Ideale lanceer hoek

[JTW]

Wanneer je met een kanon oid een projectiel zo ver mogelijk wilt wegschieten is de hoek die het kanon met het aardoppervlak maakt 45 graden. Dit is al lang bewezen, maar nu mijn vraag.

Volgens mij wordt er geen rekening mee gehouden met luchtweerstand. Als je projectiel nou eens niet van staal is maar van (bijvoorbeeld) papier, zou de lanceerhoek volgens mij een stuk kleiner moeten zijn om te compenseren voor de luchtwrijving. Maar hoe reken je dit ooit uit, dus hoe combineer je de luchtwrijving met de bekende formules van kogelbanen?

Ik kom er zelf niet uit als vwo5 leerling met het N&T profiel, maar ik heb wel het gevoel dat ik gelijk heb, ondanks het feit dat vrijwel alle mensen uit m'n natuurkunde klas beweren dat ik dom aan het denken ben. (sukkels )

[Tux]

Stel, je schiet een projectiel af onder een hoek van 45 graden.
De snelheid van het projectiel vat je op als een vector, die te ontbinden is in een horizontale en een verticale component.
De beweging in de verticale richting wordt ook tegengewerkt door de lucht lijkt mij. Dus als het windstil is zal het wel of niet meerekenen van de luchtweerstand geen effect hebben op de efficiëntste hoek.

[JTW]

Tja, daar heb je wel een punt, maar toen ik het aan mijn natuurkunde leraar vroeg zei hij dat ik gelijk had. Hij vertelde om de eenofandere reden alleen niet waarom.

[Devalno]

Tux schreef op vrijdag 27 mei 2005 @ 21:18:
Stel, je schiet een projectiel af onder een hoek van 45 graden.
De snelheid van het projectiel vat je op als een vector, die te ontbinden is in een horizontale en een verticale component.
De beweging in de verticale richting wordt ook tegengewerkt door de lucht lijkt mij. Dus als het windstil is zal het wel of niet meerekenen van de luchtweerstand geen effect hebben op de efficiëntste hoek.

Of het windstil is of niet maakt volgens mij niets uit. Want de luchtwrijving ontstaat doordat het projectiel een andere vector dan de lucht heeft, deze wrijving is er alleen niet als beide vectoren precies aan elkaar gelijk zijn.

Stel dat je een projectiel afschiet met een hoek groter dan 45 graden, de werkelijke afstand die het projectiel dan aflegt is stukken groter dan de horizontale afstand. Als je een ander projectiel afschiet met een veel kleinere hoek, die horizontaal gezien even ver komt, heeft een veel kleinere werkelijke afstand afgelegd dan het eerste projectiel. Het tweede projectiel heeft dan veel minder luchtweerstand ondervonden dan het eerste projectiel, dus de luchtweerstand is wel degelijk van belang, ook als het windstil is.

[joopv]

JTW schreef op vrijdag 27 mei 2005 @ 21:13:
Wanneer je met een kanon oid een projectiel zo ver mogelijk wilt wegschieten is de hoek die het kanon met het aardoppervlak maakt 45 graden.

Je vergeet een paar factoren die op school gemakshalve weggelaten worden:
- In een vacuum
- In een uniform zwaartekrachtveld
Het is gemakkelijk voor te stellen dat bij een zeer hoge aanvangssnelheid het projectiel niet meer terugkomt. Ik meen dat de ontsnappingsnelheid van het aardse zwaartekrachtveld iets van 11 km/s is.

Dit is al lang bewezen, maar nu mijn vraag.

Volgens mij wordt er geen rekening mee gehouden met luchtweerstand. Als je projectiel nou eens niet van staal is maar van (bijvoorbeeld) papier, zou de lanceerhoek volgens mij een stuk kleiner moeten zijn om te compenseren voor de luchtwrijving.

Waarom zou de samenstelling van het object van invloed moeten zijn op de luchtweerstand?
Alleen vorm en afmetingen hebben invloed op de luchtweerstand, niet de massa en/of samenstelling. Een papieren projectiel heeft (bij dezelfde vorm) dezelfde luchtweerstand als een stalen projectiel.

Echter - bij het begin (het afschieten) is de kinetische energie van een kanonskogel van b.v. staal is veel groter (door de hogere massa) en daardoor is het energieverlies van de kogel door de wrijving met de lucht relatief veel minder is dan bij dezelfde kanonskogel van papier.

De luchtweerstand vreet de geringere kinetische aanvangsenergie van de papieren kanonskogel dus eerder op - de baan zal geen nette parabool meer zijn.
De stalen kanonskogel heeft bij dezelfde snelheid zoveel meer kinetische aanvangsenergie dat de luchtweerstand veel minder van invloed is op het baantraject.

Nou mag jij het kwantitatief verder uitwerken

[Lord Daemon]

Als we ervan uitgaan dat het hier om een groot, snel object gaat dat dicht bij het oppervlak van de aarde blijft, dan is de wrijvingskracht Fw = - c v², met v de snelheid(svector) van het object en c een of andere experimenteel te bepalen constante. De zwaartekracht is Fg = - 9.8 m [y], met m de massa van het deeltje, [y] de eenheidsvector in de positieve y-richting, die ik naar boven kies, en alles in SI-eenheden. De totale, snelheidsafhankelijke kracht van het object is dus:

F = - c v² - 9.8 m [y].

Met dezelfde berekeningen als die bij een object zonder luchtweerstand kan je daarmee gaan proberen de ideale hoek berekenen. De versnelling a is bijvoorbeeld:

a = - c/m v² - 9.8 [y].

Dat betekent dat de snelheid v gegeven wordt door de differentiaalvergelijking

dv/dt = - c/m v² - 9.8 [y],

wat je helaas niet kan splitsen in een x-afhankelijk en een y-afhankelijk deel, omdat de snelheid er in het kwadraat in voorkomt. Hm. Aha, mijn boek Analytical Mechanics doet de berekening dan ook alleen voor geen of lineaire luchtweerstand (kleine en/of langzame objecten), en zegt over het geval met kwadratische weerstand:

Trajectories for such objects can only be worked out numerically.

Numerically - met een computer dus. Helaas.

[Confusion]

Tux schreef op vrijdag 27 mei 2005 @ 21:18:
De beweging in de verticale richting wordt ook tegengewerkt door de lucht lijkt mij.

Klopt, maar de horizontale en verticale snelheden zijn verschillend. Aangezien luchtwrijving evenredig met de snelheid in het kwadraat gaat, zal het effect op de horizontale en vertical component verschillend zijn. De ideale hoek wordt dus inderdaad anders in de meeste gevallen.

[blobber]

Ik meen mij te herinneren dat de mechanische computer van Charles Babbage ontworpen was om dit soort ballistische differentiaalvergelijkingen door te rekenen tbv het leger, dus ook toen al was het probleem bekend

[ Voor 11% gewijzigd door blobber op 29-05-2005 01:17 ]

[Opi]

Lord Daemon schreef op zaterdag 28 mei 2005 @ 12:22:
F = - c v² - 9.8 m [y].

[...]

dv/dt = - c/m v² - 9.8 [y],

wat je helaas niet kan splitsen in een x-afhankelijk en een y-afhankelijk deel, omdat de snelheid er in het kwadraat in voorkomt.

De vergelijking voor F zou toch splitsbaar moeten zijn in een x en een y-component?
dv_x/dt = - c/m v²_x + comp_y@x
dv_y/dt = - c/m v²_y - 9.8 [y] + comp_x@y
Hoe de invloed van de x-component op de y-component is en vice versa weet ik zo snel niet te modelleren.

[ Voor 17% gewijzigd door Opi op 29-05-2005 01:54 ]

[MSalters]

En dat studeert L&R ...



Het onderliggende probleem is inderdaad dat v_x en v_y anders veranderen: v_x neemt langzaam af, maar blijft positief. v_y neemt af, en wordt halverwege negatief. Voor F_w geldt dus hetzelfde.

[Anoniem: 79503]

MSalters schreef op maandag 30 mei 2005 @ 13:21:
Voor F_w geldt dus hetzelfde.

En dat is dus niet waar, een inherente eigenschap van de wrijvingskracht is dat hij altijd in tegengestelde richting op de snelheidsvector staat. Verder lijkt het mij niet dat v_x enige invloed heeft op v_y en vice versa.
Op de middelbare school heb ik eens een ballistische baan met luchtweerstand met behulp van de computer berekend, het model staat volgens mij in het boek systematische natuurkunde 2-1.
Voor de middelbare school lijkt het mij veel te ver gaan om dit probleem analytisch op te lossen, maar het lijkt me echter goed mogelijk om een computermodel te klussen.
Wat je moet doen om het model op te stellen is inderdaad de snelheid ontbinden in een x- en een y-component en vervolgens de differentiaalvergelijkingen apart oplossen en die oplossingen in elkaar te substitueren.

[Confusion]

Anoniem: 79503 schreef op maandag 30 mei 2005 @ 14:02:
Verder lijkt het mij niet dat v_x enige invloed heeft op v_y en vice versa.

Causaal niet natuurlijk, maar ze zijn intrinsiek gekoppeld, zodat je de een niet zonder de ander kan weten, omdat dat bepaalt in welke richting het deeltje eigenlijk beweegt. Dat blijkt ook uit het feit dat je zaken in elkaar moet substitueren in een numerieke oplossing.
Omdat de wrijvingskracht evenredig met de snelheid in het kwadraat gaat hangen die twee wel degelijk causaal van elkaar af. Een deeltje met een andere v_x, zal in de y-richting een ander snelheidsverloop hebben. Een deeltje met een hogere snelheid ondervind meer wrijving, waarvan de y-component door de hoek tussen v_x en v_y wordt bepaald. Daarom kan bijvoorbeeld een steentje over water scheren: kinetische energie 'in de ene richting' wordt omgezet in kinetische energie 'in de andere richting'. Hier wordt wrijving in 1 richting gecompenseerd door energieverlies in de andere richting, in extreem slordig taalgebruik.

Voor de middelbare school lijkt het mij veel te ver gaan om dit probleem analytisch op te lossen,

Ik zal het je nog sterker vertellen: er is, zoals voor zoveel differentiaalvergelijken, geen analytische oplossing.

Wat je moet doen om het model op te stellen is inderdaad de snelheid ontbinden in een x- en een y-component en vervolgens de differentiaalvergelijkingen apart oplossen en die oplossingen in elkaar te substitueren.

Je kan best de losse differentiaalvergelijkingen voor de x en y snelheid opstellen, maar daarmee heb je de snelheid nog niet ontbonden. v² = v_x² + v_y² en in zekere zin is dat dus al ontbonden: daarmee hangt v_x dus van v_y af.

[ Voor 33% gewijzigd door Confusion op 30-05-2005 15:00 ]

[rapture]

45° is theoretisch ideaal, maar als er luchtweerstand meegerekend wordt. Dan zie je niks op 45° afvuren. In atletiek gaat men iets lager bv 40° een speer werpen, dankzij de vector van de luchtweerstand zit die speer te bewegen alsof het onder 45° in ideale toestand (dus het verst gaan, natuurlijk kan het verder als er geen luchtweerstand is) geworpen word.

Je kan het zo moeilijk maken als je wilt met al die afgeleiden, gelukkig had ik in het Technische mechanica met gemakkelijke formules gehad. Waarom maakt men moeilijk formules? Omdat je dan 1 formule hebt dat altijd werkt ipv 87 uitzonderingen en aanpassingen.

Lang geleden dat ik nog mechanica gehad heb, correct me if wrong:

Je begint met mondingssnelheid van het projectieel, eenvoudig gezegd: "De snelheid waarmee het projectiel vertrekt." Teken deze vector en zet de hoek erbij, deze vector kan je ontbinden in een x- en y-component, wat spelen met de hoek, cos & sin. Y-component is de snelheid waarmee het projectiel omhoog gaat, hoe hoger, hoe trager. Dus rekening houden met aardversnelling, elke seconde gaat er dus 9,81m/s eraf. Dat kan wel een tijdje duren, dat het projectiel op het hoogste punt is. Als je naar boven gaat met een bepaalde luchtweerstand, dan zal het naar beneden gaan ook dezelfde luchtweerstand hebben. Daarna ga je projectiel ongeveer even lang doen om terug naar beneden te komen, het versnelt hier dus. Je weet dus hoe lang het projectiel in de lucht is, dan kan je ook zien hoe ver het projectiel bewogen is door de X-compoment, rekening houdend met de wind.

Dit lijkt veel werk in vergelijking met die ingewikkelde formules, maar als je dat ff progt op een rekenmachine ipv op je pc, dan werkt het ook snel. Er zijn wel analytisch oplossingen, alleen zijn differentiaalvergelijking uitgevonden om veel sneller te werken.

Luchtweerstand is afhankelijk van het projectielvorm (ja, er zijn nieuwe aerodynamisch sniper-patronen die bijna 2x AWM-bereik (ookwel awp in CS genoemd) hebben, .408 CheyTac) en massadichtheid. 1 kilo veren (weinig massa en vangt veel wind) valt traag, 1 kilo steen (veel massa en compact) val sneller.

In 't leger heeft elk stuk artillerie een computertje om ballastiek te berekenen.

[ Voor 13% gewijzigd door rapture op 30-05-2005 18:07 ]

[Anoniem: 107308]

De wrijvingskracht 180 graden op de bewegingsvector, I wish. Dat hangt totaal van de vorm van het object af. Dat maakt deze berekeningen ook erg complex.

De ideale hoek is op aarde trouwens nooit 45 graden, welke natuurkundige je dat heeft verteld zou even naar de schoolbankjes terug moeten of werkt met kannonetjes die een papierpropje 10 cm ver kunnen schieten.

Die hoek is trouwens voor de meeste artillerie stukken rond de 39 graden voor maximum afstand met standaard munitie.

[frickY]

JTW schreef op vrijdag 27 mei 2005 @ 21:13:
Wanneer je met een kanon oid een projectiel zo ver mogelijk wilt wegschieten is de hoek die het kanon met het aardoppervlak maakt 45 graden. Dit is al lang bewezen, maar nu mijn vraag.

Volgens mij wordt er geen rekening mee gehouden met luchtweerstand. Als je projectiel nou eens niet van staal is maar van (bijvoorbeeld) papier, zou de lanceerhoek volgens mij een stuk kleiner moeten zijn om te compenseren voor de luchtwrijving. Maar hoe reken je dit ooit uit, dus hoe combineer je de luchtwrijving met de bekende formules van kogelbanen?

Ik kom er zelf niet uit als vwo5 leerling met het N&T profiel, maar ik heb wel het gevoel dat ik gelijk heb, ondanks het feit dat vrijwel alle mensen uit m'n natuurkunde klas beweren dat ik dom aan het denken ben. (sukkels )

Waarom een papieren projectiel onder een lagere hoek wegschieten?
Als de luchtweerstand lager is onder een lager hoek, was de ideale hoek niet 45 graden geweest.

Op 45 graden heb je de gunstigste kracht-weerstand verhouding, waardoor je het verst komt.
Mik hoger, en je verliest afstand doordat er niet genoeg kracht is
Mik lager, en je verliest afstand doordat je minder "air-time" hebt.

[TrailBlazer]

zo kom je het verst

[Dirk]

Host je plaatje even op imageshack.us hier doet ie het niet echt.

Alhoewel, het plaatje lijkt me ook niet echt relevant.

[ Voor 29% gewijzigd door Dirk op 07-06-2005 15:00 ]

[rapture]

Anoniem: 107308 schreef op vrijdag 03 juni 2005 @ 20:51:
De wrijvingskracht 180 graden op de bewegingsvector, I wish. Dat hangt totaal van de vorm van het object af. Dat maakt deze berekeningen ook erg complex.

De ideale hoek is op aarde trouwens nooit 45 graden, welke natuurkundige je dat heeft verteld zou even naar de schoolbankjes terug moeten of werkt met kannonetjes die een papierpropje 10 cm ver kunnen schieten.

Die hoek is trouwens voor de meeste artillerie stukken rond de 39 graden voor maximum afstand met standaard munitie.

Dat van wrijving is nogal moeilijk te implementeren, meestal lost men dat op met "karakteristieken" van projectielen. Karakteristieken worden opgemeten, dan krijg je een grafiek waarmee je ook rekening moet houden.

45° klopt voor korte afstanden, hoe groter de afstand, hoe meer je rekening moet houden met "de kromming van de aarde". Daarom moet je met een tekening werken, ik begon al met teken een vector, zet de hoek erbij... Kromming van de aarde kan je ook erop noteren en de hoeken bijstellen. Hoogteverschillen moet je ook op de tekening implementeren, het stuk artillerie moet niet perse even hoog staan als het doelwit. Als je een lijn trekt van het stuk artillerie naar het doelwit en vanaf deze lijn meet, dan kom je terug op 45°. Maar gewoonlijk meet men tov de grond waar een stuk artillerie staat en die hoek is lager.

Zonder ingewikkelde formules werken is mogelijk, maar er komt veel werk bijkijken. Daarom heeft men de ingewikkelde formules uitgevonden, zeker in de tijden van grote wiskundigen moest je alles met de hand uitrekenen. Tegenwoordig kan men het meest inefficiënte zooi door een computer draaien en zien wat het geeft.

[ Voor 14% gewijzigd door rapture op 07-06-2005 20:44 ]