijkt me allemaal iets voor een ander topic. Evenals trias denk ik dat ik vanwege mijn opleiding wel het recht heb verworven om "mee te willen doen" ... maar daar ga ik nu hier mee stoppen, want ik geloof dat wij in het verleden als eens een aanvaring hebben gehad. Veel woorden en weinig inhoud...

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op vrijdag 02 september 2005 @ 01:02:
[...]

In de TS-discussie staat iets dergelijks als y''/y=-w² en dat is y''+cy=0

nee dat is: y''/y = c <=> y'' = c y <=> y'' - c y = 0.

[edit]
OK besef me nu dat we een andere definitie voor c hadden. Ik gebruikte c = y''/y = -w², de constante die voort vloeit uit de scheiding van variabelen. Jij gebruikt -c = -w², met dus een extra min teken. Beide keuzes zijn natuurlijk volkomen juist.

[ Voor 43% gewijzigd door Anoniem: 8386 op 02-09-2005 11:10 ]

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op vrijdag 02 september 2005 @ 00:11:
[...lang verhaal over meetbaarheid van complexe getallen]

Ik heb nooit beweerd, dat het imagenaire deel van een functie niet waarneembaar (is overigens iets heel anders dan niet meetbaar!) is. Sterker nog het is een reëel getal dus in principe waarneembaar. Zelfde geldt voor het reëele deel of de modulus of het argument van een complexe functie. Complexe functies daarintegen repesenteren daarin tegen nooit in hun geheel waarneembare grootheden.

Hiermee beweer ik dus niet dat complexe getallen niet relevant zijn in de natuurkunde. Niets is minder waar gezien het feit dat de quantum mechanica werkt met complexe golffuncties. Het kan ook in andere gevallen zeer nuttig zijn om met complexe getallen te werken bijvoorbeeld in de elektrodynamica. Toch zal je altijd je antwoord moeten reduceren tot een reëel getal als je een fysische voorspelling wilt doen.

[Anoniem: 107308]

Ik zou U beiden of drieen willen bedanken voor de antwoorden. Weer even wat kennis opgehaalt en ik was randvoorwaarden voor die -w² compleet vergeten mee te nemen. Na ja, je kan ook niet alles onthouden zeg ik dan maar(slecht excuus maar wel handig )

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op vrijdag 02 september 2005 @ 11:25:
[...]


Ik heb nooit beweerd, dat het imagenaire deel van een functie niet waarneembaar (is overigens iets heel anders dan niet meetbaar!) is. Sterker nog het is een reëel getal dus in principe waarneembaar. Zelfde geldt voor het reëele deel of de modulus of het argument van een complexe functie. Complexe functies daarintegen repesenteren daarin tegen nooit in hun geheel waarneembare grootheden.

Hiermee beweer ik dus niet dat complexe getallen niet relevant zijn in de natuurkunde. Niets is minder waar gezien het feit dat de quantum mechanica werkt met complexe golffuncties. Het kan ook in andere gevallen zeer nuttig zijn om met complexe getallen te werken bijvoorbeeld in de elektrodynamica. Toch zal je altijd je antwoord moeten reduceren tot een reëel getal als je een fysische voorspelling wilt doen.

Ik denk dat we aanvankelijk op een parallel spoor zaten en inmiddels zijn we een wissel gepasseerd. Trias rijdt voorop op het zelfde spoor als ik !

Ik ga nog even kouwen op je stelling dat waarnemen en meten niet hetzelfde zijn. Voer voor een ander Topic. In elk geval stel ik dat als iets niet waarneembaar is dan is het ook niet meetbaar. Als het wel waarneembaar is kan ik me indenken dat het niet meetbaar is, maar dat is afhankelijk van hoe je waarnemen definieert . . . .als ik een lichtfits zie is het te laat om het zuiver te meten als je over mircropseconden zuiverheid wilt spreken. Ik kan beweren dat de waarnming een meting was: het duurde ongeveer 0,5 seconden. Maar goed, we kunnen er over twisten. Even niet nodig.

Nu is er nog het overblijvende onderwerp over je stelling dat je een imaginair getal niet kan meten (zo interpreteer ik wat je zegt).

De oplossing van een DV, complex of niet, is een getal. Het is zeker niet een fysische manifestatie! Als ik een DV oplossing verkregen heb kan het resultaat voor allerlei fysische zaken een benadering zijn voor het gedrag van een systeem zoals bijvoorbeeld een veer en een massa.
Bijvoorbeeld deze oplossing voor de vrije trilling-DV. . . (DV=0) van een veer/massa is doelmatig:

Y=Ae^at*sin(wt)

Het getal Y in de hoedanigheid als de oplossing van de DV met enige initiele condities is nog steeds een getal en niet een fysische eenheid. Zodra we gaan meten meten we een beweging en niet een getal.

Met een DV welke als uitkomst Y= F1(t) +iF2(t) heeft is de wiskune ten einde en je hebt niets gemeten. Je hebt een vergelijking opgelost.

Getallen zijn niet meetbaar. Of ze complex zijn of niet doet niet terzake.

Dit dwingt me naar de vraag waar we de discussie over voerden: bestaan er complexe fysische eenheden?. . .met complex bedoel ik hier uiteraard iets als (x+iy).

In de Euler notatie Z=Ae^i(r) is r een radianhoek in het complexe coordinaten stelsel en ik vroeg me af wat er zou onstaan of wat het zou betekenen als we er nu een complexe hoek van zouden maken met r= b+ic. Destijds was mijn vraag gericht niet op de wiskunde maar op de betekenis van een complexe hoek. Hoe moest ik me complexe hoek voorstellen?

Het wiskundige antwoord is een eitje: De complexe hoek Zr= Be^ir2 en dit reken je gewoon uit:

Z=Ae^i(Zr)

Z=Ae^{i(Beir2 )}

. . . Oeps. . . de haakjes werken op deze manier niet. Dan maar op deze manier:

Z=A ^eiZr

en dit is eenvoudigweg een complex getal met een andere hoek van de "absolute value" vector. Niets meer en niets minder.

De uiteindelijke verklaring is dat een complexe hoek louter een complex getal is in een wiskundige bewerking en geen fysische hoek.. . .in de wiskunde is elke hoek een getal en geen fysische eenheid. Interessant geval. Als je dus de hoek van het comlexe getal complex maakt verandert het ^plaatje van het complexe vlak in de zin dat de hoek een ander hoek wordt en dat de vector-lengte veranderd!

Getallen zijn niet meetbaar. Een complexe hoek bestaat. . .maar alleen in de wiskunde.

[blobber]

Sorry dat was nogal off-topic geloof ik

[ Voor 94% gewijzigd door blobber op 04-09-2005 12:46 ]

[Anoniem: 124325]

blobber schreef op zondag 04 september 2005 @ 12:45:
Sorry dat was nogal off-topic geloof ik

Ja, maar wel interessant: het punt was dat als je een variabele zoals de orientatiehoek van de complex vector, imaginair maakt dan wordt de orientatiehoek van het nieuwe complex vector reeel. Mijn conclusie was dat oplossingen van welke DV dan ook slechts getallen zijn en geen fysische zaken.

Dit betekend dat het imaginair deel van een complexe oplossing van een wiskundige relatie vaak het gedrag van een fysische systeem kan beschrijven: de getallen representeren de grootheid en de 'i' geeft slechts aan dat het om unieke variabelen gaat, zoals bijvoorbeeld snelheid en kracht in een veer-massa systeem (of elektriciteit). De DV oplossing hoeft niet perse alleen maar reele delen te bevatten om een fysische systeem voor te stellen.

If the shoe fits, wear it!

[Zoijar]

Aan de hand van dit topic bedacht ik deze 'grap' Ik vond hem wel leuk, maar misschien heb ik een vreemde smaak...

An engineer, a physicist and a mathematician are discussing the solution of a mathematical problem. The engineer immediately feeds the function to his computer and concludes the answer must be 42.00164. In turn, the physicist sits down and starts scribbling. After a while he concludes the answer has to be either 42 or 5+6i, but due to the problem statement the latter can be discarded by default. The mathematician looks at the function for while, notes properties like continuity and compactness, states the solution exists, and calls it delta.