Hoe kunnen wij zoveel wiskundige theorieën zeker weten

[Silent Thunder]

Dit is misschien een wat te algemene vraag om opgezocht te worden, terwijl hij misschien heel simpel te antwoorden is. Maar ik denk er wellicht te moeilijk over na waardoor ik er niet uitkom maarrrrr de vraag concreet is: hoe kunnen wij zoveel wiskundige theorieën zeker weten?

Op school word dat altijd heel simpel erin gestampt; van als je dit probleem hebt dan kan je dat oplossen door middel van deze of deze technieken toe te passen...

Maar ik weet nog dat iemand ooit een gedeelte uit een boek van Stephen Hawking citeerde wat over het universum ging; en daar kwam ook iets in voor dat wij zoveel dingen nog niet eens kunnen bevatten die daar over gaan, maar tegelijkertijd berekenen we wel allerlei sterren op die manier die lichtjaren van ons afstaan. Nou jah, misschien wat simpel gezegd; maar wij maken over het sterrenstelsel (voorbeeld) de meest complexe berekeningen terwijl we er zo weinig van af weten. Puur omdat we ons vastklampen aan die wiskundige wetten die ooit bedacht zijn? Waarom zijn die nou zo heilig?

Niet dat ik er direct niet in geloof. Want ik zie tijdens mijn wiskundige vakken dat het werkt; maar als ik er langer over nadenkt komt die vraag wel na boven...

[Zoijar]

Bij wiskunde gaat het om axioma's, we nemen een aantal dingen aan als "waar". Verder hebben we een aantal regeltjes die ook "waar" zijn, en met die combinatie kunnen we nieuwe regeltjes afleiden die "waar" moeten zijn, althans volgens de aangenomen logica en axiomas.

In de natuurkunde bestaan er alleen modellen, er is daar geen "waarheid". We kunnen slechts dingen waarnemen, en die dan verklaren en daar proberen een soort van waarheid uit halen (aristoteles). Het verbazingwekkende is nu, dat veel van die modellen van waarnemingen ook redelijk lijken te kloppen met de wiskundige waarheid en axiomas. Daaruit zou je kunnen concluderen dat er dus een hogere waarheid is (wiskunde) die niets met de waarnemingen te maken heeft, en die daar slechts een afspiegeling van zijn (plato)

[it0]

En dat is ook meteen het enigste zinnigste wat plato heeft gezegd, anyway er is ontzettend veel wiskunde echter wat we weten is slechts een fractie van wat er is, sterker nog meer als 90% kunnen we nu nog niet eens bewijzen...

[Rac-On]

in de wiskunde ga je uit van een aantal definities (een circel is 360 graden, de getallen lopen van 0 tm 9 en er zit steeds 1 tussen). Met de definities ga je vervolgens verder dingen bewijzen/berekenen. Lijkt me niet zo ingewikkeld?

[H!GHGuY]

hmm iemand uit m'n klas van vroeger had z'n eigen 'wiskunde' uit gevonden waarmee hij op een veel snellere(en betere?) manier tot oplossingen kwam bij het rekenen met limieten etc...

hij nam dus andere axioma's aan en kwam toch altijd tot een juiste oplossing en dit zelfs sneller dan met de 'klassieke' wiskunde...

het is zoals hierboven dus aangetoond door Zoijar:
wiskunde: axioma's en daaruit halen we stellingen.
natuurkunde: waarnemingen en daaruit modellen
en de overeenkomst verbaast soms zelfs de wetenschappers

[TheBorg]

Vroeger... op de HAVO vroeg ik me ook altijd af waarom bepaalde regeltjes waar zijn, wat er nou onder het sinus knopje van een rekenmachine zit, etc., etc. Gelukkig was de wiskunde leraar een aardige vent en niet te beroerd het allemaal even uit te leggen. Hoe verder je in de wiskunde komt hoe duidelijker het eigenlijk word. Hoe wij die wiskundige theorieën zo zeker weten? "Gewoon" uitrekenen, daaruit ontstaat een regel waarvan een scholier/student maar moet aannemen dat deze waar is.

Natuurkunde is een heel ander vakgebied.

[Silent Thunder]

Nou jah, de antwoorden klinken heel simpel; de grondsbeginselen van wiskunde snap ik wel. Ik denk dat het beste advies dan ook meer is om de basis aan te nemen. Maar mijn vraag rondom die basis neigde misschien teveel naar het filosofische toe.. ''waarom is dat nou 1. Waarom beginnen we met dat als 1 te noemen en geen 2.''

[Zoijar]

Silent Thunder schreef op maandag 17 januari 2005 @ 22:20:
Nou jah, de antwoorden klinken heel simpel; de grondsbeginselen van wiskunde snap ik wel.'

offtopic:
hehe, dat lijkt me sterk Het is iets ingewikkelder dan het lijkt

[Silent Thunder]

Zoijar schreef op maandag 17 januari 2005 @ 22:40:
[...]

offtopic:
hehe, dat lijkt me sterk Het is iets ingewikkelder dan het lijkt

ik doelde meer op de basis

[Confusion]

Silent Thunder schreef op maandag 17 januari 2005 @ 21:50:
hoe kunnen wij zoveel wiskundige theorieën zeker weten?

Omdat je de juistheid van een bepaalde stelling binnen de wiskunde onweerlegbaar kunt aantonen, omdat wiskunde alleen in onze hoofden bestaat. Zodra je het met de buitenwereld verbindt, wordt het natuurkunde.

Maar ik weet nog dat iemand ooit een gedeelte uit een boek van Stephen Hawking citeerde wat over het universum ging; en daar kwam ook iets in voor dat wij zoveel dingen nog niet eens kunnen bevatten die daar over gaan,

We kunnen alles prima bevatten. Over iets dat we niet kunnen bevatten kunnen we ook niet zeggen dat we het niet kunnen bevatten, dus waar Hawking dat soort dingen schrijft is zijn geloof een beetje op hol geslagen en beinvloed zijn wetenschappelijke uitspraken. Betreurenswaardig.

Niet dat ik er direct niet in geloof. Want ik zie tijdens mijn wiskundige vakken dat het werkt; maar als ik er langer over nadenkt komt die vraag wel na boven...

Je vergist je als je denkt dat er maar 1 soort wiskunde is. Er zijn talloze soorten wiskunde en de meesten daarvan worden niet gebruikt door de natuurkunde, omdat de werkelijkheid er niet mee te beschrijven is. We gebruiken 'de wiskunde' niet omdat we niets anders hebben, maar eenvoudigweg omdat de rest niets dan exercities voor de menselijke geest zijn, terwijl de gangbare wiskunde het mogelijk maakt de werkelijkheid te beschrijven. Waarom is dat een probleem?

[henkleerssen]

1 soort wiskunde lijkt me ook me niet te bestaan. Wiskunde is een set van axioma's en definities en daaruitvolgende formules dan wel stellingen.
Stel dat je andere axioma's neemt (cirkel heeft 100 taartjes ipv 360 graden bijvoorbeeld.. lekker simpel) en/of andere definities (laten we het 3-tallig stelsel als basis nemen ipv 10 tallig.. 10.. hee zijn dat niet het aantal vingers waar mee we in eerste instantie mee hebben leren tellen?), lijkt me dat je tot hele andere formulering komt die samen weer een "ander"soort wiskunde maakt. Of deze nu meer de waarheid benaderd of meer waar is.. of zekerder is ... tja "wat is meer de waarheid"?
en .. zoals confusion aangeeft.. wat is de werkelijkheid? wiskunde die de "werkelijkheid" beschrijft (zoals we het waarnemen) is natuurkunde?

Ok stel dat er nu buitenaardse wezens waren.. die niet meer dan 3 vingers hebben (dat wordt raar tellen.. ). Zeer grote kans dat ze een 3-tallig stelsel gebruiken en andere axiomas.. en uiteindelijke ook andere formules en stellingen.. die meer tegen hun percipieerde waarheid aanschurkt. .. de vraag is dan weer.. waarom weten zij hun wiskunde zo zeker?

[ Voor 7% gewijzigd door henkleerssen op 17-01-2005 23:09 ]

[Zoijar]

henkleerssen schreef op maandag 17 januari 2005 @ 23:08:
Ok stel dat er nu buitenaardse wezens waren.. die niet meer dan 3 vingers hebben (dat wordt raar tellen.. ). Zeer grote kans dat ze een 3-tallig stelsel gebruiken en andere axiomas.. en uiteindelijke ook andere formules en stellingen.. die meer tegen hun percipieerde waarheid aanschurkt. .. de vraag is dan weer.. waarom weten zij hun wiskunde zo zeker?

En toch vinden ze dan dezelfde priem getallen, al is het in een andere representatie. En vanuit het bestaan van priem getallen, zullen ze uiteindelijk de classificatie van eindige lichamen aan de hand van de orde vinden, etc. Is het werkelijk mogelijk een wiskunde op te stellen, die fundamenteel andere resultaten geeft? Kan je uberhaupt tot fundamentele resultaten komen, met een berekenbare theorie?

[henkleerssen]

Zoijar schreef op maandag 17 januari 2005 @ 23:22:
[...]

En toch vinden ze dan dezelfde priem getallen, al is het in een andere representatie. En vanuit het bestaan van priem getallen, zullen ze uiteindelijk de classificatie van eindige lichamen aan de hand van de orde vinden, etc. Is het werkelijk mogelijk een wiskunde op te stellen, die fundamenteel andere resultaten geeft? Kan je uberhaupt tot fundamentele resultaten komen, met een berekenbare theorie?

maar wat is een priemgetal? Die hebben we samen gedefnieerd als een getal dat alleen door 1 of door zichzelf kan worden gedeeld. .. ja leuk.. (practische toepasbaarheid is versleuteling van digitale data (hee.... is dat niet niet dat we data kunnen terugbrengen tot een grote hoeveelheid 1 en 0'en die overeenkomen met schakelingen in een circuit? ...mmm) .
Maar is dat fundamenteel? Wat is een getal? en is dat fundamenteel?
Fundamentele vooraannames (axioma's of premisses for that matter) zijn er niet .. wil ik eigenlijk maar zeg. Vooraannames worden gedaan.. en dan getoetst aan de werkelijkheid (wetenschap) .. en we kunnen daarna afspreken dat de vooraanname fundamenteel was/is... Dat doe je met elkaar. En dat doen die buitenaardse wezens ook.
Dus bestaan er fundamentele resultaten?.. Als er al geen fundamentele vooraannames bestaan met bovenstaande 3-vingerige wezens .. zou ik zeggen dat het antwoord op jou vraag boven mij dus nee lijkt. Correct me if i am wrong..

[GeeBee]

Het is vast wel mogelijk om een wiskunde logisch op te bouwen uit aximoma's die strijdig is met de huidige "gebruikelijke" wiskunde. De vraag is of dat iets oplevert in de zin van een betere beschrijving van de werkelijkheid.
Nou weet ik ook wel dat dat geen doel is van de wiskunde, maar van de natuurkunde (o.a.) maar het ontwikkelen van de infinite-simaal rekening (differentiaalrekening) door o.a. Newton is een moi voorbeeld hoe je eerst een andere/nieuwe/uitbreiding van de wiskunde nodig hebt om verder te kunnen met het ontwikkelen van het natuurkundige model van onze waargenomen werkelijkheid.

Wiskunde moet in eerste instantie "kloppen", er mag geen fout inzitten. Het is aan de natuurkunde om er vervolgens iets mee te zeggen over de werkelijkheid.
Dus om op je vraag terug te komen: hoe weten we iets zeker? Omdat niet is aangetoond dat het niet klopt.

Als de natuurkunde er niet uitkomt, klopt óf het model niet, óf we hebben eerst nieuwe wiskunde nodig om verder te kunnen.

[henkleerssen]

GeeBee schreef op maandag 17 januari 2005 @ 23:37:
Het is vast wel mogelijk om een wiskunde logisch op te bouwen uit aximoma's die strijdig is met de huidige "gebruikelijke" wiskunde. De vraag is of dat iets oplevert in de zin van een betere beschrijving van de werkelijkheid.
Nou weet ik ook wel dat dat geen doel is van de wiskunde, maar van de natuurkunde (o.a.) maar het ontwikkelen van de infinite-simaal rekening (differentiaalrekening) door o.a. Newton is een moi voorbeeld hoe je eerst een andere/nieuwe/uitbreiding van de wiskunde nodig hebt om verder te kunnen met het ontwikkelen van het natuurkundige model van onze waargenomen werkelijkheid.

Wiskunde moet in eerste instantie "kloppen", er mag geen fout inzitten. Het is aan de natuurkunde om er vervolgens iets mee te zeggen over de werkelijkheid.
Dus om op je vraag terug te komen: hoe weten we iets zeker? Omdat niet is aangetoond dat het niet klopt.

Als de natuurkunde er niet uitkomt, klopt óf het model niet, óf we hebben eerst nieuwe wiskunde nodig om verder te kunnen.

Wat is "kloppen"? Dat rechts en links vergelijking het zelfde is? En zo ja.. is dat laatste niet een vooraanname die je met iedereen hebt gemaakt? OF klopt de wiskunde wanneer je er een reflectie van terugziet en waarneemt in de natuur zoals wij dat zien (in de natuurkunde)?
Ik denk dus dat ook dat je wiskunde nooit "zeker kunt weten" .. simpelweg omdat we het niet getoetst krijgen in de ander "werkelijkheden" (met bijvoorbeeld dus natuurkunde) die bijvoorbeeld die 3-vingerige wezens dus waarnemen. Tenzij je met een 3-vingerige wezen op de proppen komt die het een en ander hier kan voorleggen..

[ Voor 3% gewijzigd door henkleerssen op 17-01-2005 23:47 ]

[sdomburg]

Een 3 vingerig wezen zal tot dezelfde bevindingen kunnen komen, alleen in een andere representatie. Ons huidige getallenstelsel heeft ook onvolkomenheden waar we wel omheen kunnen werken, zoals het getal Pi dat in ons stelsel een oneindig lang getal zou worden (let wel; lang, niet oneindig groot). Misschien is het wel logisch om Pi als basiseenheid te nemen en enkel te rekenen in radialen. De representatie wordt er anders van, omdat er andere afspraken zijn, een circel is 2pi radialen of een circel is 360 graden, de uitkomst wordt er niet anders op

Practisch voorbeeld; binair (2-vingerig ) gaat onze wiskunde nog steeds op, anders zou je computer het niet doen

[ Voor 14% gewijzigd door sdomburg op 18-01-2005 00:00 ]

[Sendy]

Wiskunde klopt in zichzelf, henk. Helemaal zonder invloeden van buitenaf. Als de wiskunde klopt, dan weet je het (dat wat er klopt) precies.

Het is zo krachtig dat je er de dingen uit de natuurkunde mee kan beschrijven, en zo goed "bedacht" dat eenvoudige dingen in de natuurkunde (het vallen van een appel) met eenvoudige wiskunde beschreven kan worden.

[henkleerssen]

sdomburg schreef op maandag 17 januari 2005 @ 23:55:
Een 3 vingerig wezen zal tot dezelfde bevindingen kunnen komen, alleen in een andere representatie. Ons huidige getallenstelsel heeft ook onvolkomenheden waar we wel omheen kunnen werken, zoals het getal Pi dat in ons stelsel een oneindig lang getal zou worden (let wel; lang, niet oneindig groot). Misschien is het wel logisch om Pi als basiseenheid te nemen en enkel te rekenen in radialen. De representatie wordt er anders van, omdat er andere afspraken zijn, een circel is 2pi radialen of een circel is 360 graden, de uitkomst wordt er niet anders op.

idd kunnen komen.. maar helaas weet je dat niet..
misschien heeft het wezen wel pi hoeveelheid vingers in zijn beleving.. (tja we kunnen er geen voorstelling van maken.. simpelweg omdat we dat niet onze voorstelling van wereld voorkomt) en heeft die 2 pi's (handen) die samen een cirkel zijn.. ..
Punt is.. je weet simpelweg niet of wiskunde overeenstemming zal vinden (en daarmee fundamenteler bevonden wordt) omdat je onze wiskunde niet kunt vergelijken met die 3-vingerige wezens. Het verwordt een speculatie dan deze discussie (zullen we de beschrijvende wiskunde van de statistiek er bij halen? ).

[MSalters]

Je voorbeelden werken niet zo mee; je probeert het nog steeds te concreet uit te drukken. Vingers zijn aftelbaar, en pi is niet aftelbaar, dus pi vingers wil niet zo. We kunnen dus wel de vergelijking maken, via abstractere concepten als aftelbaarheid. Op een nog abstracter nivo kom je op groepentheorie. Dat heeft helemaal geen nummers nodig, dus het aantal vingers van de aliens telt niet (pun intended ). Andersom is ons telsysteem maar 1 mogelijke groep. Wij kunnen dus via de groepentheorie onze telsystemen aan aliens uitleggen.

[mrClass]

Het idee wat ik bij wiskunde heb is dat alle berekeningen gereduceerd kunnen worden tot + en - operaties.

* is een opeenvolging van + operaties
2*3 = 2 + 2 + 2

/ is een opeenvolging van - operaties
4/2 = 4 - 2 - 2

Vanuit deze plus en min operaties worden alle andere operaties opgebouwd volgens logische regels tot complexere operaties. Deze complexe operaties kunnen weer toegepast worden op waarnemingen waardoor deze waarnemingen ook logisch geanalyseerd kunnen worden.

We analyseren waarnemingen door de complexe operaties te breken tot deze elementaire operaties om ze vervolgens te kunnen vergelijken met andere waarnemingen om hieruit weer conclusies te trekken.

wiskunde is dus een bewezen logisch model om waarnemingen te kunnen verklaren. Een leuke conclusie hieruit is dat waarnemingen logisch moeten zijn, hoewel de QM weer anders beweerd.

[GeeBee]

henkleerssen schreef op maandag 17 januari 2005 @ 23:46:
[...]

Wat is "kloppen"? Dat rechts en links vergelijking het zelfde is? En zo ja.. is dat laatste niet een vooraanname die je met iedereen hebt gemaakt? OF klopt de wiskunde wanneer je er een reflectie van terugziet en waarneemt in de natuur zoals wij dat zien (in de natuurkunde)?
Ik denk dus dat ook dat je wiskunde nooit "zeker kunt weten" .. simpelweg omdat we het niet getoetst krijgen in de ander "werkelijkheden" (met bijvoorbeeld dus natuurkunde) die bijvoorbeeld die 3-vingerige wezens dus waarnemen. Tenzij je met een 3-vingerige wezen op de proppen komt die het een en ander hier kan voorleggen..

Over Wi
Kloppen in de zin dat het zichzelf niet tegenspreekt. Of het daarnaast ook nog iets betekent is niet de vraag waar de wiskunde zich mee bezig houdt. Dat laten we graag aan de natuurkundigen over
Zolang het zichzelf niet tegenspreekt kun je dus zeggen dat het klopt, niet dat het waar is.

Over Na
Een alien met 3 vingers kan dan misschien wel een 6-tallig cijferstelsel hebben bedacht, maar zolang het om dezelfde werkelijkheid gaat, komt het ook tot een natuurkunde die over dezelfde werkelijkheid gaat als de onze. Hun natuurkunde zal dan gelijk zijn aan de onze. Niet met dezelfde getallen misschien, maar dat is Amerikaanse natuurkunde (inch, psi) ook niet met de Europese (cm en N). Het zal dat wel 1:1 in elkaar over te zetten zijn.
En zolang het model (welk model dan ook) overeenkomt met de werkelijkheid is het waar, ook al klopt het niet

[Verwijderd]

De italiaanse wiskundige Guiseppe Peano kwam her eerst met een systeem van axioma's.

Field Axioms:

Axiom 1 Commutative laws: x + y =y + x, xy=yx
Axiom 2 Associative laws: x + (y + z)=(x + y) + z, x(yz)=(xy)z
Axiom 3 Distributive laws: x(y + z)=xy + xz
Axiom 4 Existence of identity elements: There exist two distinct real numbers, which we denote by 0 and 1, such that for every real x we have x + 0 = x and 1*x = x
Axiom 5 Existence of negatives: For every real number x there is a real number y such that y + x = 0
Axiom 6 Existance of reciprocals: For every real number x not 0 there is a real number such that xy = 1

Order Axioms:

There exist a subset R+ of R that is called the positive numbers

Axiom 7 If x and y are in R+, so are x + y and xy
Axiom 8 For every real x not 0, either x is an element of R+ or -x is an element of R+, but not both
Axiom 9 0 is not an element of R+

Completeness Axiom:

Axiom 10 Every nonempty set S of real numbers which is bounded above has a supremum; that is there is a real number V such that B = supremum S

Nu kun je alle formules bewijzen Succes

[GeeBee]

mrClass schreef op dinsdag 18 januari 2005 @ 17:52:
Het idee wat ik bij wiskunde heb is dat alle berekeningen gereduceerd kunnen worden tot + en - operaties.

* is een opeenvolging van + operaties
2*3 = 2 + 2 + 2

/ is een opeenvolging van - operaties
4/2 = 4 - 2 - 2

Vanuit deze plus en min operaties worden alle andere operaties opgebouwd volgens logische regels tot complexere operaties. Deze complexe operaties kunnen weer toegepast worden op waarnemingen waardoor deze waarnemingen ook logisch geanalyseerd kunnen worden.

We analyseren waarnemingen door de complexe operaties te breken tot deze elementaire operaties om ze vervolgens te kunnen vergelijken met andere waarnemingen om hieruit weer conclusies te trekken.

wiskunde is dus een bewezen logisch model om waarnemingen te kunnen verklaren. Een leuke conclusie hieruit is dat waarnemingen logisch moeten zijn, hoewel de QM weer anders beweerd.

Dat is met net ff te simpel allemaal.
Dat complexe zaken opgebouwd kunnen worden uit eenvoudige is een goeie uitleg, maar SQRT(9) = 3 uitleggen door middel van delingen en aftrekkingen... ik geef het je te doen.
Vermenigvuldigen is een korte schrijfwijze voor het optellen van dezelfde getallen, maar verder houdt het wel een beetje op wat mij betreft. Ik probeer nou juist mijn leerlingen bij te brengen dat worteltrekken niets met delen te maken heeft, maar "alleen maar" het omgekeerde is van kwadrateren.

Verder vind ik waarnemingen logisch noemen niet juist. Conclusies moeten logisch zijn, waarnemingen zijn gekleurd door het waarnemen op zich. Dat het tot verassende en tegen-je-gevoel-ingaande conclusies kan leiden is een tweede.

[mrClass]

GeeBee schreef op dinsdag 18 januari 2005 @ 20:44:
SQRT(9) = 3 uitleggen door middel van delingen optellingen en aftrekkingen... ik geef het je te doen.

1 = 1 -> nee
2+2 = 4 -> nee
3+3+3 = 9 -> ja
Dit is de optel vorm van een wortel.

GeeBee schreef op dinsdag 18 januari 2005 @ 20:44:
Verder vind ik waarnemingen logisch noemen niet juist. Conclusies moeten logisch zijn, waarnemingen zijn gekleurd door het waarnemen op zich. Dat het tot verassende en tegen-je-gevoel-ingaande conclusies kan leiden is een tweede.

Ja hier heb je gelijk in. De eerste logische conclusies die je trekt volgen uit waarnemingen. Vervolgens kunnen uit deze conclusies weer nieuwe conclusies getrokken worden. En hierbij is wiskunde een prima middel.

[Verwijderd]

Wiskunde is juist zo mooi omdat het klopt. Het belangrijkste is dat je variabelen hebt die je in equaties kunt stoppen gemend met operators en functies. Je moet weten dat ze allemaal iets met elkaar van doen hebben. Sommigen raken al in de war van een geneste deling, terwijl je die gewoon als machten van verschillende grondtallen kan zien. Zo is a/(b/c) gewoon a(bc^-1)^-1 = acb^-1*, en kan je dat weer herschrijven naar ac/b. Een n-de machts wortel is niets anders dan een n^-1 de macht van een grondtal. De vermenigvuldigingsoperator is ook te herleiden, want a*b=a^(1+log(b)/log(a)).

Een sinus is niet zo moeilijk. Stel je die goede oude eenheidscircel voor, in het midden punt A, op de x-as punt B, en op de circel punt C. Nu staat sinus(N) voor BC/CA. Stel AB voor als X, en BC is (1-x^2)^(1/2). N is in dit geval dus de booglengte van 1 tot x, en kan berekend worden met het integraal van de snelheidsfunctie van de circel over x tot 1. Wiskunde klopt, want het zit in hoofden, gebaseerd op fundamenten.

Natuurkunde, de werkelijkheid, is een ander verhaal. We hebben modellen die de werkelijkheid benaderen. Het klopt niet dat een object wat ik laat vallen vanaf hier valt met een constante snelheid, toch leert iedereen dat op school. De arm van de zwaartekracht veranderd, dus is de kracht ook afhankelijk van de tijd, dus is de versnelling niet meer constant. Maar tegelijkertijd heeft ieder ander object met massa invloed op het object, want zwaartekracht rijkt toch oneindig ver? Veel invloeden zullen niet eens te meten zijn nu, en worden gewoon verwaarloos, maar ze zijn er wel, theoretisch gezien.

edit:
Trouwens, wie heeft de film contact gezien? Wiskunde van ons aan een buitenaardse overbrengen of andersom. Zodra ze onze operators kunnen afleiden uit een equatie, moet alles kunnen. Iets als a*a=a+a=a^a=a/(b/a)=a^a*b=a^a*b^(a-a). Als dat kan, dan is het toch duidelijk dat de fundamenten zelfevident zijn.

mrClass: Hoe zou je de derdemachts wortel van drie dan doen? En de 876de machtswortel?

[ Voor 12% gewijzigd door Verwijderd op 19-01-2005 02:21 . Reden: Iets vergeten ]

[mrClass]

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 02:16:
mrClass: Hoe zou je de derdemachts wortel van drie dan doen? En de 876de machtswortel?

derdemachtswortel van 3 8 is

1 = 1 -> nee
2+2 2+2 = ja-> 8

2 dus

derdemachtswortel van 5 is 125
derdemachtswortel van 125 is 5

3+3+3 3+3+3 3+3+3 = 27 -> nee
4+4+4+4 4+4+4+4 4+4+4+4 4+4+4+4 = 64 -> nee
5+5+5+5+5 5+5+5+5+5 5+5+5+5+5 5+5+5+5+5 = 125 -> ja

((22 22) (22 22)) ((22 22) (22 22)) = 16 -> 4de machtwortel van 2
((333 333 333) (333 333 333) (333 333 333)) = 81 -> 4de machtswortel van 3

*denk de plusjes er maar even tussen.
Dit rijtje kun je zo uit je hoofd verder opschrijven

Zoals je ziet zit er dus een steeds terugkerende regelmaat in de optelling, zijn ook deze nde machts wortels herleidbaar tot simpele optellingen.

de 876 machtwortel mag je zelf opschrijven, gewoon het rijtje afmaken

[ Voor 11% gewijzigd door mrClass op 19-01-2005 12:05 . Reden: foutje. "Ik ben ook niet zo goed met getallen" :+ ]

[Pkunk]

Confusion schreef op maandag 17 januari 2005 @ 22:56:
We kunnen alles prima bevatten.

Ik zal er niet op in gaan

[Verwijderd]

mrClass schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 02:50:
derdemachtswortel van 5 is 125

... ahum...

Eigenlijk, *AHUM* want in je hele post maak je diezelfde fout...

edit:
Oh, en je hebt ook nog niet gezien dat je machtsverheffen/worteltrekken-verwarring je post een beetje onderuit haalt. Het ging nml. niet om de derdemachtswortel van 8 maar om die van 3, etc. etc....

[ Voor 32% gewijzigd door Verwijderd op 19-01-2005 12:36 ]

[Delerium]

In de hele geschiedenis van de wiskunde is nog nooit ook maar enige verdachtmaking ontdekt in de stellingen/therorieen. En met al die miljarden manuren van behoorlijke genieen zou je toch kunnen stellen dat als er iets fundamenteel fouts zit, dat dat allang ontdekt zou kunnen zijn.

Wiskunde is IMHO de kunst van de variabele ontdekken tussen de vaste constanten. En als je de vergelijking 1 = ... doet, dan is het altijd 1. Of je het nu opschrijft als 2 - 1 of Sin pi of desnoods de ^elog 10 oid ... 1 = 1. Indien dat niet klopt, is je oorspronkelijke aanname fout of heb je een rekenfout, het achterliggende systeem heeft die fout niet.

Dat mensen er aan twijfelen zegt meer over de persoon zelf.

[mrClass]

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 11:45:

Oh, en je hebt ook nog niet gezien dat je machtsverheffen/worteltrekken-verwarring je post een beetje onderuit haalt. Het ging nml. niet om de derdemachtswortel van 8 maar om die van 3, etc. etc....

Ik denk niet dat ik mijn post onderuit haal. Want ik dacht dat de betreffende poster bedoelde dat een nde machts wortel niet om te zetten zou zijn in een logische sequentie van som bewerkingen, in tegenstelling tot een "normale" wortel. Vandaar dat ik in mijn uitleg toegespitst is op het verklaren van nde machts wortels.

De vraag om een 3de machts wortel te verklaren is niet een handige (doch wel mogelijke) voorbeeld situatie aangezien je dan gaat werken in het decimalen welke meer stappen heeft om tot het antwoord te komen. Maar dat neemt niet weg dezelfde stappen doorlopen kunnen worden om tot een antwoot te komen.

[Verwijderd]

mrClass schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 13:58:
aangezien je dan gaat werken in het decimalen

Snap je echt niet waarom Jeroen_Paul en ik nu juist om DAAR om vragen?

Maar dat neemt niet weg dezelfde stappen doorlopen kunnen worden om tot een antwoot te komen.

Ok... reken de derde machtswortel van 3 of wortel 2 dan maar uit met je algoritme, daar vroeg Jeroen_Paul immers eigenlijk om.

Ik wil absoluut niet aantonen dat het onmogelijk is om worteltrekken te vertalen in andere , elementaire operaties met behulp van voorbeeldjes, ik kijk wel uit, dit is wiskunde. Ik wil alleen dat je begrijpt dat dingen als sqrt(2) niet zo goed zullen gaan met je algoritmetje...
en dat dus niet dezelfde stappen doorlopen kunnen worden!

We hebben het hier over reele getallen heh...

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 19-01-2005 14:30 ]

[Zoijar]

Ecteinascidin schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 12:58:
In de hele geschiedenis van de wiskunde is nog nooit ook maar enige verdachtmaking ontdekt in de stellingen/therorieen. En met al die miljarden manuren van behoorlijke genieen zou je toch kunnen stellen dat als er iets fundamenteel fouts zit, dat dat allang ontdekt zou kunnen zijn.

Dat is niet helemaal waar, denk bv maar eens aan het axiom of choice en varianten.

[mrClass]

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 14:29:
Snap je echt niet waarom Jeroen_Paul en ik nu juist om DAAR om vragen?

Dus jij vraagt mij een operatie om te zetten naar excacte som operaties waarvan je zelf ook mij de "echte" waarde niet kan vertellen. Alleen in de vorm van een beperkt aantal decimalen of een representatie in een vergelijking i.e. "derdemachtwortel van 2 = 1+3/100"?

In theorie kan je wel de derdemachtswortel van 2 omzetten naar som operatie. Het enige probleem is dat je hiermee oneindig lang bezig bent. Maar jij kan ook alleen been benadering geven en jij hebt ook steeds meer tijd nodig om die benadering beter te benaderen tot meer cijfers achter de comma.

In die zin is het met jouw vraag niet mogelijk om mijn post onderuit te halen met een probleem die "jouw" systeem ook niet kan opslossen.

[Verwijderd]

Het hele idee achter een som operatie is dat die eindig is. Natuurlijk kan je a*b omzetten, namelijk naar sigma (0>=x>=b) a, of naar a^(1+log(b)/log(a)). Als je er een optel reeks van wilt maken, zou je eerst moeten weten wat a en b zijn. En dat weet je dus niet, dat maakt het abstract. En trouwens, het is veel makkelijker onderuit te halen. Zet jij sinus(x) maar eens om in een somoperatie, en als dat je gelukt is, mag je log(x) omzetten...

[Verwijderd]

mrClass schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 15:08:
Dus jij vraagt mij een operatie om te zetten naar excacte som operaties waarvan je zelf ook mij de "echte" waarde niet kan vertellen.

Ik heb geen 'systeem' en dit is sowieso geen argument. Ik claim namelijk niet dat ik een algoritme heb waarmee ik kan worteltrekken. Of ik kan worteltrekken, hell, of ik kan *tellen* is volkomen irrelevant. *JIJ* zegt dat je het kan, *ik* niet.

Sterker nog, je zei dat het bepalen van de wortel uit 9, hetzelfde gaat als het bepalen van de wortel uit 2 en nog wel ...om tot een antwoord te komen!

Quod - fucking - non!

[mrClass]

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 16:03:
Ik heb geen 'systeem' en dit is sowieso geen argument. Ik claim namelijk niet dat ik een algoritme heb waarmee ik kan worteltrekken. Of ik kan worteltrekken, hell, of ik kan *tellen* is volkomen irrelevant. *JIJ* zegt dat je het kan, *ik* niet.

Sterker nog, je zei dat het bepalen van de wortel uit 9, hetzelfde gaat als het bepalen van de wortel uit 2 en nog wel ...om tot een antwoord te komen!

Quod - fucking - non!

lol. Ik kwam erachter dat het bepalen van wortel 2 niet mogelijk is met het algoritme dat ik uitlegde. Hier probeerde ik een verklaring voor te vinden, omdat ik wel in de logica van mijn stelling geloof. De verklaring die ik vond was dat een normale sqrt(2) ook geen excacte uitkomst heeft anders dan sqrt(2) of een onoplosbare variant daarvan. En daarom is het omzetten tot een elementair som deeltje niet mogelijk.

Ik beredeneerde een manier waarom een sqrt(2) wel opgelost kan worden (In tegenstelling tot wat hierboven staat). Ik kwam tot de conclusie dat het oneindig lang zou duren om sqrt(2) op te lossen. En beredeneerde daarmee dat het bij mijn algortime ook oneindig lang zou duren. En ze dus alsnog gelijk zijn.

[Verwijderd]

Ik volg dit topic al sinds gisteren aandachtig en ben sinds gisteren al wat geneigd geweest om te reageren. Tot nu toe heb ik dit niet gedaan omdat ik misschien niet de kennis/ervaring heb om mij hier te kunnen mengen. Als ik domme dingen vertel of "the big point" niet zie, sorry hiervoor.

Eerst wil ik even mijn visie op de correctheid van de wiskunde geven. Zoals al gezegd is de wiskunde in de eerste plaats opgebouwd rond 11 axioma's (die hiervoor reeds vermeld werden, hoewel iets anders dan hoe ik ze ken). Uit die 11 axioma's kunnen alle eigenschappen van getallen verklaard worden. De 'correctheid' van die axioma's valt noch te ontkrachten, noch te bewijzen. Zo kan het bestaan van een nulelement bij de reeële getallen niet bewezen worden, maar het bestaat toch maar. Er is dus geen 'twijfel' over deze axioma's hoewel ze niet bewezen kunnen worden.
Rond deze 11 axioma's worden nadien alle wiskundige theorieën bewezen op basis van afspraken, definities en stellingen.
Ik zeg 'alle' theorieën, maar hier moet uiteraard genuanceerd mee omgesprongen worden. Niet alles in de wiskunde is bewezen. Als ik mij niet vergis is het bijvoorbeeld nog nooit bewezen of ontkracht geweest dat elk getal geschreven kan worden als de som van 2 priemgetallen. Nochthans is tot op heden geen enkel getal gevonden dat niet als som van priemgetallen geschreven kon worden.

Bij de natuurkunde ligt dit (zoals iedereen het blijkbaar eens is) anders. De basis van de fysica is opgebouwd rond observaties waaruit men algemene formules afleid (inductie). Dat is meteen ook een verklaring voor de verschillende takken in de natuurkunde. Nieuwe ontdekkingen in de wiskunde en natuurkunde leiden tot nieuwe opvattingen rond hoe alles werkt en dus ook tot nieuwe theorieën. Een goed voorbeeld hiervan is de klassieke mechanica. In de tijd van Newton werden zijn bewegingswetten als sluitend aangenomen. Pas toen men verder onderzoek ging doen naar de interne structuur van atomen kwam met tot een contradictie tussen waarnemingen en formules. Daardoor kwam de quantumfysica tot stand e.d.

Nu nog even over het sqrt-gebeuren. Voor vierkantswortels bestaan verschillende numerieke methodes om de vierkantswortel (of hogere machtswortels zelf) te berekenen op basis van basisbewerkingen (optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen). Het is dus niet 'enkel' het omgekeerde van de machtsverheffing omdat beide bewerkingen geen 'basisbewerkingen' zijn. Ze zijn opgebouwd rond +,-,.,/.
Ook wat hier gezegd wordt rond 'eindige' sommen vind ik maar dubieus . Heel veel dingen in de wiskunde zijn gebaseerd op oneindige sommen. Voorbeelden kan je vinden in integralen, fourierreeksen, machtenreeksen,... Hierbij wil ik dan ook eventjes zeggen dat sin(x) wel degelijk als een som te schrijven is. Het is namelijk zo dat sin(x) eigenlijk een 'schrijfwijze' is voor een bepaalde som van exponentiele-functies, die op hun beurt opgebouwd zijn uit negatieve machtenreeksen (oneindige sommen). Sin(x) is dus wel degelijk als een som te schrijven. Zo gaat het ook met log(x) waar zonder problemen een reeksontwikkeling voor bestaat. (Denk maar aan bv Taylor-reeksen. In tegenstelling tot de algemene overtuiging is een Taylor-reeks GEEN benadering van een functie, het is eigenlijk een reeksfunctie. De Taylor-reeks wordt echter over het algemeen gebruikt als benadering door enkel de eerste n termen te beschouwen van de reeks)

[Sendy]

mrClass schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 17:47:
[...]

lol. Ik kwam erachter dat het bepalen van wortel 2 niet mogelijk is met het algoritme dat ik uitlegde. Hier probeerde ik een verklaring voor te vinden, omdat ik wel in de logica van mijn stelling geloof. De verklaring die ik vond was dat een normale sqrt(2) ook geen excacte uitkomst heeft anders dan sqrt(2) of een onoplosbare variant daarvan. En daarom is het omzetten tot een elementair som deeltje niet mogelijk.

Ik beredeneerde een manier waarom een sqrt(2) wel opgelost kan worden (In tegenstelling tot wat hierboven staat). Ik kwam tot de conclusie dat het oneindig lang zou duren om sqrt(2) op te lossen. En beredeneerde daarmee dat het bij mijn algortime ook oneindig lang zou duren. En ze dus alsnog gelijk zijn.

Je lacht omdat je op je plaats gezet wordt En daarbij snap ik niets van wat je in je tweede alinea probeert te zeggen. Het is duidelijk dat een vermenigvuldiging niet een verkorte schrijfwijze is voor een optelling. Het is niet voor niets dat de axioma's genoemt in eerdere post(s) de "vermenigvuldig" operatie apart beschrijven.

[G33rt]

De italiaanse wiskundige Guiseppe Peano kwam her eerst met een systeem van axioma's.

Ik denk dat Euclides eerder leefde dan Peano. Misschien is het slim om je eerst even te realiseren dat die beste man ook al anxioma's had, en dat voor Christus, voor je dingen als absolute waarheid poneert.

[eamelink]

G33rt schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 19:44:
[...]

Ik denk dat Euclides eerder leefde dan Peano. Misschien is het slim om je eerst even te realiseren dat die beste man ook al anxioma's had, en dat voor Christus, voor je dingen als absolute waarheid poneert.

Maar had Euclides ook een systeem als Peano?

[windancer]

Je hebt gelijk dat axioma's niet te bewijzen noch te ontkrachten zijn. Een axioma is niets anders dan een aanname. We nemen aan dat er een element 0 is waarvoor geldt dat 0 + x = x (voor alle x). Het is onzin om te zeggen dat de hele wiskunde gebaseerd is op maar 11 axioma's. Welke zouden dit dan zijn ? Zitten de axioma's van de kansrekening daarbij ?

Sommige aannames zijn soms ook gewoon niet waar, de vierkante matrices met normale matrix vermenigvuldiging en optelling voldoen aan alle veld axioma's behalve dat x*y = y*x en dat er voor elke x een y bestaat zodat x*y = 1. Dit betekent dat dit dus geen veld is maar dat wil niet zeggen dat je niets zinnigs kunt zeggen. Je kunt bijvoorbeeld nog steeds bewijzen dat 0*x = 0, ook voor de vierkante matrices.

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 18:27:...
Eerst wil ik even mijn visie op de correctheid van de wiskunde geven. Zoals al gezegd is de wiskunde in de eerste plaats opgebouwd rond 11 axioma's (die hiervoor reeds vermeld werden, hoewel iets anders dan hoe ik ze ken). Uit die 11 axioma's kunnen alle eigenschappen van getallen verklaard worden. De 'correctheid' van die axioma's valt noch te ontkrachten, noch te bewijzen. Zo kan het bestaan van een nulelement bij de reeële getallen niet bewezen worden, maar het bestaat toch maar. Er is dus geen 'twijfel' over deze axioma's hoewel ze niet bewezen kunnen worden.
Rond deze 11 axioma's worden nadien alle wiskundige theorieën bewezen op basis van afspraken, definities en stellingen.
Ik zeg 'alle' theorieën, maar hier moet uiteraard genuanceerd mee omgesprongen worden. Niet alles in de wiskunde is bewezen. Als ik mij niet vergis is het bijvoorbeeld nog nooit bewezen of ontkracht geweest dat elk getal geschreven kan worden als de som van 2 priemgetallen. Nochthans is tot op heden geen enkel getal gevonden dat niet als som van priemgetallen geschreven kon worden.
...

[Verwijderd]

windancer schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 20:35:
Je hebt gelijk dat axioma's niet te bewijzen noch te ontkrachten zijn. Een axioma is niets anders dan een aanname. We nemen aan dat er een element 0 is waarvoor geldt dat 0 + x = x (voor alle x). Het is onzin om te zeggen dat de hele wiskunde gebaseerd is op maar 11 axioma's. Welke zouden dit dan zijn ? Zitten de axioma's van de kansrekening daarbij ?

Sommige aannames zijn soms ook gewoon niet waar, de vierkante matrices met normale matrix vermenigvuldiging en optelling voldoen aan alle veld axioma's behalve dat x*y = y*x en dat er voor elke x een y bestaat zodat x*y = 1. Dit betekent dat dit dus geen veld is maar dat wil niet zeggen dat je niets zinnigs kunt zeggen. Je kunt bijvoorbeeld nog steeds bewijzen dat 0*x = 0, ook voor de vierkante matrices.


[...]

De axioma's zijn:
R1 - 9 axioma's die van R,+,. een veld maken
R10 is het ordeningsaxioma
R11 is het compleetheidsaxioma

Als iemand ze per sé uitgeschreven wilt zal ik ze uitschrijven. Het feit dat vierkante matrices bijvoorbeeld niet voldoen aan de commutativiteit voor de vermenigvuldiging zegt NIET dat het axioma vals is, alleen maar dat matrices niet voldoen aan de veld axioma's. Zo voldoen de complexe getallen bijvoorbeeld ook niet aan R10 en R11. Op basis van deze axioma's kunnen alle eigenschappen van de getallen bewezen worden. En uit deze eigenschappen volgen de bewijzen voor wiskundige theorieën.

Over de kansrekening heb je inderdaad een punt. Die axioma's zitten niet vervat in de axioma's R1-R11. Hierbij moet wel gezegd worden dat kansrekening een beetje een bijzondere plaats inneemt in de wiskunde.

[Zoijar]

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 20:55:
De axioma's zijn:
R1 - 9 axioma's die van R,+,. een veld maken
R10 is het ordeningsaxioma
R11 is het compleetheidsaxioma

Als iemand ze per sé uitgeschreven wilt zal ik ze uitschrijven. Het feit dat vierkante matrices bijvoorbeeld niet voldoen aan de commutativiteit voor de vermenigvuldiging zegt NIET dat het axioma vals is, alleen maar dat matrices niet voldoen aan de veld axioma's. Zo voldoen de complexe getallen bijvoorbeeld ook niet aan R10 en R11. Op basis van deze axioma's kunnen alle eigenschappen van de getallen bewezen worden. En uit deze eigenschappen volgen de bewijzen voor wiskundige theorieën.

Over de kansrekening heb je inderdaad een punt. Die axioma's zitten niet vervat in de axioma's R1-R11. Hierbij moet wel gezegd worden dat kansrekening een beetje een bijzondere plaats inneemt in de wiskunde.

Zo werkt het niet; dat gaat alleen over algebraische structuren. Er bestaan veel meer axioma's binnen de wiskunde, denk alleen al maar aan "twee parallele lijnen snijden elkaar niet". Die kan je overigens ook omkeren en vervangen, dan blijft alles consistent. Je zal dan wel moeten aanpassen wat een "lijn" is. Zelfs in de algebra zijn er nog tal van andere axiomas, bv definities van eindige ringen en groepen etc, die hier erg op lijken. Maar ook dingen als het pigeonhole principle, dat simpel stelt dat als je n+1 dingen verdeelt over n vakjes, er dan in een van de vakjes twee dingen zitten. Een moeilijkere is dus het axiom of choice, dat simpel stelt dat als je een aantal (willekeurige) verzamelingen hebt, je uit elk van deze verzamelingen een element kan kiezen. Dit is nog steeds een omstrede axioma. Maar het houdt dus zeker niet op bij 'R'.

[Verwijderd]

Zoijar schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 21:22:
[...]

Zo werkt het niet; dat gaat alleen over algebraische structuren. Er bestaan veel meer axioma's binnen de wiskunde, denk alleen al maar aan "twee parallele lijnen snijden elkaar niet". Die kan je overigens ook omkeren en vervangen, dan blijft alles consistent. Je zal dan wel moeten aanpassen wat een "lijn" is. Zelfs in de algebra zijn er nog tal van andere axiomas, bv definities van eindige ringen en groepen etc, die hier erg op lijken. Maar ook dingen als het pigeonhole principle, dat simpel stelt dat als je n+1 dingen verdeelt over n vakjes, er dan in een van de vakjes twee dingen zitten. Een moeilijkere is dus het axiom of choice, dat simpel stelt dat als je een aantal (willekeurige) verzamelingen hebt, je uit elk van deze verzamelingen een element kan kiezen. Dit is nog steeds een omstrede axioma. Maar het houdt dus zeker niet op bij 'R'.

Zoals ik reeds gezegd heb denk ik niet dat ik genoeg kennis heb om mij hier te komen moeien.
Toch kom ik weer met een reactie:

Volgens mij zit het omgekeerd en worden de algebraische stucturen (ringen, velden, ...) gedefinieerd door gebruik te maken van de axioma's. En zijn het dus niet de axioma's die uit de structuren volgen.
Het feit dat twee parallele lijnen elkaar niet snijden is volgens mij geen axioma maar eerder een definitie van wat "parallel" net inhoudt waaruit de eigenschap volgt. Het pigeon hole principe dat je aanhaalt ken ik persoonlijk niet maar zal volgens mij wel reeds bewezen zijn (via inductie of zo) en is dan ook geen axioma.

Hoe het ook zei, ik beweer zeker niet hét antwoord te hebben. Wat ik zeg kan wel eens volledig verkeerd zijn en als dat zo blijkt te zijn zal ik het ook zonder problemen toegeven. Neem deze reactie dan ook niet op als betweterij, eerder als een discussie...

[windancer]

De kansrekening neemt misschien een aparte plaats in de wiskunde zoals jij die ziet maar niet zoals je rest van de wereld de wiskunde ziet.

Andere bekende setjes axioma's zijn bijvoorbeeld de Hausdorff axioma's over het open dan wel gesloten zijn van verzamelingen, de Hilbert Axioma's over geometrie en de axioma's van vector ruimten. Of zijn dit allemaal ook aparte gedeelten van de wiskunde ?

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 20:55:...
Over de kansrekening heb je inderdaad een punt. Die axioma's zitten niet vervat in de axioma's R1-R11. Hierbij moet wel gezegd worden dat kansrekening een beetje een bijzondere plaats inneemt in de wiskunde.
...

[Zoijar]

Verwijderd schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 21:45:
Zoals ik reeds gezegd heb denk ik niet dat ik genoeg kennis heb om mij hier te komen moeien.
Toch kom ik weer met een reactie:

Ik waardeer je eerlijkheid zeer

Volgens mij zit het omgekeerd en worden de algebraische stucturen (ringen, velden, ...) gedefinieerd door gebruik te maken van de axioma's. En zijn het dus niet de axioma's die uit de structuren volgen.

Ik bedoelde dat die ook op (andere) axiomas gebasseerd zijn. Axioma's volgen in principe nooit uit andere dingen nee. Hoewel het wel kan, maar dan kan je dat axioma weg strepen, en als stelling aan nemen. De kunst is dus om een minimale set axiomas te vinden, waaruit de andere volgen als stellingen.

Het feit dat twee parallele lijnen elkaar niet snijden is volgens mij geen axioma maar eerder een definitie van wat "parallel" net inhoudt waaruit de eigenschap volgt.

Dat lijkt zo, maar er is geen bewijs te vinden vooor deze uitspraak als stelling. Vandaar dat het als axioma moet worden aangenomen (meetkunde). Je kan ook andere gelijkwaardige axiomas aan nemen, en dan kan je dit wel als stelling bewijzen.

Het pigeon hole principe dat je aanhaalt ken ik persoonlijk niet maar zal volgens mij wel reeds bewezen zijn (via inductie of zo) en is dan ook geen axioma.

Naar mijn weten wordt ook dit als axioma aangenomen, maar hier kan ik me eventueel in vergissen.

Hoe het ook zei, ik beweer zeker niet hét antwoord te hebben. Wat ik zeg kan wel eens volledig verkeerd zijn en als dat zo blijkt te zijn zal ik het ook zonder problemen toegeven. Neem deze reactie dan ook niet op als betweterij, eerder als een discussie...

Tuurlijk. Heeft niet iemand hier als signature "wisdom springs from argument among friends" oid?

[Ivo]

Een moeilijkere is dus het axiom of choice, dat simpel stelt dat als je een aantal (willekeurige) verzamelingen hebt, je uit elk van deze verzamelingen een element kan kiezen. Dit is nog steeds een omstrede axioma. Maar het houdt dus zeker niet op bij 'R'.

Wat wordt hier precies bedoelt met kiezen. Ik kan me namelijk niet voorstellen dat je een element kan kiezen uit een lege verzameling.

[Zoijar]

Ivo schreef op donderdag 20 januari 2005 @ 14:45:
Wat wordt hier precies bedoelt met kiezen. Ik kan me namelijk niet voorstellen dat je een element kan kiezen uit een lege verzameling.

Niet leeg Maar het is niet altijd makkelijk. Je moet dus een functie maken, die van een set van sets, uit elke van die sets een element 'pakt'.

Voor eindige sets is dat simpel, pak gewoon steeds het eerste element, of het kleinste oid. Maar neem nu bv de open intervallen op R, er is dan geen eerste of kleinste of grootste element binnen zo'n interval. Maar je kan wel bv het midden nemen (dus bij (a, b) het getal (a+b)/2). (merk op dat het supremum b of infimum a niet tot de set behoren en dus niet gekozen kunnen worden)

Dit lukt eigenlijk meestal wel, maar voor bv de powerset van R, dus de verzameling van alle deelverzamelingen van R, is het nog nooit gelukt een functie te bedenken. Toch wordt er vaak in de wiskunde aangenomen dat dit wel mogelijk is, ook voor elke andere verzameling van verzamelingen. Dat is het axiom of choice. Er is dus geen bewijs dat dit altijd kan (maar ook niet dat het niet kan! We weten het niet, maar velen gaan er wel vanuit dat het kan)

Met dit axioma op de powerset van R, kan je een aantal vreemde dingen doen. Je kan bv een bol mbv translaties en rotaties van de 'punten' van die bol, omzetten in twee identieke bollen. Dit is voor sommige weer een aanleiding om het axiom of choice niet aan te nemen.

[ Voor 5% gewijzigd door Zoijar op 20-01-2005 15:15 ]

[Apollo_Futurae]

Zoijar schreef op donderdag 20 januari 2005 @ 15:13:
Dat is het axiom of choice. Er is dus geen bewijs dat dit altijd kan (maar ook niet dat het niet kan! We weten het niet, maar velen gaan er wel vanuit dat het kan)

"We weten het niet" vind ik geen juiste beschrijving van de situatie. Er is bewezen dat het keuzeaxioma logisch onafhankelijk is van de andere verzamelingtheoretische axioma's; we mogen dus kiezen of we het wel of niet aannemen.

[Zoijar]

Apollo_Futurae schreef op vrijdag 21 januari 2005 @ 17:42:
"We weten het niet" vind ik geen juiste beschrijving van de situatie. Er is bewezen dat het keuzeaxioma logisch onafhankelijk is van de andere verzamelingtheoretische axioma's; we mogen dus kiezen of we het wel of niet aannemen.

Ja, je hebt gelijk, dat was niet zo'n nette beschrijving...

[Sendy]

Zoijar schreef op donderdag 20 januari 2005 @ 15:13:
[...]Met dit axioma op de powerset van R, kan je een aantal vreemde dingen doen. Je kan bv een bol mbv translaties en rotaties van de 'punten' van die bol, omzetten in twee identieke bollen. Dit is voor sommige weer een aanleiding om het axiom of choice niet aan te nemen.

Interessant. Ik heb eens in de Kijk een artikel gelezen over equivalente vormen. De vorm van een a4-blad papier was in feite hetzelfde als de vorm van een bol met een gat. Andere vormen waren bijvoorbeeld een bol met een handvat (zoiets: cO), meerdere gaten, etc. Dit is al lang geleden, en het was niet echt "wiskundig" uitgelegd. De details zijn me ook ontschoten.

Zou dit vergelijkbaar zijn met jouw voorbeeld (een bol omzetten in 2 bollen)? Heb je misschien een link die hierover gaat?

edit:

Fijne link, Confusion. Het is in ieder geval niet waar ik het over had

[ Voor 9% gewijzigd door Sendy op 22-01-2005 00:23 ]

[Confusion]

Zoijar schreef op donderdag 20 januari 2005 @ 15:13:
Met dit axioma op de powerset van R, kan je een aantal vreemde dingen doen. Je kan bv een bol mbv translaties en rotaties van de 'punten' van die bol, omzetten in twee identieke bollen. Dit is voor sommige weer een aanleiding om het axiom of choice niet aan te nemen.

Je doelt hier, neem ik aan, op de Banach-Tarski paradox?

[Verwijderd]

sdomburg schreef op maandag 17 januari 2005 @ 23:55:
. . . .Ons huidige getallenstelsel heeft ook onvolkomenheden waar we wel omheen kunnen werken, zoals het getal Pi dat in ons stelsel een oneindig lang getal zou worden (let wel; lang, niet oneindig groot). Misschien is het wel logisch om Pi als basiseenheid te nemen en enkel te rekenen in radialen. De representatie wordt er anders van, omdat er andere afspraken zijn, een circel is 2pi radialen of een circel is 360 graden, de uitkomst wordt er niet anders op

Practisch voorbeeld; binair (2-vingerig ) gaat onze wiskunde nog steeds op, anders zou je computer het niet doen

Ik snap deze opmerking niet: Waarom noem je het een onvolkomenheid dat pi een oneindig aantal decimalen heeft? Pi is eenvoudigweg een getal dat in veel wiskundige functies een element is. Indien een buitenaards wezen pi als basiseenheid gaat beschouwen krijgt hij volgens mij juist een zeer onlogisch systeem als hij het gaat gebruiken in het tellen van wezens of korreltjes zand. Voor het rekenen met cirkels werkt het goed:

pi=1 . . .(in het pi-eenheidsstelsel). . .(net als een AE= 1 in het astronomische-eenhedsstelsel is. . .wat we ook 150x10^6 km noemen).
Omtrek cirkel= C
C=D/pi. . . . . (omdat onze gebruikelijke "Diameter" nu D/pi zal zijn)
Oppervlak cirkel =A
A=(D/(0,6366. . .*pi))^0,6366. . . = (D/2)^0,6366. . .

Voor deze berekeningen zijn er net zo min onvolkomenheden als voor ons gebruikelijke definitie van pi= 3,141. . . maar als je als pi-wezen je zelf gaat bekijken ben je zelf geen eenheid maar een mindervoud van 0,318. . . Voor pi-wezens zou de definitie pi=1 het leven er niet gemakkelijker op maken. Ik kan niet inzien dat pi=1 als basiseenheid logisch zou zijn. Als je als pi-boer gaat melken moet je beginnen bij de 0,318. . .ste koe en dan daarna naar de 0,6366. . .de koe, enz., tot ze allemaal gemolken zijn. Het lijk me zeer lastig om een pi-wezen te zijn: haast elk apart-ding wat je bezit is opzich geen eenheid maar een mindervoud van 0,318. . .en als je ze gaat optellen om belasting op je vermogen te berekenen heb je double trouble: het tellen op zich is al niet meer gemakkelijk.

Volgens mij is het lot van een pi-wezen nog belabberder dan hier voorgesteld: als hij met het pi=1 basiseenheidsgetal wiskunde moet gaan bedrijven. Zijn getallenstelsel voor een getal xyz (de letters zijn de onderdelen van een getal zoals bijvoorbeeld 124)ziet er dan zo uit:

124= 1*n^0,6367. . .+2*n^0,318. . .+ 4*n^0

waar n de basis voor het pi-wezen getallenstelsel zo zijn. . . .de exponenten geven de rangorde weer net zoals wij

124=1*10^2+2*10^1+4*10^0

zouden schrijven.

Hier veronderstel ik even dat ook voor een pi-wezen de functie N^0=1 zal gelden maar ik kan niet bedenkenwat een pi-wezen voor het getal nzou kiezen. Een extra probleem in deze voorstelling van zaken is de representatie van fracties: hoe zou een pi-wezen en fractie opschrijven? Wij hebben 1 als eenheidsbasis en 10 als getallenstelsel basis. Fracties zijn derhalve voor ons decimaal maar voor een pi-wezen zou dit n zijn. Hoe zou hij de fractie 1/3 in het n-getallenstelsel schrijven?

Het kiezen voor pi=1 als basiseenheid lijkt mij een dramatische onlogische keuze: alles wat met rangorde getallen e.d. te maken heeft zouden transcendentale getallen worden. Een wezen dat het getal pi zou kunnen begrijpen voor wat het is zou het niet als basiseenheid kiezen: het zou begrijpen dat zoiets uiterst onlogisch zou zijn.

[Sendy]

Tjonge. Ik kan je post niet lezen. Doe niet zo druk met bold zeg. Gebruik de functie die voor benadrukken bestaat: italics.

[Zoijar]

Confusion schreef op vrijdag 21 januari 2005 @ 23:27:
Je doelt hier, neem ik aan, op de Banach-Tarski paradox?

Ja. Ik probeer altijd enigszins opervlakkig te blijven in m'n posts, met de gedachte dat mensen voor de details toch boeken zullen moeten lezen, en het geen nut heeft om die over te typen hier.

[GeeBee]

eamelink schreef op woensdag 19 januari 2005 @ 20:27:
[...]Maar had Euclides ook een systeem als Peano?

Ja dat had hij. De Euclidische wiskunde gaat over meetkunde en niet over getallen waar de discussie hier over gaat op dit moment.

http://www.wiskundeweb.nl...Wiskundigen/Euclides.html

Zijn invloed is zelfs zo groot, dat de meetkunde wordt verdeeld in Euclidische en niet-Euclidische meetkunde.

[Verwijderd]

Sendy schreef op zaterdag 22 januari 2005 @ 01:08:
Tjonge. Ik kan je post niet lezen. Doe niet zo druk met bold zeg. Gebruik de functie die voor benadrukken bestaat: italics.

Ik heb het net andersom geleerd. Vandaar!

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zaterdag 22 januari 2005 @ 00:59:
[...]


Ik snap deze opmerking niet: .. . . . . .

Ik wil er nog even iets aan toevoegen: Als pi=1 genomen wordt als basiseenheidsgetal dan houdt het niet in dat de basis voor het getallenstelsel moet veranderen. Ik heb in mijn post wel opgemerkt dat een pi-wezen misschien wel n voor de basis van zijn getallenstelsel zou nemen maar ik heb dat voor de vergelijkingen voor de cirkel de ratio en de kwadratering in het basis-10 stelsel gelaten (een mix van getallenstelsels dus, wat onduidelijk is).

De kwadratering en de ratio 1/pi in het pi-wezen getallenstelsel zou ook in het n-stelsel geschreven moeten worden.

Bijvoorbeeld, als je het oppervlak van een vierkant in het 10-stelsel schrijft is het A=a^2 als a een zijde is. Als je het in binaire stelsel doet is het oppervlak A=a^10 de juiste weergave. . . .de hoedanigheid van kwadrateren veranderd niet!

Voor het pi-wezen is de basis van het stelsel nen niet noodzakelijkerwijd 10, zoals ik aangenomen heb in mijn bericht. In deze zin zou het getal 1 voor het tellen van dingen misschien ook 1 zijn maar de "2" voor het kwadrateren mischien weer niet.

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 22-01-2005 09:22 ]

[Verwijderd]

Om nog even te reageren op de TS. Ik heb niet veel verstand van wiskunde, natuurkunde, scheikunde etc (daarom geen reactie met formules). Wat mijn professor mij o.a. altijd heeft voorgehouden is het volgende:

"...De mens is in zijn complexe omgeving niet in staat zijn eigen complexiteit waarin hij leeft te bevatten. Wil hij deze toch bevatten, zal hij een versimpeling van de werkelijkheid moeten maken en deze vangen in een model of een theorie... "

Dit is meteen een antwoord op je vraag. Je kunt het dus niet zeker weten. De versimpeling van de werkelijkheid neemt standaarden aan en laat dingen weg. Daardoor is je theorie of model nooit een exacte weerspiegeling van de werkelijkheid. Dit wil geenszins zeggen dat het model of de theorie niet bruikbaar is. In tegendeel, dat was tenslotte de reden dat je hem hebt gemaakt. Echter zeker weten doe je het niet, wellicht heb je het verkeerde weggelaten, wellicht heb je teveel versimpelt... De waarheid stopt daar waar je het tegendeel kan bewijzen en daar waar je de theorie kan weerleggen. De kracht van de theorie bepaald vervolgens of dit mogelijk is. Dit is inderdaad een zeer popperiaanse inslag, echter deze inslag werkt voor mij nog steeds.

Dat is in mijn ogen de kern van de zaak; het werkt zolang het werkt, en totdat iemand de theorie weerlegt weet je het zeker. Dan pas begint het trouwens leuk te worden, ontstaat er discussie, strijd en soms kommer en kwel. Dan pas kan wetenschap zich echt ontwikkelen....

[ Voor 9% gewijzigd door Verwijderd op 22-01-2005 09:47 ]

[Verwijderd]

De mens probeert idd de wereld rondom zich te begrijpen en verklaren door het opstellen van allerlei theorieën.
En toch.. Op gebied van de wiskunde dan is het toch erg opvallend dat er tussen de drie symbolen/getallen Pi, e en de complexe i (of j, zo je wil) een verband bestaat als e^(j*Pi) = -1.
Pi bestaat al van in Pythagoras' tijd. En pas eeuwen later kwamen e en j erbij. En dan blijkt plots dat met de bestaande definities zo'n simpel verband kan gevonden worden. Zet toch aan tot filosoferen over hogere waarheden fzo, dunkt mij .

[Verwijderd]

*hobbelt richting G33rt, lacht hem uit, hobbelt weg*

Zou genoeg moeten zijn maar ter verduidelijking. Peano heeft dit systeem ontwikkeld, Euclides mag dan een slimme vent geweest zijn maar had in het geheel niet het overzicht dat Peano aan de dag heeft gelegd.

Je moet namelijk kunnen aantonen dat deze aannames dekkend zijn voor een bepaald gebied van de wiskunde waarvoor ze gebruikt worden. Euclides wist dat hij dat niet kon, maar nu heb jij waarschijnlijk nog nooit ontdekte papyrus rollen waarop hij op zijn sterfbed even de universicatie theorie uitlegt.

Ik zou zeggen publiceerse en de volgende keer even op internet peano intypen en even lezen dan begrijp je misschien beter waarover je het hebt en mocht iemand ernaast zitten dan zou ik dit een beetje vriendelijker melden. Correcties worden we allen slimmer van van afbekken alleen moe.

[Dido]

Verwijderd schreef op zaterdag 22 januari 2005 @ 19:38:
*hobbelt richting G33rt, lacht hem uit, hobbelt weg*

Zou genoeg moeten zijn maar ter verduidelijking. Peano heeft dit systeem ontwikkeld, Euclides mag dan een slimme vent geweest zijn maar had in het geheel niet het overzicht dat Peano aan de dag heeft gelegd.

Vind je dat niet een beetje kortzichtige reactie op iemand die je terecht wijst op het feit dat je iets te ongenaunceerd formuleerde? Je stelde dat Peano de eerste was die met een stelsel van axioma's kwam, en dat is gelul. Iemand vervolgens uitlachen is wel heel laag.

Correcties worden we allen slimmer van van afbekken alleen moe.

Doe het eens voor, zou ik zeggen

[GeeBee]

Verwijderd schreef op zaterdag 22 januari 2005 @ 19:38:
*hobbelt richting G33rt, lacht hem uit, hobbelt weg*

Zou genoeg moeten zijn maar ter verduidelijking. Peano heeft dit systeem ontwikkeld, Euclides mag dan een slimme vent geweest zijn maar had in het geheel niet het overzicht dat Peano aan de dag heeft gelegd.

Peano leefde ook behoorlijk wat later dan Euclides. Dus zeggen dat Peano meer overzicht had, lijkt me logisch. Om Euclides vervolgens daamee in een hoekje te zetten lijkt me wat overdreven. Met onze kennis van Einstein zeggen we ook niet dat Newton een prutser was.

Je moet namelijk kunnen aantonen dat deze aannames dekkend zijn voor een bepaald gebied van de wiskunde waarvoor ze gebruikt worden. Euclides wist dat hij dat niet kon, maar nu heb jij waarschijnlijk nog nooit ontdekte papyrus rollen waarop hij op zijn sterfbed even de universicatie theorie uitlegt.

Kijk... dat bedoel ik ook. Euclides is van de meetkunde, Peano van de getallenleer. Andere gebieden van de wiskunde dus. Vergelijken van die 2 is niet echt zinvol. Peano was in elk geval zeker niet de eerste met een verzameling axioma's.